基于格林函數的浮置板參數對高架橋梁垂向振動的影響

鄒義龍

摘要：根據城市軌道交通高架橋梁輕型浮置板線路的結構特點，建立車輛?輕型浮置板軌道?高架橋梁垂向耦合振動模型，利用格林函數得到浮置板軌道與橋梁垂向振動響應的解析表達式，分析在軌道不平順振動載荷激勵下浮置板參數對軌道系統振動的影響。結果表明：浮置板參數的變化對高架橋梁垂向振動的影響主要集中在70 Hz以下的低頻段;減小鋼彈簧剛度對降低橋梁垂向振動功率、增大振動傳播的衰減有利;浮置板厚度對橋梁垂向振動的影響較為復雜，需要根據情況區別對待。

關鍵詞：

浮置板; 高架橋梁; 格林函數; 耦合振動

中圖分類號：U211.3;TP391.99

文獻標志碼：B

Influence of floating slab parameters on vertical vibration of elevated bridge based on Green function

ZOU Yilong

（Lanzhou Rail Transit Co.， Ltd.， Lanzhou 730000， China）

Abstract：

According to the structure characteristics of elevated bridge of urban rail transit with light floating slabs， the vertical coupling dynamics model of the vehicle and light floating slab track and elevated bridge is established. The analytical function of vertical vibration response of the floating slab track and elevated bridge is solved by Green function. The influence of the floating slab parameters on the track system vibration when it is excited by the irregularity vibration loading is analyzed. The results show that the influences of floating slab parameters on the vertical vibration of elevated bridge concentrates on the low frequency （below 70 Hz）; the reduction of the steel spring stiffness is beneficial to reduce the vertical vibration power and to increase the attenuation of vibration propagation; the effect of the floating slab thickness on the vertical vibration of elevated bridge is complex， which should be treated differently according to the situation.

Key words：

floating slab; elevated bridge; Green function; coupling vibration

0?引?言

近年來，我國城市軌道交通大力發展，已成為緩解城市交通擁堵的方式之一。但是，城市軌道交通引起的結構振動、噪聲等問題也日益顯現。浮置板軌道是控制列車振動的方法之一，在城市軌道交通建設中應用廣泛。國內外很多學者對浮置板軌道減振降噪性能進行研究。NELSON[1]研究預制式和現場澆注式2種浮置板軌道的工程應用和隔振效果。王瀾等[2]把軌道幾何不平順載荷輸入車輛?軌道耦合動力系統作為振動激勵源，研究普通碎石道床軌道和浮置板軌道的動力響應，發現浮置板軌道比普通碎石道床軌道隔振效果更好。侯德軍等[3]建立浮置板軌道雙層連續彈性梁模型，利用傅里葉變換求得軌道的振動響應，獲得地面最大激振力與激振頻率的關系曲線。李增光等[4?5]建立地鐵列車車輛?浮置板軌道耦合動力學模型，分析浮置板軌道激勵振動的形成原因和影響規律。

本文針對城市軌道交通中高架橋梁輕型浮置板軌道的結構特點，建立地鐵列車車輛?浮置板軌道?橋梁的垂向耦合動力學頻域模型，采用格林函數法快速求解輕型浮置板軌道與高架橋梁的耦合振動特性，分析在軌道隨機不平順載荷作用下浮置板參數對高架橋梁垂向振動的影響規律。

1?車輛?浮置板軌道?橋梁耦合動力學模型

1.1?物理模型

根據耦合動力學理論，建立地鐵列車車輛?浮置板軌道?橋梁垂向耦合動力學模型，見圖1。

車輛?浮置板軌道?橋梁垂向耦合系統共有3個子系統：車輛子系統、輕型浮置板軌道子系統和橋梁子系統。在車輛子系統中，將車體、轉向架和輪對視為剛體，車體與2個轉向架以及轉向架與輪對之間的懸掛系統用彈簧阻尼單元模擬。在軌道系統中：鋼軌視為無限長Timoshenko梁，采用離散點彈性支撐，具有垂向振動;扣件系統用彈簧阻尼單元模擬;浮置板道床用兩端自由的Euler梁模擬，具有垂向運動;浮置板隔振器用線性彈簧和黏性阻尼元件模擬。在橋梁子系統中：橋梁用簡支Euler梁模擬，具有垂向運動;橋梁支撐用線性彈簧阻尼元件模擬。車輛子系統與軌道子系統之間的耦合作用通過輪軌力傳遞，軌道子系統與橋梁子系統之間的耦合作用通過軌道與橋梁間的作用力傳遞。

