具有穩(wěn)定數(shù)值解的三維諧振子

(中國科學(xué)院 武漢巖土力學(xué)研究所 巖土力學(xué)與工程國家重點試驗室，武漢 430071)

1 引言

在經(jīng)典力學(xué)中，動力學(xué)可以劃分為質(zhì)點動力學(xué)和剛體動力學(xué)兩個分支[1]。質(zhì)點動力學(xué)研究質(zhì)點的運動規(guī)律，即質(zhì)點的時間演化規(guī)律[1]，也即質(zhì)點位置與時間的函數(shù)關(guān)系，是一個未知函數(shù)。質(zhì)點動力學(xué)的理想實現(xiàn)途徑是，(1) 將物理系統(tǒng)簡化描述為由牛頓第二定律和力函數(shù)兩部分組成的質(zhì)點動力系統(tǒng)； (2) 設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)和定解條件，采用一定積分方法，得到未知函數(shù)的閉合形式解或者數(shù)值解。然而，除了一維諧振子[2,3]之外，單擺[2,3]和彈簧擺等大多數(shù)動力學(xué)系統(tǒng)都是非線性的運動微分方程，很難求解[1]。

彈簧擺是一個二維或三維的諧振子，是一個非線性微分方程組，屬于一個不可積系統(tǒng)，得不到閉合形式解[4,5]。其非線性主要體現(xiàn)在多個自由度之間的運動耦合和能量轉(zhuǎn)換[6-10]。

基于微振幅假定，一些學(xué)者推導(dǎo)出彈簧擺系統(tǒng)的形式解，如文獻[4，11]推導(dǎo)出級數(shù)形式解，文獻[10，12]推導(dǎo)出指數(shù)形式解。

由于彈簧擺的運動解存在隨著系統(tǒng)參數(shù)變化的混沌現(xiàn)象，許多學(xué)者[6,12-15]在定常參數(shù)空間或時變參數(shù)空間中定位出穩(wěn)定平衡解、不穩(wěn)定平衡解、周期運動解、準(zhǔn)周期運動解、混沌運動解和不穩(wěn)定運動解之間的分岔點。

為了顯示特定解在相空間的吸引子幾何形態(tài)，很多學(xué)者都對特定模態(tài)或定常參數(shù)的彈簧擺系統(tǒng)進行數(shù)值求解，李銀山等[14]用Gear法得到數(shù)值解，張揚鍵[7]用 Runge -Kutta 法得到數(shù)值解。文獻[6，16]基于數(shù)值解分析，得到系統(tǒng)外部激勵參數(shù)最為敏感的結(jié)論。……