隨機(jī)終止時(shí)間下確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略

王偉 黃鵬飛 黃嬋

摘 要：假定養(yǎng)老金管理者投資的終止時(shí)間是不確定的，研究風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿足馬爾可夫調(diào)節(jié)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題。通過隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法和HJB方程，得到最優(yōu)投資策略。最后，通過數(shù)值例子分析市場的模型參數(shù)對最優(yōu)投資策略的影響，

關(guān)鍵詞：繳費(fèi)型養(yǎng)老金;最優(yōu)投資;HJB方程;指數(shù)效用函數(shù)

中圖分類號：F830? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? 文章編號：1673-291X（2020）04-0063-06

引言

確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的投保人按照固定繳費(fèi)率繳費(fèi)，到退休時(shí)領(lǐng)取的養(yǎng)老金完全取決于其個(gè)人賬戶的繳費(fèi)及其投資收益。由于確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的特點(diǎn)是投保人退休后待遇不能確定，賬戶和基金的投資風(fēng)險(xiǎn)全部由投保人個(gè)人承擔(dān)，因此如何實(shí)現(xiàn)確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資成為金融理論界非常關(guān)心的問題。近年來，國內(nèi)外學(xué)者在這方面做了很多研究。Thomson建立了一個(gè)連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，利用退休時(shí)刻財(cái)富的期望效用最大化準(zhǔn)則，得到了確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略[1]。Gao考慮了對數(shù)效用函數(shù)，通過Legendre轉(zhuǎn)換和對偶理論，獲得了確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)資產(chǎn)配置的顯式解[2]。Battocchio和Menoncin進(jìn)一步假定養(yǎng)老金繳存人員的工資是隨機(jī)的且市場中存在通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)，得到了該模型下確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略[3]。谷愛玲等假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿足Ornstein-Uhlenbeck模型，研究了冪效用函數(shù)下確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題[4]。王偉和甘少波假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格服從馬爾可夫調(diào)制的幾何布朗運(yùn)動(dòng)且市場中的貸款利率高于存款利率，采用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理得到了確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略[5]。

以上的文獻(xiàn)都是假定投資終止時(shí)間是確定的。然而，在實(shí)際生活當(dāng)中，投資的終止時(shí)間不一定是確定的，很多時(shí)候一些突發(fā)原因會造成投資者提前終止投資，例如：投資者死亡或發(fā)生破產(chǎn)等。郭文旌和胡奇英在投資終止時(shí)間不確定的條件下，研究了多階段最優(yōu)投資組合問題[6]。Li和Xie同樣在投資終止時(shí)間不確定的條件下，研究了多階段均值—方差框架下的資產(chǎn)—債務(wù)管理問題[7]。Yi等考慮了一個(gè)連續(xù)時(shí)間均值方差模型，并且假定企業(yè)員工收入是隨機(jī)的，研究了該模型下不確定退出時(shí)間時(shí)的最優(yōu)投資組合問題[8]。姚海祥等進(jìn)一步考慮市場中存在通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)，利用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法和Lagrang對偶原理得到了最優(yōu)投資策略和有效邊界[9]。與這些文獻(xiàn)不同的是，本文考慮了經(jīng)濟(jì)狀態(tài)對投資策略的影響，利用一連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈來描述經(jīng)濟(jì)狀態(tài)，假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿足馬爾可夫調(diào)節(jié)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型，并研究了當(dāng)投資時(shí)間為隨機(jī)終止情況時(shí)確定繳費(fèi)型的最優(yōu)投資問題。

本文結(jié)構(gòu)如下：第二節(jié)介紹金融模型和一些基本假設(shè)，第三節(jié)考慮了一般效用函數(shù)下的確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題，第四節(jié)給出了指數(shù)效用函數(shù)下的最優(yōu)投資策略，第五節(jié)通過數(shù)值結(jié)果分析了模型參數(shù)對最優(yōu)策略的影響，第六節(jié)給出了結(jié)論。

在下頁圖1中，我們考慮了市場經(jīng)濟(jì)狀態(tài)處于“牛市”時(shí)絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)？酌對最優(yōu)投資策略π*的影響。從圖1可以看出，隨著絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)？酌的增加，養(yǎng)老金投資者購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例越來越小，這是因?yàn)橥顿Y者對風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度越高，越不愿意投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，而寧愿選擇購買無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。

