基于概率魯棒的水輪機調速系統魯棒性評估

劉長良， 曹 威， 王梓齊

(1.華北電力大學新能源電力系統國家重點實驗室， 北京 102206； 2.華北電力大學控制與計算機工程學院， 保定 071003)

水輪機調速系統是涉及多學科領域的不確定系統，因此在設計控制策略時，必須保證其有著良好的魯棒性，才能保證實際運行時系統的性能[1]。魯棒控制在近年來得到了廣泛的應用。文獻[2]選擇滑動模式控制對注入電網的有功/無功功率進行魯棒控制；文獻[3]應用魯棒控制，提高了機械臂控制系統的控制系統及魯棒性。但是如何對控制系統魯棒性評估成為了控制界研究的重點?；谧顗那闆r的魯棒性評估算法隨著系統階次的提高，計算量會大大增加，使問題求解變得極其困難[4]。

為解決這一問題，文獻[5]提出了概率魯棒的方法，用蒙特卡洛仿真來模擬系統的不確定性，通過計算性能指標的可接受概率來評價其魯棒性。但是這種方法不能在任意性能水平下給出系統的可接受概率。針對這一問題，文獻[6-7]分別使用累計頻率曲線和樣本標準差作為量化指標，給出了系統在任意性能水平下的可接受概率，完成了系統魯棒性的定量評估。然而目前概率魯棒的方法大多用來分析飛行器控制系統，并沒有運用到水輪機調速系統分析中。與其他控制系統不同的是，水輪機的“水錘現象”嚴重影響了水輪機調速控制系統的控制品質。除此之外，水輪機機械傳動機構存在明顯的慣性特性，使控制系統易出現震蕩和超調。

針對傳統方法不能定量評價控制律魯棒性的問題，分析水輪機調速系統的特點，以緊水灘水力發電廠為研究對象，分別設計PID 控制器和模糊內模控制器，應用概率魯棒的方法，綜合使用幾種性能指標的可接受概率和統計量作為評價指標，完成兩種控制器魯棒性的定量評估，以期填補模糊內?？刂坪透怕属敯舴治龇椒ㄔ谒啓C調速系統應用的空白。

1 水輪機調速系統

1.1 水輪機模型

一種能夠反映引水管的水錘效應、水頭和流量波動等對水輪機輸出功率的影響的水輪機傳遞函數模型為[8]

(1)

(2)

Z=Tw/Te

(3)

式中：Z為引水管阻抗；Te為水壓波動時間；Tw為水流慣性時間。

若式(2)中的無窮乘積項為1，即

tanh(Tes)=Tes

(4)

則可以得到剛性水體水輪機模型；若n≥1時，可以得到彈性水體水輪機模型，在工程實踐中一般取n=1。圖1為彈性水體和剛性水體水輪機模型的階躍響應曲線。

圖1 剛性水體和彈性水體水輪機的階躍響應曲線Fig.1 Step response curve of hydraulic turbine in rigid water body and elastic water body

由圖1可以看出，剛性水體水輪機階躍響應曲線是單調增加的。但是實際上，由于引水管內的水慣性作用，此時水輪機入口水頭會變小，導致輸出功率突然減小，即水錘作用。水錘作用會導致水輪機的輸出功率經過震蕩后才逐漸穩定在設定值上。當使用彈性水體水輪機模型時，能較為準確地體現水錘作用對輸出功率的影響。因此，取n=1來模擬“水錘現象”對模型的影響。

1.2 液壓伺服系統模型及發電機模型

水輪機調速系統水門的液壓伺服系統的傳遞函數模型為

Gs(s)=1/[(T1s+1)(T2s+1)]

(5)

式(5)中:T1為水門伺服電機系統的時間常數；T2為液壓機構的時間常數。

水輪機調速系統中與水輪機連接的同步發電機的傳遞函數模型為

Gp(s)=1/(Hs+D)

(6)

式(6)中：H為發電機傳動慣量時間系數；D為阻尼系數。

1.3 水輪機調速系統模型

以緊水灘水力發電廠水輪機調速系統為模型。緊水灘水力發電廠發電機總裝機容量6×50 MW，單管引水系統，混流式水輪機。根據運行數據，通過參數辨識得到水輪機調速系統G(s)的標稱參數為：Te=0.5，Tw=4，T1=0.5，T2=0.02，H=10，D=1[9]。由式(1)、式(4)、式(5)所構成的水輪機調速系統G(s)如圖2所示。

u(s)為控制器的輸出，Δo(s)為水門開度變化量，ΔP(s)為水輪機輸出功率變化量，Δw(s)為發電機轉速變化量圖2 水輪機調速系統模型Fig.2 Hydraulic turbine governor system model

