改進的平均源邊界節點法模擬平面位勢問題

逄澤慧，張耀明

(山東理工大學 數學與統計學院,淄博 255049)

1 引言

許多科學與工程問題可歸結為求解位勢問題或者與求解位勢問題密切相關。如穩定滲流、穩定熱傳導、動水壓力、薄膜平衡、彈性桿件的扭轉、波傳播、電磁場、非均質及非線性問題等[1,2]。求解上述問題的主流數值方法是有限差分法、有限元法及邊界元法。這些方法需求助于網格框架，來構造基本物理量的插值逼近函數和在其上進行能量積分。然而，對于復雜計算域問題，網格產生的前處理是相當困難和耗時的。

為了消除或者緩解基于網格的數值方法的這些缺陷，無網格法應運而生。根據是否需要域內配點，可分為區域型和邊界型兩大類。邊界型無網格法相對更具競爭力，因為其繼承了邊界型數值法,如邊界元法的降維及易于求解外邊值問題的優點。目前，已發展了多種邊界型無網格法，如基本解法MFS[3]、邊界配點法BCM[4]、邊界結點法BKM[5]、修改的基本解法MMFS[6]、規則化無網格法RMM[7]、邊界分布源法BDSM[8]、奇異邊界法SBM[9]、節點法BNM[10]及其各種衍生法[11]等。需指出的是，對于依賴邊界積分方程的邊界型無網格法，關鍵問題是如何準確估計影響矩陣的對角元，但是解決該問題非常困難，因為需要處理基本解及其導數引起的奇異性。

張耀明等[12-14]提出了一種新的邊界型無網格法，即平均源邊界節點法ASBNM。ASBNM法耦合平均源技術和完全的規則化邊界積分方程，不涉及單元和積分的概念，具有方法簡單和精度高等優點。本文改進了文獻[13]的方法，提出了直接計算影響矩陣對角元的方法，將影響矩陣對角元的計算轉化為與求解區域的邊界有關的純幾何問題，因而方法適用于任何二維邊值問題。……