基于現象教學的“問題意識”培養
——以“圓的標準方程”教學設計為例

許佳龍 (江蘇省蘇州市盛澤第二中學 215228)

問題意識是指問題成為感知和思維的對象，從而在心里造成一種懸而未解決但又必須解決的一種心理狀態.本文的“問題意識”是指學生用數學的眼光，從所給現象中發現數學結構、進行描述以及用數學方法解決和評價的心理趨向.也就是說，這里的“問題意識”并不是為了解決這個問題，而更趨向于如何從數學現象中發現并提出問題的意識.基于對“圓的標準方程”這節課的教學設計的理解，筆者認為現象教學中的培養學生的“問題意識”，可以從以下幾個方面考慮.

1 前期教學分析

1.1 教材地位

解析幾何的本質是用代數方法研究圖形的幾何性質，體現了數形結合的重要數學思想. 圓是解析幾何中一類重要的曲線，圓的標準方程的學習安排在直線與方程的基礎知識之后.此時，學生 已經知道在直角坐標系中通過建立方程可以達到研究圖形性質的目的.圓的標準方程正是這一知識運用的延續，學生在學習中進一步體會數形結合的思想，形成用代數方法解決幾何問題的能力.本部分知識的學習，對于進一步學習圓錐曲線具有承前啟后的重要意義.

1.2 學情分析

圓是學生熟悉的圖形，初中平面幾何對圓的基本性質作了比較系統的研究，本節之前又學習了建立直角坐標系求直線方程的方法，這些都為本節課的學習奠定了必要的基礎.再者，經過必修一、必修四的學習，高一學生對高中數學學習的基本方法也有了一定的體驗和了解，具備了初步的觀察、類比、歸納、概括、表達能力.通過五種直線方程的學習，對坐標系下建立方程進行了反復訓練，這些都為本節課的學習做了能力和方法上的準備.

當然，由于學生對建系求方程的方法以及圓的標準方程認識還不深刻，在探究知識的形成與方程的運用時可能會遇到一些困難，在教學中應及時關注學生反饋的信息，循序漸進地開展教學.

1.3 教學目標及重難點

(1)會推導圓的標準方程，掌握圓的標準方程；

(2)能根據圓心坐標、半徑熟練地寫出圓的標準方程；

(3)加深對數形結合思想的理解，提升用解析法研究幾何問題的能力.

教學重點 圓的標準方程及求解方法.

教學難點 圓的標準方程的生成及認識過程.

1.4 設計思路

新課程背景下的教學，追求知識流暢的生成過程.本節課采用現象教學法開展教學，一開始直觀感知生活中的圓形(幾何語言)并聯系到圓的定義(文字語言)，自然想到從代數的角度用方程形式(符號語言)進行研究，推導出圓的標準方程，并以此為新的數學現象，并進行觀察和思考，思考的結論又可以作為新的現象從而進一步研究例題.而例題的過程和結果又可以作為新的現象繼續新的探究，使學生在對多種形式的現象進行觀察、感知、分析、理解和表達的過程中，層層展開、步步深入，力求體現以教師為主導，以學生為主體的指導思想，并堅持立德樹人的教育根本，為培養和落實核心素養奠定基礎.

2 教學片段設計過程

(一稿：不是太順暢)

·以數學課本上的一段話作為數學現象

師：課本第80頁上在介紹直線方程時說到：“在平面直角坐標系中，直線可以看作是滿足某種條件的點的集合，直線的位置可由兩點確定，也可由一點和一個方向來確定.”對此大家如何看？

生：已知一個點和傾斜程度，就可以寫出直線的方程.

師：是的，這里的傾斜程度可以是斜率或是傾斜角.

生：已知兩個點，也可以寫出直線的方程.

師：沒錯，只要符合條件的點在直線上，就可以寫出這些點所滿足的方程.

生：其他的平面圖形有拋物線、圓、橢圓、雙曲線等，是否也可以寫出對應方程？

師：這個問題提得好！那么今天我們先來探究圓的方程.該如何進行？

設計意圖學生通過觀察直線的描述進行思考和分析，并提出“其他平面圖形是否也有這樣的描述”問題時，打開學生的思路，對圓的描述和定義進行研究，并且在基本活動經驗上有一定的基礎，為圓方程的推導提供保障.