2 控制策略

2.1 PID控制

PID控制作為一種成熟的控制策略，具有原理簡單、調整方便等優點。PID控制器的傳遞函數為

(7)

式(7)中:δp、Ti、Td分別為比例帶、積分時間和微分時間。PID參數整定方法有臨界震蕩法、Z-N法等?，F使用臨界震蕩法，根據1.2節中G(s)的標稱參數整定PID參數，得到臨界比例帶δk和臨界周期Tk，根據表1中的經驗公式，得到控制器的傳遞函數如式(8)所示。

表1 臨界振蕩法參數整定經驗公式Table 1 Empirical formula for parameter tuning of critical oscillation method

(8)

2.2 模糊內模控制

內?？刂?internal model control, IMC)是一種基于過程模型的控制策略，具有易設計、魯棒性強等優點[10]。但是內?？刂频目烧{參數少，在復雜的不確定控制系統中性能較差。

模糊內?？刂?fuzzy internal model control, FIMC) 通過模糊邏輯推理對內?？刂浦袨V波器參數進行在線調整，解決了失配情況下系統控制品質變壞的問題[11]。采用將內?？刂婆cMamdani二維模糊控制相結合的控制策略，以根據誤差e和誤差變化率de作為Mamdani二維模糊控制器的輸入變量，計算內?？刂破髦械屯V波器的增益修正值Δk，實現在線修正。控制結構如圖3所示。

圖3 水輪機調速系統模糊內?？刂艶ig.3 Fuzzy internal model control of hydraulic turbine governor system

圖3中，M(s)為過程模型；G(s)為水輪機模型；M-1(s)為M(s)中最小相位部分的逆；f(s)是低通濾波器，傳遞函數如式(9)所示，其中λ=13，增益k=1+Δk；Δk為濾波器增益的修正值，取值范圍為[-0.8,0.8]；經過二維模糊規則修正過Δk的f(s)與M-1(s)構成了模糊內?？刂破鱃FIMC。

(9)

模糊規則建立的依據是：低通濾波器的增益k數值越大，響應越快，但是模型越容易失配，魯棒性越差，越容易引起系統震蕩。當誤差e較大時，為了盡快減小誤差，增益k應當較大；當誤差e較小并且誤差變化率較大時(即系統有出現超調的趨勢時)，為防止系統出現超調現象并縮短過渡時間，增益k應當取適中的值；當誤差e較小并且誤差變化率較小時(即系統緩慢趨近于設定值時)，增益k應當取較小的值。

將輸入e和de的語言論域都設定為{NB,NS,Z,PS,PB}，依次代表{負大,負小,零,正小,正大}；定義Δk的語言論域為{NVB,NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB,PVB}，代表{極小,小,較小,偏小,零,偏大,較大,大,極大}。二維模糊控制器所采用的模糊規則如表2所示。

表2 模糊規則Table 2 Fuzzy rules

3 系統魯棒性評估

3.1 概率魯棒

蒙特卡洛是以概率統計為基礎的模擬計算方法，將數學、物理、工程等領域的問題與相應的概率模型聯系，進行抽樣試驗，進而求出所需要的統計值作為所求解的近似值[12]。

以一個閉環單入單出控制系統為例：設G(q)為系統的被控對象，q=[q1,q2,…,qn]為被控對象G(q)的n維隨機參數向量且在給定的參數域中有界；隨機參數向量q的概率密度函數為f(q)；控制系統的性能指標為J(q)；對于性能水平j，J(q)

累計頻率曲線是將頻率直方圖的部分分段頻率進行逐段積累，從而得到大于或小于某數值的概率。通過繪制性能指標J(q)的累計頻率曲線，可以在給定的性能水平j下，得到累計頻率曲線上某點的性能可接受概率。通過比較不同控制系統在相同性能水平下的性能可接受概率，從而衡量控制系統魯棒性的優劣。

概率魯棒分析的主要方法是：使用蒙特卡洛方法依照概率密度函數f(q)對參數向量q進行N次抽樣；仿真生成N組系統性能指標J(q)的值；繪制J(q)的累積頻率曲線并計算統計量；給定系統的性能水平j，對應累積頻率曲線上的某點即為性能可接受概率P=P[J(q)

對給定的精度χ和置信水平δ，此時能夠保證：

(10)

成立的抽樣次數N需要滿足以下條件：

(11)