在下頁圖2中，我們考慮了市場經(jīng)濟(jì)狀態(tài)處于“熊市”時(shí)絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)？酌對最優(yōu)投資策略π*的影響。與圖1的結(jié)果一樣，隨著絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)？酌的增加，養(yǎng)老金投資者購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例越來越小，造成這個(gè)結(jié)果的原因也是一樣的。然而，對比圖1和圖2我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)市場處于“牛市”時(shí)，投資者購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例是高于市場處于“熊市”時(shí)購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例的。這是因?yàn)楫?dāng)市場處于“牛市”時(shí)，投資者從風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中獲得的回報(bào)是高于市場處于“熊市”時(shí)的回報(bào)。此外，我們不僅假定了市場處于“牛市”時(shí)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)率高于市場處于“熊市”的時(shí)候，還假定了“牛市”時(shí)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率低于處于“熊市”的時(shí)候，而波動(dòng)率越高，風(fēng)險(xiǎn)越大，投資者投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的興趣就會減少，這個(gè)現(xiàn)象在下頁圖5和圖6中可以發(fā)現(xiàn)。

在圖3和下頁圖4中，我們分別考慮了市場處于不同狀態(tài)時(shí)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)率對最優(yōu)投資策略的影響。從這兩個(gè)圖可以發(fā)現(xiàn)，無論市場處于“牛市”還是“熊市”，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)率越高，投資者對該資產(chǎn)的投資比例也越高，這符合市場規(guī)律，投資者投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的目的就是追求高回報(bào)率。

在圖5和圖6中，我們分別考慮了市場處于不同狀態(tài)時(shí)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率對最優(yōu)投資策略的影響。從這兩個(gè)圖可以看到，隨著波動(dòng)率的增加，投資者投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例在減小，這是由于波動(dòng)率越大，投資該風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)也越高，較高的風(fēng)險(xiǎn)會降低投資者的興趣，因此風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率對投資比例是負(fù)的影響。

結(jié)語

本文采用隨機(jī)控制中的一些方法對不確定終止時(shí)間時(shí)確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題進(jìn)行了研究，并利用HJB方程和驗(yàn)證定理得到了指數(shù)效用函數(shù)下最優(yōu)投資策略的顯示解，最后給出了最優(yōu)投資策略的數(shù)值結(jié)果，并分析了模型參數(shù)對最優(yōu)投資策略的影響。通過數(shù)值結(jié)果我們得到以下結(jié)論：一是在不同市場經(jīng)濟(jì)狀態(tài)下最優(yōu)投資策略是有明顯差別的，說明市場經(jīng)濟(jì)狀態(tài)對投資者的投資決策有很大的影響;二是絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)？酌和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率越大，投資者購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例越低，表明投資者對風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度和資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)對投資決策的影響也是不可忽視的;三是最優(yōu)投資策略π*（t）關(guān)于？滋遞增，這意味著風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)率越高，投資者將增加購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例。

參考文獻(xiàn)：

[1]? Thomson R.J.The use of utility functions for investment channel choice in defined contribution retirement fund[J].British Acturial Journal，2003，（9）：653-709.

[2]? Gao J.Stochastic optimal control of DC pension funds[J].Insurance：Mathematics and Economics，2008，（42）：1159-1164.

[3]? Battocchio P.，Menoncin F.Optimal pension management strategies in the presence of a minimum guarantee[J].Insurance：Mathematics and Economics，2004，（34）：79-95.

[4]? 谷愛玲，李仲飛，曾燕.Ornstein-Uhlenbeck模型下DC養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資策略[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2013，（4）：715-726.

[5]? 王偉，甘少波.存貸利差下確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2017，（8）：162-165.

[6]? 郭文旌，胡奇英.不確定終止時(shí)間的多階段最優(yōu)投資組合[J].管理科學(xué)學(xué)報(bào)，2005，（2）：13-19.

[7]? Li Z.F.，Xie S.X.Mean-variance portfolio optimization under stochastic income and uncertain exit time[J].Dynamics of Continuous，Discrete and Impulsive SystemsB：Applications and Algorithms，2010，（17）：131-147.

[8]? Yi L.，Li Z.F.，Li D.Mutli-period portfolio selection for asset-liability management with uncertain investment horizon[J].Journal of Industrial and Management Optimization，2008，（3）：535-552.

[9]? 姚海祥，吳慧玲，曾燕.不確定終止時(shí)間和通貨膨脹影響下風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)投資策略[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2014，（5）：1089-1099.

[10]? Pliska S.R.，Ye J.Optimal life insurance purchase and consumption investment under uncertain lifetime[J].Journal of Banking and Finance，2007，（31）：1307-1319.

Optimal Investment Strategies for a Defined Contribution Plan Under a Stochastic Time Horizon

WANG Wei，HUANG Peng-fei，HUANG Chan

（School of Mathematics and Statistics，Ningbo University，Ningbo 315211，China）

Abstract：This paper supposes that the pension managers can invest risky assets and the termination time is uncertain，we study the problem of an optimal portfolio strategy for a defined contribution pension plan when the dynamics of a risky asset follows a Markov-modulated geometric Brownian motion.By applying stochastic dynamic programming approach and the HJB equation，we obtain the optimal investment strategies.Finally，some numerical examples are provided to analyze the effects of the model parameters on the optimal investment strategies.

Key words：contributory pension;optimal portfolio;HJB equation;exponential utility function