帶災難的二維MX/M/1排隊模型*

李俊平

(中南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,長沙，410083)

1 引言

排隊模型是應用概率論的一個重要研究分支,在交通、通訊和服務性行業(yè)具有非常重要的應用. 排隊模型的一般理論與連續(xù)時間 Markov鏈一般理論的相互結合已經(jīng)成為一個非常成功和富有成果的研究領域. 在排隊理論中, 成批到達和成批服務的排隊模型在 Markov排隊模型的理論和應用中具有重要的地位和作用. 由于其在許多領域中的廣泛應用, 它吸引了眾多概率論學者的關注和研究. 其中, 具有狀態(tài)獨立和狀態(tài)依賴控制的 Markov排隊模型也引起了許多學者的興趣, 例如 Chen, Li, Hou 和 Wang[2], Chen, Pollett, Li 和 Zhang[3], Li, Zhang[12], 以及 Zhang, Li[15,16].

近來, 帶有災難的排隊模型引起了許多學者的研究興趣. 例如, Chen, Zhang, Liu 和 Rennolls[7], Di Crescenzo, Giorno, Nobile和Ricciardi[8], Economou, Fakinos[9]討論了帶災難的連續(xù)時間馬爾可夫鏈的瞬時分布等性質(zhì). Chen 和 Renshaw[5,6]分析了災難對M/M/1及相關Markov排隊模型的影響, Zhang 和 Li[16]把這些結果推廣到了M/M/c排隊模型. KrishnaKumar 和 Arivudainambi[10]討論了災難對初始顧客數(shù)為隨機情形的 Markov 排隊系統(tǒng)的影響. Di Crescenzo, Giorno, Nobile 和Ricciardi[8]研究了帶災難的一般的生滅過程有效災難的首次發(fā)生時間.

在通常情況下, 當系統(tǒng)狀態(tài)為0時就認為災難發(fā)生了,并且系統(tǒng)將永遠停留在狀態(tài) 0, 即 0 為吸收態(tài). 在本文中, 假定災難發(fā)生后系統(tǒng)仍可以從 0 狀態(tài)轉移到其它正狀態(tài), 排除了災難發(fā)生后 0 為吸收態(tài)的情況. 這種災難稱之為有效災難, 即當系統(tǒng)狀態(tài)不為 0 時發(fā)生的災難. 因此, 本文不考慮系統(tǒng)狀態(tài)為 0 時有災難發(fā)生的情形.

本文考慮帶災難的二維MX/M/1 排隊模型,給出其有效災難首次發(fā)生時間的概率密度函數(shù)的Laplace變換的精確表達式，以及有效災難首次發(fā)生時間的數(shù)學期望和方差及其漸近性質(zhì).

考慮一個二維排隊網(wǎng)絡系統(tǒng)，系統(tǒng)中有兩個服務站點，其演變規(guī)律可直觀描述如下：

(1)顧客獨立地成批到達兩個站點，每一批到達的顧客數(shù)是隨機的，且批與批之間的到達時間間隔相互獨立并服從相同的指數(shù)分布；

(2)服務規(guī)則為先到先服務，每一個顧客的服務時間相互獨立且服從相同的指數(shù)分布；

(3)一個顧客接受完服務后，可以選擇轉移到另一個服務站點，也可以直接離開系統(tǒng)；

(4)外部有一個災難流影響系統(tǒng)，災難流的到達服從泊松分布，災難一旦發(fā)生，系統(tǒng)中顧客立即清空.

為方便起見，我們采用如下記號：

0=(0,0),e1=(1,0),e2=(0,1).

Q=Q*+Q(0)+Qc,

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

由于定義1.1中給出的Q是有界保守Q矩陣, 根據(jù) Markov 鏈的一般理論, 存在唯一的過程, 即 Feller 最小過程, 滿足 Kolmogorov 向前向后方程. 我們稱這個過程為帶災難的二維MX/M/1 排隊過程, 并記此過程為 {N(t);t≥0}.

特別地，若ξ=0， 即沒有災難，此時Q矩陣為

(1.5)

2 預備引理

為了研究帶災難的二維MX/M/1 排隊模型, 我們引入如下發(fā)生函數(shù):

顯然,A(u),B(v)都在 [-1,1] 上有定義.

(2.2)

證明由 Kolmogorov 向前方程以及Q*的特殊性立得.

3 有效災難首次發(fā)生時刻

本節(jié)我們來考慮過程 {N(t);t≥0} 有效災難的首次發(fā)生時間.

(3.1)

初始條件為pj,n(0)=δj,n.

(3.2)

或者,

(3.3)

證明由于引理所涉及的Q矩陣都是有界保守的，只需證明(3.2)式定義的pj,n(t) 滿足Q對應的Kolmogorov向前方程即可. 事實上，

這就證明了(3.2)式. 對(3.2)式作 Laplace 變換即可得到 (3.3)式. 證明完畢.

(3.4)

(3.5)

(3.6)

其初始條件為hj,n(0)=δj,n.由文獻[8]知,{M(t);t≥0}和Cj,0之間有以下關系：

(3.7)

(3.8)

(3.9)

證明當j=0時, 對(3.6)后兩個方程取Laplace變換, 得

(3.10)

同時，對(3.1)取Laplace變換,得

(3.11)

令

(3.12)

將(3.12)代入(3.10),并結合(3.11),可得

(3.13)

將(3.13)代入(3.12),并利用(3.3)式,可得當j=0時(3.9)成立.

一般地，當j≠0 時,

(3.14)

令

(3.15)

對(3.1)代入取Laplace變換,并把(3.15)代入(3.14),可得

(3.16)

最后, 將 (3.6) 的第一個方程做 Laplace 變換, 得

因此, 由 (3.9) 立即得到 (3.8). 證明完畢.

(3.17)

pj,n(t)=P(Nt=n|N0=j)

=P(Nt=n,Cj,0>t|N0=j)+P(Nt=n,Cj,0t|N0=j)

對上式取Laplace變換, 得

πj,n(λ)=ηj,n(λ)+Δj,n(λ)π0,n(λ),

接下來我們考慮有效災難的首次發(fā)生時間Cj,0的期望和方差.

(3.18)

(3.19)

證明由于

由 (3.17) 經(jīng)過簡單的代數(shù)運算即可得到 (3.18)和 (3.19). 證明完畢.

下面的定理給出了當ξ↓0 時平均有效災難的首次發(fā)生時間E[Cj,0] 的漸近性質(zhì).

證明完畢.

最后，我們來考慮當ξ→+∞ 時平均有效災難的首次發(fā)生時間E[Cj,0] 的漸近性質(zhì).

定理3.4我們有

證明由于

由 (3.18) 得

利用Tauberian定理可得