3.2 概率魯棒分析的基本步驟

實際應用中，概率魯棒分析的步驟如下[13-14]：

(1) 構建被評價系統的仿真模型，包括控制系統的被控對象、控制器等。

(2) 確定被控對象的隨機參數向量q及其概率密度函數f(q)，選擇參與魯棒性評價的系統性能指標J(q)。

(3) 確定精度χ和置信水平δ的值，通過式(9)計算抽樣次數的最小值Nmin從而進一步確定抽樣次數N。

(4) 對被評價系統進行N次蒙特卡洛抽樣仿真，得到N組系統性能指標J(q)的值，繪制J(q)的累計頻率曲線并計算樣本均值μ和樣本標準差S。

(5)確定性能水平j，根據J(q)的累計頻率曲線計算對應性能水平j下性能可接受概率的估計值，通過性能可接受概率的估計值及樣本均值μ、樣本標準差S對控制系統的魯棒性進行綜合地評價。

4 仿真實驗

為了評價PID控制和模糊內?？刂苾煞N控制策略在水輪機調速系統上的魯棒性，應用概率魯棒方法對系統進行仿真：模型的實際參數在標稱參數附近以均勻分布發生±15%的攝動，選擇調節時間ts和超調量σ作為評價系統魯棒性的性能指標；取精度χ=0.01，置信水平δ=0.01，通過式(11)計算得到抽樣次數的最小值Nmin=459，取抽樣次數N=600。將使用PID控制的水輪機調速系統稱為控制系統A；將使用模糊內?？刂频南到y稱為控制系統B。表3為水輪機調速系統模型參數及參數攝動范圍。

對控制系統A及控制系統B分別進行蒙特卡洛抽樣仿真，得到水輪機調速系統控制系統A和控制系統B的階躍響應曲線簇，分別如圖4、圖5所示。

表3 水輪機調速系統模型參數及參數攝動范圍Table 3 Model parameters and parameter perturbation range of turbine governing system

圖4 控制系統A階躍響應曲線簇Fig.4 Control system A step response curve cluster

圖5 控制系統B階躍響應曲線簇Fig.5 Control system B step response curve cluster

通過圖4和圖5中的階躍響應曲線簇可以直接看出，在標稱參數發生±15%攝動的情況下，控制器A和控制器B都能保證控制系統的穩定性且控制器B的動態性優于控制器A。但僅通過曲線簇只能定性的比較控制系統的魯棒性，無法給出一個定量的評估結果。因此，這里通過比較不同控制系統的在相同性能水平下的性能可接受概率來定量評估。系統A和系統B的穩定時間和超調量的累積頻率曲線分別如圖6、圖7所示。

圖6 調節時間累積頻率曲線Fig.6 Cumulative frequency curve of settling time

從圖6和圖7可以看出，對于調節時間和超調量而言，控制器B的累積頻率曲線整體在控制器A的左側且橫軸跨度也小于控制器A，表示其魯棒性要優于控制器A。另外，采用累積頻率曲線對系統的魯棒性指標分別進行評價，相比階躍響應曲線簇而言更加細致且直觀。表4為應用概率魯棒的方法對控制器A和控制器B的魯棒性進行定量對比。其中，控制系統的性能指標選擇調節時間ts和超調量σ；選擇特定性能水平下的可接受概率、樣本均值和樣本標準差作為定量對比的指標。

由表4中可以看出，在相同可接受概率下，控制器B在調節時間、超調量、均值和標準差指標上都明顯優于控制器A，說明控制器B的魯棒性要優于控制器A。除此之外，通過可接受概率和性能指標的統計量，可實現定量比較不同控制系統魯棒性的目的，驗證了本文研究內容的可靠性。

圖7 超調量的累積頻率曲線Fig.7 Cumulative frequency curve of overshoot

表4 魯棒性對比數據Table 4 Robustness comparison data

5 結論

采用了基于概率魯棒的控制律魯棒性評估方法，通過累計頻率曲線得到系統在任意性能水平下的可接受概率，結合系統性能指標可以對不同控制律的魯棒性進行定量的評價。以緊水灘水力發電廠水輪機調速系統為研究對象，所做工作如下：①設計了PID控制器和模糊內模控制器；②應用概率魯棒的方法對兩種控制器的魯棒性進行定量評估。得到如下結論。

(1)從控制品質角度可以看出，模糊內模控制器有著更好的魯棒性；與基于概率魯棒法的定量評估結果相一致。

(2)驗證了概率魯棒在控制律魯棒性定量評估方面的有效性。

(3)對水輪機調速系統設計了模糊內模控制器，填補了模糊內?？刂圃谒啓C調速器控制領域應用的空白。