(二稿：稍微好一點)

·以數學課本上一道題的過程作為數學現象

師：課本第80頁上在推導直線的點斜式方程時，寫到“如果直線l經過點A(-1,3)，斜率為 -2，點P在直線l上運動，那么點P的坐標(x,y)滿足什么條件？”

生：根據斜率公式，可以得到x,y之間的關系式，化簡即得直線方程2x+y-1=0.

生：(補充)點在直線上，坐標就滿足方程，反之，以方程的解為坐標的點一定在直線上.

師：沒錯，在平面直角坐標系中，直線可以看作是滿足某種條件的點的集合，點的坐標滿足的條件(等式)形成了直線的方程.

生：其他的平面圖形有拋物線、圓、橢圓、雙曲線等，是否也可以寫出對應方程？

師：這個問題提得好！那么今天我們先來探究圓的方程.該如何進行？

設計意圖相對于一稿，給出研究直線方程時的具體過程，更為直觀，有了如此詳細的過程，學生也自然能提出同樣的問題后對圓方程進行研究，依葫蘆畫瓢，圓方程的推導和得出也不是問題.

(三稿：實踐效果較好)

·以生活中的圓形作為數學現象

師：(給出幾張圖片)請同學們觀察一下生活中的圓.

生：這是圓.

師：用數學語言形容——

生：(齊聲)到一個定點(圓心)的距離等于定長(半徑)的點的集合.

師：是否可以從代數的角度去形容？

生：利用兩點之間的距離公式構建等式.

師：好的，那首先需要——

生：建立平面直角坐標系.

師：在坐標系中取一個定點(a,b)，定長為r，構建一個圓.

生：圓上的點的坐標(x,y)滿足條件(x-a)2+(y-b)2=r2.

設計意圖相對于一稿和二稿，直接給出圓的圖形語言和文字語言，顯得更為直觀，學生也能自然想到是否能用符號語言來描述圓，借助于研究直線的活動經驗順利推導圓方程.

(定稿：經大家討論，感覺效果可以達到預期)

·以自己動手畫的圓作為數學現象

師：請同學們畫一個圓.

生：(在空中比劃、在紙上直接徒手畫、拿圓規畫)

師：你畫的一定是一個標準的圓嗎？(或者請同桌互相驗證一下，你們畫的圓是否標準？)

生：要標準，只要滿足圓的定義即可.

師：那圓的定義是——

生：(齊聲)到一個定點(圓心)的距離等于定長(半徑)的點的集合.

師：說得很好，那從數學符號的角度來表示呢？

生：{P|PC=r}，其中C是定點，r是定長，P是動點.

師：更具體一點呢？這個動點P可以用——

生：坐標形式(x,y)來表示.

生：需要建立平面直角坐標系.

師：請大家在草稿紙上根據剛才畫出的圓建立適合的坐標系，進行研究.

(絕大多數學生以原點為圓心建系)

師：我們一起看看同學A的研究過程(利用投影展示).

生A：我是以原點為圓心建系，根據平面上兩點間距離公式，圓上的點P(x,y)到原點的距離等于半徑r，化簡后滿足x2+y2=r2.

師：對！x2+y2=r2這個方程代表了圓上的所有點都滿足這個條件，就是一個圓的方程.即點在圓上，點的坐標一定滿足方程；反之，點的坐標滿足上述方程，說明點一定在圓上.

生：(舉手)有些圓的圓心不一定正好在原點，那這個方程是不是會變化？

師：假如圓心在C(a,b)，半徑是r，那么圓方程是——

生：(x-a)2+(y-b)2=r2.(我相信可以秒答)

設計意圖相對于前面三稿，更注重知識的自然生成.首先學生能最大限度地參與活動，能第一時間感知現象，進行充分思考，根據圓的定義，以兩點間距離公式為工具對圓上的點進行研究，從而推導出圓心在原點處的方程，同時也培養了學生發現問題和提出問題的能力.“圓心不在原點？”不僅僅是一個問題，更是學生對圓的基本要素的理解，從而流暢并自主完成對圓方程的推導.

