自由半群和斜積映射下的拓?fù)鋲?

王威 李淵

(南通理工學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院，南通，226002；南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，南京，210023)

1 引言

拓?fù)鋲菏菬崃W(xué)公式系統(tǒng)中一個(gè)非常重要的概念，Ruelle[1]首先提出該概念并證明了拓?fù)鋲旱淖兎衷恚淇紤]的是緊致不變集合相對(duì)于一個(gè)同胚的勢(shì)函數(shù)的拓?fù)鋲?Walters[2]將此概念進(jìn)行推廣，系統(tǒng)地介紹了關(guān)于熵和拓?fù)鋲旱囊恍└拍詈托再|(zhì).

1999年，Bufetov[3]給出了自由半群作用下的拓?fù)潇氐亩x，并得到了在斜積映射下的乘積定理.2011年, Ma[4]研究了半群作用下的拓?fù)潇睾屯負(fù)鋲?2019年王威[5]利用緊致化的方法構(gòu)造了任意拓?fù)淇臻g的拓?fù)鋲?近年來，各種集合上的拓?fù)鋲何墨I(xiàn)很多，比如[6-8], 經(jīng)典的拓?fù)鋲航榻B可以查看[9].本文將[3]中拓?fù)潇赝茝V至拓?fù)鋲海@得壓工作的新進(jìn)展，并在斜積映射下獲得新的乘積定理.

記∑m是由符號(hào)0,1,…,m-1構(gòu)成的雙邊無限序列的全體，即

∑m={ω=(…,ω-1,ω0,ω1,…):?i∈Z+,ωi=0,1,…,m-1}.

?ω1,ω2∈∑m, 記d(ω1,ω2)=2-k, 其中k=inf{|n|:ω1≠ω2}.

設(shè)一個(gè)有m個(gè)生成子的自由半群作用在X上, 這m個(gè)自由生成子映射記為f0,f1,…,fm-1.假設(shè)這些映射都是連續(xù)的.

2 相關(guān)定義和性質(zhì)

我們有如下性質(zhì)：

定義2設(shè)g∈C(X,R),ε>0, 定義

我們有下述性質(zhì)：

(4)Qn(f0,…,fm-1,0,ε)=B(n,ε,f0,…,fm-1).

(5) 若ε1>ε2, 則Qn(f0,…,fm-1,g,ε1)≤Qn(f0,…,fm-1,g,ε2).

映射P(f0,…,fm-1,·)：C(X,R)→R∪{∞}稱為自由半群作用下的拓?fù)鋲? 它與自由半群作用下的拓?fù)潇豩(f0,…,fm-1,g,ε)有下列關(guān)系：

(6)P(f0,…,fm-1,0)=h(f0,…,fm-1,g,ε).

下面從分離集角度給出一個(gè)等價(jià)定義.

性質(zhì)：

定義4設(shè)g∈C(X,R)，ε>0. 定義

性質(zhì)：

3 主要定理及證明

證明由性質(zhì)(11)知上述極限存在. 由性質(zhì)(9), 有

由引理1, 對(duì)任意δ>0有

因此

證畢.

我們稱P(f0,…,fm-1,g)為自由半群作用下的拓?fù)鋲?

下面將斜積映射與自由半群的作用結(jié)合起來.

映射F:∑m×X→∑m×X定義為:F(ω,x)=(δω,fω0(x)). 當(dāng)ω0=0時(shí),fω0=f0；當(dāng)ω0=1時(shí),fω0=f1; 依此類推.

設(shè)g1和g2分別為∑m和X上的連續(xù)函數(shù). 則g=g1×g2是∑m×X上的連續(xù)函數(shù). 令g(ω,x)=g1(ω)+g2(x),?(ω,x)∈∑m×X.

定理2映射F的拓?fù)鋲簼M足:

P(F,g)=P(δ,g1)+Pn(f0,…,fm-1,g2).

+g(fωn-2…ω0(x))),

因此

從而

即

P(F,g)≥P(δ,g1)+Pn(f0,…,fm-1,g2).

+g(fωn-2…ω0(x))),

因此

從而

進(jìn)而

P(F,g)≤P(δ,g1)+Pn(f0,…,fm-1,g2).

證畢.