1.2?浮置板軌道?橋梁系統運動方程

鋼軌運動可用格林函數表示為

Gr（x1，x2）=u1e-ik1x1-x2+u2e-ik2x1-x2

（1）

式中：Gr（x1，x2）為在位置x2處施加單位力時在x1處引起的位移;e為自然對數的底數;i為虛數單位;k1、k2、u1和u2為計算參數，其與振動波沿鋼軌的傳播有關。[6]

浮置板運動可用格林函數表示為

Gs（x1，x2）=Nsn=1Ws，n（x1）Ws，n（x2）（1+iηs）ω2s，n-ω2

（2）

式中：Ns為浮置板的計算模態數;Ws，n（x）為自由?自由Euler梁的第n階振型函數;ηs為浮置板的損耗因子;ωs，n為浮置板的固有頻率，ωs，n=k2s，n×EsIs/ρsAs，ks，n是與振型有關的參數[7]，Es為浮置板的彈性模量，Is為浮置板的轉動慣量，ρs為浮置板的密度，As為浮置板的橫截面積;ω為激勵力的角頻率。

高架橋梁運動可用格林函數表示為

Gb（x1，x2）=Nbn=1Wb，n（x1）Wb，n（x2）（1+iηb）ω2b，n-ω2

（3）

式中：Nb為橋梁的計算模態數;Wb，n（x）為簡支梁的第n階振型函數;ωb，n為橋梁的固有頻率，ωb，n=k2b，nEbIb/ρbAb，kb，n=nπ/Lb，Lb為橋梁的長度，Eb為橋梁的彈性模量，Ib為橋梁的轉動慣量，ρb為橋梁密度，Ab為橋梁的橫截面積。[8]

利用疊加原理，鋼軌、浮置板和橋梁在頻域內的運動方程組為

ur（x）=Aa=1Gr（x，xa）Fw，a-

Nn=1Gr（x，xn）Kf（ur（xn）-us（xn））

us（x）=Nn=1Gs（x，xn）Kf（ur（xn）-us（xn））-

Mm=1Gs（x，xm）Kj（us（xm）-ub（xm））

ub（x）=Mm=1Gb（x，xm）Kj（us（xm）-ub（xm））-

Zz=1Gs（x，xz）Kzub（xz）

（4）

式中：Fw，a為第a個車輪在縱向xa處對鋼軌施加的輪軌力;ur（xn）和us（xn）分別為鋼軌和浮置板在扣件縱向坐標xn處的垂向位移;us（xm）和ub（xm）分別為浮置板和橋梁在鋼彈簧縱向坐標xm處的垂向位移;ub（xz）為橋梁在橋梁支座縱向坐標xz處的垂向位移;Kf、Kj和Kz分別為扣件、浮置板基座和橋梁支座的復剛度（包含損耗因子）;A、N、M和Z分別為作用在鋼軌上的車輪數、扣件支點數、浮置板鋼彈簧支點數和橋梁支點數。

整理式（4），寫成矩陣型式為

GKu=F

（5）

式中：GK為由鋼軌、浮置板和橋梁的格林函數系數乘以Kf、Kj和Kz組成的矩陣;u為由待求解的由鋼軌、浮置板和橋梁的垂向位移組成的向量;F為載荷向量。求解式（5）即可得到輪軌力作用下軌道?橋梁結構的頻域位移動力響應。

當鋼軌受到單位垂向簡諧力時，由式（5）可求解得到鋼軌受力位置的位移響應，即為軌道的原點位移導納矩陣αt。

1.3?車輛運動方程

車輛系統的位移導納矩陣為

αv=（-ω2Mv+iωCv+Kv）-1

（6）

式中：Mv、Cv和Kv分別為車輛系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。車輛在輪對處的導納矩陣為