3 教學片段反思

3.1 進一步提高學生的主動參與度

現象教學中，學生的“問題意識”來自于對呈現出來的現象的感知和思考，所以，突出學生的主體地位，提升學生的主觀能動性，讓學生能夠主動參與到活動和相應的思考中，對于發現問題有著至關重要的影響.

例如，學生在主動參與的過程中，發現了很難保證自己徒手畫出來的圖形是一個標準的圓，就會思考原因并嘗試畫得更圓；而有一部分學生用的是圓規作圖，基本上看上去很圓了，這又是為什么呢？顯然圓規的作用就是保證圓心固定和半徑固定；但是也有學生用圓規畫也會畫得不圓，那又引起了進一步的思考——是不是我在畫的過程中手抖了呢？而更進一步地思考，那就是一個圓和圓心、半徑有關，可以說圓心和半徑是圓的兩個重要元素，圓心決定了圓的位置，半徑決定了圓的大小.

這些思考和問題都是在主動參與的過程中自然而然地生成，如果是被動的，或者說是教師講一步、學生做一步，那么學生就只是完成了教師已經預設好的問題或者說是布置的任務，并沒有充分參與到活動與思考中.

那么，如何進一步提高學生的主動參與度呢？

首先，應該對現象進行適當的選取.在呈現本節課所需要的現象時，應考慮到適合學生、適合教師、適合課堂需要，或者說是適合觀察、分析并能表達的現象，在學生的最近發展區尋找現象，營造讓讓學生跳一跳可以夠到的感覺，有效激發學生的學習興趣，讓學生愿意并主動參與到課堂活動中.

其次，可以對學生的思維過程進行多角度呈現和展示.例如，可以讓學生在觀察現象后開始交流討論并代表小組進行發言，也可以把學生在草稿紙上完成的思維和計算過程投影在屏幕上，讓他自己進行講解說明，當然也可以讓學生直接到黑板上進行板演，完成練習.同時教師也應該多表揚、多肯定、多鼓勵，營造良好的師生和諧關系，讓學生更加主動地參與到各種環節中，并能勇敢地提出問題.

另外，需要精心設置學生學習的目標和任務.讓學生有針對性、有目的性地去學習，因為學習任務導向目標越具體，可實施性就越強，學生的主動參與度就越高.并且，落實了任務導向目標后，自然能有更大的信心去完成下一個目標，學生將會在落實一個個目標中奮力前行，更有效地參與到活動中去，并能最大效度地提升問題意識.

3.2 進一步豐富學生的基本活動經驗

現象教學中，學生的“問題意識”很大程度上取決于學生或小組的基本活動經驗，有一句古話叫做“權，然后知輕重；度，然后知長短.”筆者認為在教學中亦是如此，學生學習新的內容，肯定要借助于已有的基本知識、基本技能、基本活動經驗和基本思想方法，而在“四基”中個人覺得基本活動經驗是非常有代表性的，包括人類很多新的認識和發現就是基于以前的活動經驗，從而通過猜想、類比、聯想、論證，一步一步走向科學和成功.

例如，學生畫圓，要想畫出標準的圓肯定不能徒手畫，根據經驗，需要借助圓規等工具.這就是活動經驗，可能這個活動經驗是從生活中獲得，也可能在以前的數學課上獲得.那學生對圓方程的理解肯定要基于對直線方程的理解和聯系上，研究直線乃至整個解析幾何系統的一般原則就是從代數的角度去刻畫幾何圖形，根據數形結合的基本思想進行研究.這里面既有類比、也有對比，包括滿足一定條件的點構成的集合組成了直線，那什么樣的點集組成了圓呢？研究直線方程時可以設直線上任意一點(x,y)，那研究圓方程時是設圓上任意一點嗎？直線方程是關于x,y的二元方程，那圓方程是否也是關于x,y的二元方程呢？

基本活動經驗包括在分析問題時所借助的經驗，也包括在解決問題時所借助的經驗，但是最重要的是對現象的觀察和認識時所借助的經驗，假如沒有對現象的觀察和認識，就沒有問題的發現和提出，何談分析和解決問題呢？

那么，如何進一步豐富學生的基本活動經驗呢？

首先，應讓學生充分參與到活動中.不僅僅是課堂上的活動要積極主動參與，課后也應該參與一些探究活動、小組討論等，其實從廣義上來講，筆者認為多看書、多做題、多查閱資料也是積累和豐富基本活動經驗的重要方式.

