基于改進(jìn)BBO算法的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

吳正平　尹凡　汪昊

摘? ?要：針對(duì)分?jǐn)?shù)階PID（Fractional-Order Proportional-Integral-Derivative，F(xiàn)OPID）控制器參數(shù)整定，提出了一種改進(jìn)生物地理學(xué)優(yōu)化（Biogeography-Based Optimization，BBO）算法。該算法改進(jìn)點(diǎn)主要包括：遷移操作中保留精英個(gè)體;變異操作中引入差分進(jìn)化（Dtferential Evolution，ED）算法的變異策略;消除重復(fù)樣本。仿真結(jié)果表明：在分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)整定中，與原始的BBO算法、遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）和粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）比較，提出的改進(jìn)BBO算法具有超調(diào)量小、誤差小，收斂更快的特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階PID控制器;參數(shù)整定;生物地理學(xué)優(yōu)化算法;差分進(jìn)化算法

中圖分類號(hào)：TP273;TP301.6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Design of Fractional-order PID Controller Based

on Improved BBO Algorithm

WU Zheng-ping1，YIN Fan1？覮，WANG Hao2

（1. China Three Gorges University，Yichang，Hubei 443002，China;

2. State Grid Hubei DC Inspection and Transportation Company，Wuhan，Hubei 430050，China ）

Abstract：An improved Biogeography-Based Optimization（BBO） algorithm is proposed for parameters tuning? of fractional-order proportional-integral-derivative（FOPID） controller. The main improvement points of this algorithm include： retaining elite individuals in migration operation; introducing mutation strategy of differential evolution（DE） algorithm into mutation operation; eliminating duplicate samples. The simulation results show that compared with the original BBO algorithm，genetic algorithm（GA） and particle swarm optimization（PSO） algorithm，Improved BBO algorithm proposed in this paper has the characteristics of small overshoot，small error and faster convergence in parameter tuning of fractional order PID controller.

Key words：fractional-order PID controller;parameter tuning;BBO algorithm;DE algorithm

近年來(lái)，由于大量的實(shí)際控制系統(tǒng)可以用分?jǐn)?shù)階微分方程來(lái)表示，一些研究學(xué)者對(duì)分?jǐn)?shù)階控制器給予了極大的關(guān)注[1]。對(duì)比傳統(tǒng)的PID控制器，分?jǐn)?shù)階PID控制器增加了兩個(gè)可調(diào)節(jié)參數(shù)，使得控制器調(diào)節(jié)的范圍增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性能夠得到更好的控制。

由于附加的兩個(gè)參數(shù)使得控制器參數(shù)優(yōu)化變得更加復(fù)雜，國(guó)內(nèi)外圍繞FOPID控制器參數(shù)整定進(jìn)行了大量研究。Bingul等人在文獻(xiàn)[2]中使用粒子群算法（PSO）和人工蜂群算法（ABC）對(duì)FOPID控制器進(jìn)行參數(shù)整定，仿真結(jié)果表明人工蜂群算法優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階控制器魯棒性更好，在各種評(píng)價(jià)函數(shù)下展現(xiàn)出更良好的優(yōu)越性。文獻(xiàn)[3]提出了一種基于無(wú)人機(jī)滾轉(zhuǎn)角控制的改進(jìn)平面相位裕度的FOPID控制器設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[4]在粒子群優(yōu)化算法的變異操作中加入加速度因子，改進(jìn)的MPSO算法可以有效地整定FOPID控制器參數(shù)。文獻(xiàn)[5] [6]中，高嵩和金滔等人均對(duì)粒子群算法的慣性權(quán)重系數(shù)的改進(jìn)，改進(jìn)后算法優(yōu)化FOPID的參數(shù)較PSO算法具有更高的收斂速度和精度。文獻(xiàn)[7]提出將變異算子F和交叉算子CR進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，提高了差分進(jìn)化算法的參數(shù)優(yōu)化速率和收斂性能，優(yōu)化后的伺服系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。楊博等人引入最優(yōu)無(wú)源分?jǐn)?shù)階PID控制機(jī)制，采用改進(jìn)的群灰狼優(yōu)化算法優(yōu)化控制器參數(shù)，提高了控制器的控制精度[8]。

給出了一種改進(jìn)的生物地理學(xué)優(yōu)化算法來(lái)優(yōu)化FOPID控制器參數(shù)。將該算法與其他智能算法進(jìn)行了仿真對(duì)比分析，仿真結(jié)果表明，該FOPID控制器的控制效果具有收斂速度快、誤差小的特點(diǎn)。

1? ?分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

1.1? ?分?jǐn)?shù)階微積分

對(duì)于給定函數(shù)f（t）， Grünwald-Letnikov定義的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)公式為：

（1）

式中，α為導(dǎo)數(shù)階次，區(qū)間[a，t]為積分上下限，h為步長(zhǎng)，[（t - t0）/h]表示取整。由Gamma函數(shù)可知二項(xiàng)式系數(shù)：

