《獨立性檢驗的基本原理及其初步應用》的教學研究

蘇志強 王慧

摘 要：高中階段“獨立性檢驗”知識一直是教學中的一個難點，尤其在文科班教學中會碰到更大的理解障礙。故本人打算研究一下“獨立性檢驗”在文科數(shù)學教學中的問題，以一個不同的教學視角重塑教材，促進文科生更好地理解和掌握獨立性檢驗知識.

關鍵詞：獨立性檢驗;教材解析

一、產(chǎn)生背景

高中數(shù)學“獨立性檢驗”知識一直是教學中的一個難點，并且在文科數(shù)學和理科數(shù)學中的教學方式很不相同。本人通過查閱相關文獻，感覺多數(shù)文章都是針對理科數(shù)學的“獨立性檢驗”教學進行研究，從事件的相互獨立性入手，推出兩個分類變量無關下的公式，然后結合小概率原理說明獨立性檢驗的基本原理。這樣的教學在文科數(shù)學教學中卻會碰到很大的障礙，本文打算研究一下“獨立性檢驗”在文科數(shù)學中的教學問題，以一個不同的教學視角重塑教材，促進文科生更好地理解獨和掌握獨立性檢驗知識。

二、問題提出

文科生應該如何學習“獨立性檢驗”知識？這對大多數(shù)一線老師來說都是一個頭疼的問題。首先文科學生多數(shù)數(shù)學基礎不好，對數(shù)學概念的理解不夠深刻;其次“獨立性檢驗”知識放在了選修1—2的第一章第2節(jié)，在此之前學生沒有學習過相關知識：比如假設檢驗的知識[1]、連續(xù)型隨機變量和正態(tài)分布的知識，也沒有正式學習過小概率原理和反證法原理等等，所以很多學生會困惑為什么獨立性檢驗要假設兩個分類變量無關？為什么不能假設兩個分類變量有關？為什么要構造K2？K2為什么用書上的形式？P（K2≥6.635）=0.01是什么意思？6.635是怎么冒出來的？“犯錯誤不超過0.01”又該如何理解？[2]鑒于此，要想讓文科生易于接受獨立性檢驗的基本思想，就不能按照教材的過程按部就班地進行教學，應當對教材深入挖掘和提煉，找到一個適合文科生數(shù)學現(xiàn)狀的教學方式。

那么“獨立性檢驗”如何教學才能更好的讓文科生接受呢？本人最近在本市上了一節(jié)本課例的示范課，收獲了很好的教學效果，在此列出其中的一些片段，希望能夠與各位同仁探討一下。

三、實施過程

（前面的分類變量、列聯(lián)表、數(shù)據(jù)和圖形分析的講解過程省略）

師：同學們，我們知道了數(shù)據(jù)和圖形分析可以很直觀的判斷出兩個分類變量是否有關系，但是現(xiàn)在有個問題，我們這個判斷結果有沒有可能犯錯誤呢？

生1：有可能，因為調(diào)查數(shù)據(jù)有一定的隨機性

師：很好，我們通過數(shù)據(jù)和圖形分析得來的判斷過于依賴數(shù)據(jù)的特征，這便有可能造成誤判，那么如果我們能將這種誤判的風險定量化是不是對于決策會產(chǎn)生很好的幫助呢？比如我們不僅得到了一個判斷結果，而且還知道這個結果犯錯誤的可能性只有1%，那么我們的結果是不是更有說服力呢？那么如何確定我們做判斷時犯錯誤的概率呢？

生：......

師：大家有了困惑，這很好，這個便是我們這節(jié)課所要完成的事情，也就是說獨立性檢驗不僅要解決兩個分類變量是否有關系的問題，而且要推斷出犯錯誤的概率，下面我們一個一個解決！

師：同學們，我們將前面的引例一般化，看看有什么發(fā)現(xiàn)？

不吸煙者中患肺癌的比例是? ，在吸煙者中患肺癌的比例是? ，那么如果吸煙和患肺癌有關系，用式子如何表示？

生2：應該吸煙者中患肺癌的比例高于不吸煙者中患肺癌的比例，即

師：很好，那么如果吸煙和患肺癌沒有關系，用式子又如何表示？

生3：應該吸煙者中患肺癌的比例約等于不吸煙者中患肺癌的比例，即

師：回答的很對，但是事實上我們不知道吸煙和患肺癌是不是有關系，這時我們要進行下去，就要先假設一下，這樣才能將研究進行下去。那么大家覺得應該如何假設才有利于操作和計算？

生：假設吸煙和患肺癌沒有關系比較好，這樣式子比較簡單

師：對的，那么請同學們計算一下，看看能通過

推出什么？

生4：我們可以推出ad-bc≈0

師：很好，但是ad-bc的值可正可負，那么我們?nèi)绾翁幚聿拍鼙苊膺@種麻煩呢？

生5：取絕對值或平方

師：好，如果吸煙與患肺癌無關，那么? ?或? ?的值有什么特征？

生6：會非常小

師：對的，也就是說兩個變量無關時（ad-bc）2會非常小，可是我們知道樣本容量越大得到的結果就會越接近真實情況，但是上面的量（ad-bc）2并未將樣本容量包括進去，所以我們需要兼顧（ad-bc）2和樣本容量，所以基于以上分析，我們構造了一個變量：? ? ? ? ? ? ，請問，如果吸煙和患肺癌沒有關系，那么K2的值會有什么特征？

生7：K2的值會很小

師：對的，也就是說我們可以很形象地用K2值的大小來確定吸煙和患肺癌是否有關系，若K2值很大，我們就認為兩者有關系;若K2值很小，我們就認為兩者無關系，這樣說可不可以？

生：可以！

師：好的，那么問題來了，K2的值怎樣才算大？怎樣才算小？

生：......

