妙用“連心線”巧解“帶電粒子在圓形磁場中的運動”問題

摘?要：帶電粒子垂直射入圓形有界磁場時，粒子在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，粒子運動的“軌跡圓”與磁場的“邊界圓”就會形成兩圓相交的幾何關系.由圓的幾何知識可知，兩相交圓關于它們的連心線對稱，借助連心線的這一幾何特征，就能較為輕松地解決帶電粒子在圓形磁場中的運動問題.

關鍵詞：帶電粒子;圓形磁場;相交圓;連心線;對稱性

文章編號：1008-4134（2020）07-0064中圖分類號：G633.7文獻標識碼：B

作者簡介：李瑋（1983-），男，甘肅平涼人，本科，中學一級教師，研究方向：高中物理學科教學.

帶電粒子在圓形有界磁場中的運動問題是高中物理常見的一類典型問題，解決此類問題的基本思路：定圓心→畫圓弧→找關系→求變量.但在教學中常發現學生不能依據圓的幾何知識確定圓心，畫不出粒子運動的圓弧，問題也就不能有效解決;若學生能夠抓住兩圓相交時，兩圓關于它們的連心線對稱，就會發現連心線是公共弦的中垂線、也是兩圓心角的角平分線.在解決帶電粒子在圓形磁場中的運動問題時，巧妙應用連心線的對稱性，就能簡化問題，更能快速解答問題，本文通過三道典型例題的分析求解進行了論證說明.

1?兩圓相交的幾何關系

帶電粒子進入圓形有界磁場時，粒子在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，其運動的軌跡圓與磁場的邊界圓形成兩圓相交的情景如圖1、2所示，其中實線圓為磁場圓、虛線圓為軌跡圓.由圖1、2可知兩圓相交時，圓心O1、O2分布在公共弦AB的兩側或同側兩種情形，在這兩種情形下兩圓都關于它們的連心線O1O2對稱.由對稱性可得到以下重要幾何關系：

（1）連心線垂直平分公共弦;

（2）連心線平分公共弦所對應的兩圓心角.

2?典型例題分析

帶電粒子射入磁場的方向不同時，粒子運動的軌跡也有所不同.本文選取粒子沿磁場半徑方向射入、粒子沿平行磁場直徑方向射入和粒子沿與磁場直徑成一夾角方向射入磁場的三種典型問題進行分析求解，旨在說明借助連心線解決此類問題操作方法和連心線的重要幾何特性.

2.1?類型一：粒子沿圓形磁場的直（半）徑方向射入

例題1?如圖3所示，一個電荷量為q（q>0）、質量為m的粒子，由靜止經電場加速后沿半徑方向進入半徑為R的圓形區域磁場，磁場方向垂直紙面向外，磁感應強度大小為B，已知粒子射出磁場方向與射入磁場方向的夾角為60°，則加速電場的電壓為（不計重力）

A.3qB2R22m?B.2qB2R2m

C.5qB2R22m?D.3qB2R2m

解析：該題中已知電荷射入磁場的速度方向和射出磁場時速度的偏向角，根據半徑與速度垂直關系和連心線是兩圓心角的角平分線，分別作出AO的垂線AO′和∠AOB的平分線OO′，則交點O′為電荷運動的軌跡圓的圓心，線段AO′為軌跡圓的半徑，作出電荷運動的圓弧如圖4所示，在RtΔOAO′中有：AOAO′=tan30°，將AO=R代入解得AO′=3R;設電荷的速度為v，根據洛倫茲力提供向心力有：qvB=mv23R，解得v=3qBRm;再根據電場力對電荷做功有：qU=12mv2，解得U=3qB2R22m，則A選項正確.

2.2?類型二：粒子沿平行于圓形磁場的直（半）徑方向射入

例題2?（2013·新課標Ⅰ卷）如圖5所示，半徑為R的圓是一圓柱形勻強磁場區域的橫截面（紙面），磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外.一電荷量為q（q>0）、質量為m的粒子沿平行于直徑ab的方向射入磁場區域，射入點與ab的距離為R/2.已知粒子射出磁場與射入磁場時運動方向間的夾角為60°，則粒子的速率為（不計重力）

A.qBR2mB.qBRm

C.3qBR2mD.2qBRm

解析：過點c作速度的垂線dc，由題可知cd=R2，則有∠dcO=60°;又由粒子射出磁場的偏向角為60°，根據偏向角等于圓心角的關系可知兩相交圓的公共弦與dc的延長線（半徑方向）的夾角也為60°，作出公共弦ce，再過點O作ce的垂直平分線OO′，則OO′與dc的延長線的交點O′為粒子運動的軌跡圓的圓心，進而作出粒子運動的圓弧如圖6所示.由連心線OO′是∠cO′e的角平分線，可知ΔOcO′為等腰三角形，則有cO′=cO=R;根據洛倫茲力提供向心力有qvB=mv2R，解得v=qBRm，則B選項正確.

2.3?類型三：粒子沿與圓形磁場的直（半）徑方向成一夾角射入

例題3?如圖7所示，平面直角坐標系中存在一個垂直于紙面向里的圓形磁場區域，該圓形區域的圓心是坐標系的原點O，半徑為R.一帶電粒子從P點（O，R）射入磁場，粒子的速度方向與y軸負方向成60°，速度大小為υ.粒子在磁場中偏轉后，從圓形磁場區域的某點沿x軸負方向離開磁場.已知帶電粒子的質量為m，電荷量為-q，粒子的重力不計.試求：（1）勻強磁場的磁感應強度B的大小;（2）帶電粒子離開磁場的位置坐標;（3）帶電粒子在磁場中運動的時間.

解析：（1）過點P分別作速度方向的延長線PE和垂線PF，則有∠FPO=30°;又由粒子沿x軸負方向離開磁場，則粒子在磁場中運動的偏向角為150°，圓弧所對圓心角為150°;再根據相交兩圓關于其連心線對稱可判斷兩圓心與兩圓交點構成的四邊形為菱形.過點O作PF的平行線OD，點D為OD與磁場邊界圓的交點;再過點D作y軸的平行線O′D，點O′為O′D與PF的交點，也為粒子運動的軌跡圓的圓心，進而作出粒子運動的軌跡圓如圖8所示（虛線圓）;連接O′O和PD，它們互相垂直平分，則有PO′=PO=R，又由洛倫茲力提供向心力有qυB=mv2R，解得v=qBRm;（2）過點O′作PO的垂線O′H，在ΔPHO′中有O′H=O′P·sin30°=R2，PH=O′P·cos30°=3R2，則帶電粒子離開磁場的位置坐標為（-R2，-3R2）;（3）帶電粒子在磁場中運動的周期T=2πmqB，又粒子在磁場中運動的圓心角為150°，則粒子運動的時間t=150°360°×T=5πm6qB.

3?小結

本文通過對兩相交圓的幾何關系進行分析，明確了連心線對稱性特征，從而得到了連心線既是公共弦的中垂線，又是圓心角的角平分線，借助連心線的這兩個幾何關系，對帶電粒子沿三個不同方向射入圓形磁場的運動問題進行了分析求解，旨在強調連心線的重要應用和解決帶電粒子在圓形磁場中運動問題的求解方法.

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（收稿日期：2020-01-13）