1.2 控制器設(shè)計(jì)

分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器由斯洛伐克學(xué)者Podlubny教授在1999年提出[9]，其典型控制器Gc（s）表達(dá)式如下：

相比傳統(tǒng)的PID控制器，分?jǐn)?shù)階PID控制器增加了兩個(gè)可調(diào)參數(shù)λ和μ，λ為控制器積分項(xiàng)指數(shù)，μ為微分項(xiàng)指數(shù)，且0 < λ，μ < 2?？刂破髡▍?shù)維度增加到5個(gè)，其形式更加靈活，相對(duì)傳統(tǒng)PID控制器控制效果更好，同時(shí)增加了參數(shù)整定的復(fù)雜性。

圖1? ?分?jǐn)?shù)階PID單位負(fù)反饋系統(tǒng)模型

對(duì)于FOPID控制器的設(shè)計(jì)，其中不確定參數(shù) Kp，Ki，Kd，λ，μ的整定是關(guān)鍵。

2? ?分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)整定

2.1? ?生物地理學(xué)優(yōu)化算法

生物地理學(xué)優(yōu)化（BBO）算法是在粒子群算法（PSO）[10-11]、遺傳算法（GA）[12]基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，由美國(guó)學(xué)者Dan Simon最先提出[13]。生物種群棲息地的地理區(qū)域具有較高的適宜度指數(shù)（Habitat suitability index，HSI），影響其大小的因素稱為適應(yīng)性指數(shù)變量（Suitability index variable，SIV）。與所有進(jìn)化算法相似，生物地理學(xué)優(yōu)化算法的兩個(gè)主要步驟是：遷移和變異。

（1）遷移操作

BBO算法的遷移操作指的是通過(guò)不同群體之間的遷入和遷出操作進(jìn)行信息共享。棲息地物種數(shù)量的大小會(huì)影響種群數(shù)量的遷入率和遷出率。物種遷入遷出的數(shù)學(xué)模型主要有線性、二次、余弦和指數(shù)等四種模型。由于余弦模型更符合自然界的客觀規(guī)律，使得算法性能更優(yōu)越，所以本文選擇了余弦遷移模型[14]。

圖2? ?物種遷移余弦模型

物種遷移余弦模型如圖2所示，I為最大物種遷入率，E為最大物種遷出率，S0為平衡態(tài)時(shí)的物種數(shù)。當(dāng)遷入率為零時(shí)，棲息地能容納的最大物種數(shù)為Smax。遷入率λi和遷出率μi（i = 1，2，…，n）的表達(dá)式如式（4）：

λi = I/2 × [cos（πSi /Smax） + 1]μi = E/2 × [-cos（πSi /Smax） + 1]? ? ? ?（4）

（2）變異操作

突發(fā)事件的出現(xiàn)可能會(huì)改變棲息地的種群數(shù)量變化，BBO算法定義為變異，變異操作可以提高棲息地的HSI。 表示種群規(guī)模， 表示種群數(shù)量為 時(shí)的概率， 滿足如條件式（5）：

Pi′=-（λi + μi）Pi + μi+1Pi+1，i = 0-（λi + μi）Pi +λi-1Pi-1+ μi+1Pi+1，1≤i≤N-（λi + μi）Pi +λi-1Pi-1，i = N? （5）

BBO算法對(duì)應(yīng)種群中每個(gè)解HSI的變異率 與物種數(shù)量概率 成反比：

gi = gmax（1 - Pi /Pmax），i = 1，2，…，n? ? （6）

式中，gmax為最大突變率，Pmax指棲息地最大物種數(shù)量概率。這種突變模式會(huì)增加種群的多樣性，使低HSI的解決方案可能發(fā)生突變，可以提高算法的有效性。

2.2? ?改進(jìn)BBO優(yōu)化方法

BBO算法在迭代后期階段會(huì)出現(xiàn)收斂速度變慢，動(dòng)力不足的現(xiàn)象，故對(duì)該算法進(jìn)行如下改進(jìn)。

（1）保留精英個(gè)體

在使用遷移算子之前選出適應(yīng)度最大的個(gè)體，直接傳遞給下一代，這樣避免遷移算子破壞其優(yōu)良性，加快算法收斂的速度。

（2）消除重復(fù)樣本

算法在迭代的過(guò)程中隨機(jī)出現(xiàn)的重復(fù)個(gè)體需要進(jìn)行重復(fù)運(yùn)算，延長(zhǎng)了迭代的時(shí)間。IBBO算法進(jìn)行了消除重復(fù)樣本的操作，增強(qiáng)了種群多樣性。

（3）差分進(jìn)化變異策略

采用差分進(jìn)化算法的變異策略，在IBBO算法的變異操作中加入縮放因子F，使算法的尋優(yōu)能力增強(qiáng)。具體而言，本文選取文獻(xiàn)[15]中的DE/best/2變異策略，在第g次迭代中，從種群中隨機(jī)選取4個(gè)種群個(gè)體Xp1（g）、Xp2（g）、Xp3（g）、Xp4（g），且種群關(guān)系滿足p1≠p2≠p3≠p4≠i，Xbest（g） 則是其中最優(yōu)的個(gè)體。生成的變異向量如式（7）所示。