師：大家不妨想想生活中的例子，比如什么才算成績好？什么才算低收入？怎么界定胖和廋？

生8：我知道了，這里的K2是大還是小要有一個臨界值，比臨界值大我們就認為K2值大，比臨界值小，我們就認為K2值小.

師：對的，我們可以通過K2值與臨界值k0的比較來確定：如果K2≥k0，我們就可以認為K2值很大，這時吸煙和患肺癌有關系;如果K2

生：......

師：不好回答，那么大家思考另一個問題：在吸煙和患肺癌無關的情況下，K2有沒有可能很大呢？

生9：有可能，因為調(diào)查數(shù)據(jù)的隨機性K2有可能出現(xiàn)較大值.

師：對的，在吸煙和患肺癌無關時K2值有可能很大，只是出現(xiàn)較大K2值的概率非常小，有多小呢？數(shù)學家已經(jīng)幫我們求出來了，比如P（K2≥6.635）=0.01，這里的意思就是在兩個分類變量沒有關系的前提下K2≥6.35的概率只有0.01，我們的數(shù)學家是不是很厲害啊？

生：是的！

師：大家思考一下，哪些情況下會出現(xiàn)K2值很大呢？

生10：有兩種情況，（1）兩個分類變量有關系，K2值很大;（2）兩個分類變量沒有關系，K2值有很小的概率會很大

師：回答的很好，大家想一想，如果K2≥k0，這時我們有理由認為吸煙和患肺癌有關系，但這種判斷我們知道是有可能犯錯誤的，那么犯錯誤的概率是多少呢？

生11：我覺得應該是第（2）種情況對應的概率

師：對的，我們根據(jù)較大K2值確定了兩個分類變量有關系，但是我們忽視了兩個分類變量無關時K2值較大的這種可能性，所以我們會犯的錯誤就是這個概率，大家明白了么？

生：明白！

師：K2值很大時我們?yōu)槭裁床徽J為是第（2）種情況發(fā)生了呢？

生12：在第（2）種情況下K2值很大的可能性太小了，在一次實驗的情況下很難發(fā)生

師：回答的很好

（后面的教學過程省略）

四、教后反思

在此之前本人一直是采用教材的處理方式展開教學，但是在處理P（K2≥6.635）=0.01上感覺教學的銜接不是很順暢，這個公式在教材中是直接給出的，是忽然間冒出來的，書上沒有給出什么解釋，所以教學中處理不當就會讓學生感到牽強和唐突，自然教學效果也不盡如人意。雖然后期通過強化訓練可以讓學生學會獨立性檢驗的操作步驟，但是學生心中的疑惑始終不能排解。所以這次本人在教學時有意識的避開書上的講解方式，淡化理論性的敘述，改用通俗形象的語言解釋如何利用K2的值判斷兩個變量是否有關系，只要K2值大于或等于臨界值 我們就認為兩個變量有關系，K2小于臨界值k0我們就認為兩個變量沒有關系;然后說明在兩個變量無關的前提下，也有小概率出現(xiàn)K2值很大的情況，只是在一次試驗中，這種小概率幾乎不會發(fā)生，所以我們根據(jù)K2值判斷兩個變量有關系時，這種判斷會犯錯誤，并且犯錯誤的概率就是前面說的小概率。當然，通俗的語言容易產(chǎn)生麻煩，教學中說K2小于臨界值k0我們就認為兩個變量沒有關系，這其實是不嚴謹?shù)摹５菫槭裁从忠@樣敘述呢？我覺得文科學生，尤其是數(shù)學基礎不好的文科生不能跟他們強調(diào)太多的數(shù)學嚴謹，學生的認知水平還遠遠沒有達到嚴謹?shù)某潭龋^度的嚴謹會束縛學生的思維，令學生失去學習數(shù)學的興趣和熱情。所以教學不能生搬硬套書本知識，特別是教材內(nèi)容超過學生的理解范疇時更要仔細挖掘教材的精華，通過老師的深度思考和加工后再以通俗易懂的語言教給學生，這樣的教學才是符合新課標的理念，教師的魅力也在于此！

參考文獻：

[1]李勇，張淑梅.關于高中教材中獨立性檢驗知識呈現(xiàn)方式的思考[J].數(shù)學通報，2010，49（11）：25-26.

[2]彭愛萍.新課程理論下是“教”教材還是“用”材教——從一節(jié)“獨立性檢驗的基本思想”的教學談起[J].數(shù)學教學通訊，2013（3）：30-31.