其次，需要大力提倡小組合作學習.教育教學過程應是“人際合作關系”.學生在共同完成某個學習任務或解決某個實際問題的過程中，發揮各自的優勢，相互爭論、相互幫助、相互提示或是進行分工合作，即在師生、生生之間建立一種和諧有序的交流，從而有效解決個人基本經驗不足的缺陷，在潛移默化中錘煉學生的技能、塑造學生求實進取的個性品質，在合作交流學習中有效并大幅提升基本活動經驗.

最后，需要學生不時對活動進行經驗總結.反思可以讓學生發現自身不足，促使自己不斷改進，同時也能發現在活動過程中的閃光點，并能在后續的活動中能更快地熟悉和發現問題.總之，活動后的反思可以讓自己從操作經驗上升到理論高度，汲取優秀經驗，揚長避短.所以，總結和反思是非常有必要的，或許也可以看成是進一步豐富和提升學生基本活動經驗的一種方式.

3.3 進一步強化學生的數學思維品質

現象教學中，學生的“問題意識”也與學生的數學思維品質相輔相成，數學的思維品質包括批判性、獨創性、合理性、論證性、開闊性、記憶的條理性、語言文字的簡明性等.數學活動的過程與結果與思維的品質有著直接的關系.從“問題意識”角度來看，問題促進數學思維品質的進一步生成，同時優良的數學思維品質能讓學生在數學活動中更快更準地發現和提出問題.

蘇聯教育學家巴班斯基通過實驗研究，證實了中學生學習是否順利，與他們的思維是否具備上述思維品質密切相關，這些思維品質彼此之間是息息相關的，同時會組成一定的相互關聯的綜合體，在學生學習活動中，它們會以另外一些獨特的思維品質的形式表現出來.因此,培養學生的良好的數學思維品質，不僅有助于數學教學的順利進行，而且是數學教育的目標之一.

那么，如何進一步強化學生的數學思維品質呢？

首先，應該培養學生質疑的勇氣和精神.現實世界的呈現，需要用辯證的眼光去看待，如果一味地接受，那只是一個將現象記憶在腦中的過程，失去了思考和質疑，那么這樣的學習效率是低下的.有了質疑的勇氣并能堅持，就會積極產生思考，提出問題，進一步提升問題意識.

其次，強化學生的邏輯論證和求真意識.問題的發現和提出也會伴隨著猜想，而且問題應該是有明確的指向性和前瞻性，并等待著論證，而且每得到一個結論，都要有一種“算兩次”的想法，最終讓學生能夠善于探究證明現象的真實性，辨別所用材料的真偽，并理解材料的重要意義.在新課程改革背景下，加強求真意識的培養對問題意識的培養起著重要的推動作用.

第三，學生的創新意識和能力的培養.知識與技能需要傳承，同時也需要創新.一方面學生看待問題或現象時要敢于提出不一樣的看法，另一方面在解決一個問題時，要試著思考能不能變換其中的一些條件進行變式處理，提出一些新的問題.有了創新的氛圍，問題意識才能得到加強.

4 結束語

每一門學科從產生到發展，直至最終完善都是一個發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程.沒有問題的提出和問題的解決，也就不會有自然科學，數學亦然.希爾伯特曾經說過：“一門學科如果能不斷提出問題，那它就永遠充滿活力.”由此可見，問題是促使一門學科發展的源動力，也是數學學科核心素養的基礎.

而現象教學就是用數學的眼光、用數學的思維、用數學的語言去觀察、分析和表達現象，把數學現象還原為數學問題，以“問題”為主線，鼓勵學生發現和提出問題，分析問題和解決問題，并能通過這一系列過程培養學生的數學學科素養，現象教學走進課堂，真正地做到讓數學核心素養落地生根！