含Pell數(shù)和Pell-Lucas數(shù)乘積的斜循環(huán)矩陣的行列式及其性質(zhì)*

李笑麗 何承源 雷林

(西華大學(xué)理學(xué)院,成都，610039)

1 引言

循環(huán)矩陣在非線性控制系統(tǒng)、預(yù)處理、信號處理、圖像處理、Toeplitz矩陣等問題中起著重要的作用[1-3]. 近年來, 矩陣?yán)碚摴ぷ髡邔Π麛?shù)列的循環(huán)矩陣進(jìn)行了一系列的研究, 如循環(huán)矩陣的行列式、范數(shù)、逆矩陣及擴(kuò)展式等[4-12]. 文獻(xiàn)[13]給出了以Fibonacci數(shù)和Lucas數(shù)之積為元素的斜循環(huán)矩陣的行列式、逆矩陣和范數(shù)等. Zheng與 Shon[14]研究了廣義Lucas斜循環(huán)矩陣的精確行列式和逆矩陣. Bozkurt[10]給出了帶有Pell和 Pell-Lucas數(shù)列的經(jīng)典循環(huán)矩陣的行列式和逆矩陣.

受上述研究的啟發(fā), 本文將對以Pell數(shù)和Pell-Lucas數(shù)之積為元素的斜循環(huán)矩陣、左斜循環(huán)矩陣的行列式、范數(shù)及擴(kuò)展式的上下界進(jìn)行研究.

2 預(yù)備知識(shí)

定義2.1[15]已知Pell數(shù)列{Pn}：Pn+2=2Pn+1+Pn,其中P0=0,P1=1,P2=2,n≥0；Pell-Lucas數(shù)列{Qn}：Qn+2=Qn+1+Qn,其中Q0=2,Q1=2,Q2=6,n≥0. 定義新數(shù)列{ζn}如下：

ζn+2=6ζn+1-ζn,n≥1,

(2.1)

其中ζ1=2,ζ2=12.ζn是第n個(gè)Pell數(shù)和第n個(gè)Pell-Lucas數(shù)之積, 其前幾項(xiàng)如下表：

表1 第n個(gè)Pell數(shù)和第n個(gè)Pell-Lucas數(shù)之積

新數(shù)列{ζn}的Binet公式如下：

(2.2)

其中α和β是特征方程x2-6x+1=0的兩個(gè)不同的根.

定義2.2以ζ1,ζ2,ζ3,…,ζn為元素的n階斜循環(huán)矩陣為

(2.3)

定義2.3以ζ1,ζ2,ζ3,…,ζn為元素的n階左斜循環(huán)矩陣為

(2.4)

引理2.1[7]設(shè)每個(gè)矩陣Xn=(Hk,n-1,Hk,n,Hk,n,Hk,n+1)的項(xiàng)為廣義k-Horadam數(shù). 則當(dāng)n≥1時(shí)有

|Xn|=(-g(k))n-1(a2g(k)+abf(k)-b2).

引理2.2設(shè)ζn是第n個(gè)Pell數(shù)和第n個(gè)Pell-Lucas數(shù)之積，則有

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

因此

(2.9)

(2)由(2.1)有

(2.10)

于是, 由(2.9)和(2.10)得

對{ζn}有

(2.11)

從而, 從(2.11)可得

所以

(4)令

(2.12)

由(2.1)和(2.12)以及

a2Sn=ζ1a3+ζ2a4+…+ζnan+2,

6aSn=6ζ1a2+6ζ2a3+…+6ζnan+1

可得

(a2-6a+1)Sn=ζnan+2-ζn+1an+1+2a,

因此

引理2.3[4]斜循環(huán)矩陣和左斜循環(huán)矩陣滿足下列關(guān)系式

SCirc(a1,a2,a3,…,an)=ΔSLCirc(a1,a2,a3,…,an),

定義2.4[11]矩陣An的最大列和范數(shù)‖An‖1, 最大行和范數(shù)‖An‖∞和Frobenius范數(shù)‖An‖F(xiàn)定義為：

這里‖A‖F(xiàn)是Frobenius范數(shù), trA是A的跡.

引理2.5[17](1)若A=(aij)是正規(guī)實(shí)循環(huán)矩陣, 則

s(A)≥(1/(n-1))|∑i≠jaij|.

(2)若A是Hermitian矩陣, 則s(A)≥2maxi≠j|aij|.

3 斜循環(huán)矩陣的行列式、范數(shù)及其擴(kuò)展式的上下界

定理3.1An的行列式為

(3.1)

證明由矩陣An的定義, 可得 detA1=1,detA2=148以及detA3=346320.

當(dāng)n>3時(shí), 構(gòu)造矩陣

和

則

(3.2)

(3.3)

(3.4)

對(3.2)式兩端取行列式得

推論3.1An可逆.

證明由定理3.1易知結(jié)論成立.

定理3.3An的最大列和范數(shù)‖An‖1, 最大行和范數(shù)‖An‖∞和Frobenius范數(shù)‖An‖F(xiàn)為：

(3.5)

(3.6)

證明由定義2.4, 式(2.5)及式(2.7)即可得

定理3.4An的擴(kuò)展式s(An)的上、下界如下：

(3.7)

證明已知An的跡trAn=nζ1=2n,An的非對角線元素之和

由式(2.5)和式(2.6)可得

4 左斜循環(huán)矩陣的行列式、范數(shù)和其擴(kuò)展式的上下界

定理4.1A″n的行列式為

(4.1)

推論4.2A″n可逆.

定理4.3A″n的最大列和范數(shù)‖A″n‖1, 最大行和范數(shù)‖A″n‖∞和Frobenius范數(shù)‖A″n‖F(xiàn)為：

(4.2)

(4.3)

證明利用與定理3.3相同的證明方法即可得結(jié)論.

定理4.4A″n的擴(kuò)展式s(A″n)的上、下界如下：

證明因矩陣A″n是對稱矩陣, 所以由引理2.4和引理2.5可知

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), 有

又ζn+2=6ζn+1-ζn, 其中ζ1=2,ζ2=12, 因此

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), 有

tr(A″n)=ζ1-ζ1+ζ3-ζ3+…+ζn-1-ζn-1=0.

綜上即可得

5 數(shù)值例子

解由MATLAB中求矩陣的行列式公式計(jì)算得detA5=7.6087e+16. 根據(jù)式(3.1)可得detA5=7.6087e+16. 由定義2.4可得

又根據(jù)式(3.5)及式(3.6)可得A5的三種范數(shù)

解在MATLAB中輸入矩陣, 再用求矩陣行列式的公式, 可得detA″5=7.6087e+16,又由式(4.1)可得detA″5=7.6087e+16. 由定義2.4可得

再由式(4.2)和式(4.3)可得