Vi（g）=Xbest（g）+F（Xp1（g）-Xp2（g））+

F（Xp3（g）-Xp4（g）），（0≤F≤2）? ? ?（7）

2.3? ?改進(jìn)BBO算法步驟

通過(guò)對(duì)基本的BBO算法的改進(jìn)得到IBBODE，圖3所示為IBBODE算法的流程圖，其主要步驟如下：

（1）初始化基本參數(shù)，這些參數(shù)主要包括：最大遷入率I，最大遷出率E，最大物種數(shù)為Smax，待求參數(shù)取值范圍，棲息地?cái)?shù)量N，遷移概率Pmodify，變異概率Pmutate。在此基礎(chǔ)上計(jì)算適應(yīng)度指數(shù)變量SIV。

（2）計(jì)算評(píng)價(jià)指標(biāo)：計(jì)算并排序物種適應(yīng)度指數(shù)HSI。

（3）遷移操作：進(jìn)化開(kāi)始，選取精英個(gè)體，計(jì)算棲息地遷入率、遷出率，進(jìn)行遷移操作。

（4）變異操作：選擇DE變異策略進(jìn)行變異操作。

（5）終止條件：判斷是否達(dá)到迭代次數(shù)，若是，則轉(zhuǎn)到（6）;反之，轉(zhuǎn)到步驟（2）。

（6）輸出結(jié)果：輸出優(yōu)化參數(shù)向量和最優(yōu)適應(yīng)度指數(shù)值。

圖3? ?IBBODE算法的流程圖

3? ?仿真實(shí)例研究

假設(shè)被控對(duì)象為二階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為：

G0 = ■? ? （8）

選取ITAE性能準(zhǔn)則作為目標(biāo)函數(shù)F（x），其定義如下：

F（x） = min（s）? ? ? ?（9）

ITAE ： s = ■te（t）dt? ? ? ?（10）

FOPID整定參數(shù)為Kp，Ki，Kd，λ，μ，其取值范圍定義為：

0≤Kp，Ki，Kd≤100≤λ，μ≤2? ? ?（11）

仿真條件為：對(duì)于改進(jìn)BBO、GA、PSO三種算法，種群大小均取為60，為了便于比較，設(shè)最大迭代次數(shù)為50。對(duì)于GA，取交叉概率Pc為0.9;對(duì)于PSO，學(xué)習(xí)因子c1、c2為1.5，慣性權(quán)重Weight取為0.8;對(duì)于BBO，遷移概率Pmodify設(shè)為1，變異概率Pmutate設(shè)為0.05，精英個(gè)數(shù)取2，個(gè)體的最小遷入率lambdaL為0，最大遷入率lambdaU為1，步長(zhǎng)dt為1，每個(gè)棲息地的最大遷入率I和最大遷出率E均為1; 對(duì)于IBBODE，取差分縮放因子F為0.6，變異概率C為0.2。

仿真結(jié)束，圖4（a）、4（b）分別為不同優(yōu)化算法下，系統(tǒng)的響應(yīng)曲線和誤差曲線，性能指標(biāo)如表1所示。

綜合圖4（a）和圖4（b）和表1可以看出，在分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)尋優(yōu)的過(guò)程中，GA和PSO算法超調(diào)較大，有明顯的局部收斂;在算法迭代過(guò)程中，IBBODE算法的最小誤差最小，說(shuō)明其HSI最優(yōu)。由表2可知，IBBODE算法的調(diào)節(jié)時(shí)間最短，說(shuō)明系統(tǒng)更快速地達(dá)到了穩(wěn)定。對(duì)比BBO和IBBO，IBBODE算法在快速性和穩(wěn)定性都表現(xiàn)得更優(yōu)越。

time（s）

圖4（a）? ?不同優(yōu)化算法的單位階躍響應(yīng)曲線

進(jìn)化次數(shù)

圖4（b）? ?不同優(yōu)化算法最小誤差迭代過(guò)程曲線

4? ?結(jié)? ?論

針對(duì)分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)整定問(wèn)題，提出了使用改進(jìn)生物地理學(xué)優(yōu)化算法IBBODE來(lái)進(jìn)行參數(shù)整定的方案。相比其他算法，本算法有如下改進(jìn)優(yōu)點(diǎn)：①在原有BBO算法的遷移策略中保留了精英個(gè)體;②消除重復(fù)樣本的操作保證了種群多樣性;③變異操作中使用了差分進(jìn)化算法的變異策略，其縮放因子避免了算法陷入局部最優(yōu)，提高了尋優(yōu)速度。

通過(guò)仿真分析，改進(jìn)的BBO算法與BBO算法、GA算法和PSO算法相比，在分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)整定時(shí)，所設(shè)計(jì)的控制器具有更快的收斂速度和更高的收斂精度。

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