αw=HαvHT

（7）

式中：H為車輛系統對輪對接觸點處的轉換矩陣。

1.4?輪軌接觸關系

車輛與軌道耦合關系通過輪軌相互作用力實現，即

Fw，a（ω）=Δz（ω）αt+αw+αh

（8）

式中：Fw，a（ω）為軌道不平順引起的垂向輪軌力;αh為輪軌接觸彈簧的導納，αh=1/k，k為線性化輪軌接觸剛度，取值為1.4×109 N/m;Δz（ω）為輸入的系統隨機不平順度，可通過虛擬激勵法獲得，具體求解過程參考文獻[9?10]。車輛、軌道和路基系統的動態響應可按照式（5）和（6）求解。

2?數值分析與結果討論

根據以上理論分析，在MATLAB中編制車輛?浮置板軌道?橋梁垂向耦合振動模型，分析在軌道不平順載荷激勵下浮置板參數對高架橋梁垂向振動的影響。采用A型地鐵車輛模型，鋼軌為60 kg/m的標準鋼軌，損耗因子為0.01，其他部件模型參數見表1。

為反映高架橋梁?浮置板軌道系統的振動傳遞特性，用振動功率流理論分析高架橋梁與浮置板軌道間的振動傳遞。頻域內結構的平均功率可表示為

P（ω）=12Re（F*（ω）·V（ω））

（9）

式中：Re（）表示復變函數的實部;F*（ω）為結構受到的力幅值向量的伴隨陣;V（ω）為結構振動速度向量。振動功率常采用功率級表示，單位為dB，參考功率值為1×10-12 W。

采用橋梁相對鋼軌的振動功率衰減值衡量軌道結構間的振動衰減，即

Δp=10log 10（Pr/Pb）

（10）

式中：Δp為振動功率衰減，單位為dB;Pr為鋼軌振動功率的有效值;Pb為橋梁振動功率的有效值。

采用美國6級軌道譜作為系統激勵輸入，車速為70 km/h，選取橋梁垂向振動功率、從鋼軌傳播到橋梁的振動衰減和第一個輪對所在橫截面上橋梁的垂向加速度功率譜為研究對象，分析鋼彈簧剛度和浮置板厚度對高架橋梁垂向振動的影響。

2.1?鋼彈簧剛度的影響

在鋼彈簧剛度分別為4、10、15和20 MN/m時，橋梁垂向振動與頻率關系的計算結果對比見圖2，其中橋梁垂向振動功率參考值為1×10-12 W。

由圖2可知：鋼彈簧剛度的減小和縱向間距的增大對橋梁垂向振動的影響規律基本一致;減小鋼彈簧剛度更容易控制橋梁垂向振動。

2.2?浮置板厚度的影響

分別取浮置板厚度為15、20、25和30 cm，浮置板厚度變化對橋梁垂向振動影響的計算結果見圖3。

由此可知，浮置板厚度的變化對橋梁垂向振動的影響比較復雜：在7～20 Hz范圍內，浮置板越厚橋梁垂向振動加速度功率譜的峰值越小;在70 Hz左右橋梁垂向加速度功率譜峰值最大;在37 Hz左右，橋梁垂向振動加速度功率譜出現波峰，此處浮置板厚度為20 cm時峰值最大，浮置板厚度為15 cm時峰值最小;在10 Hz左右，隨著浮置板厚度的增大橋梁垂向振動功率減小，而其他頻段浮置板厚度變化幾乎不影響橋梁垂向振動功率;浮置板厚度的變化對振動從鋼軌傳播到橋梁的衰減幾乎沒有影響。

4?結束語

浮置板參數變化對高架橋梁垂向振動的影響主要集中在低頻振動段，為進一步研究高架輕型浮置板軌道線路引起的環境振動和噪聲提供參考。減小鋼彈簧的剛度對降低橋梁垂向振動功率、增大由鋼軌傳播到橋梁的振動衰減更有利。浮置板厚度對橋梁垂向振動的影響較復雜。浮置板厚度對橋梁垂向振動加速度影響比較明顯，對橋梁垂向振動功率和從鋼軌傳播到橋梁的振動衰減影響較小。

參考文獻：

[1]?NELSON J T. Recent developments in ground?borne noise and vibration control[J]. Journal of Sound and Vibration， 1996， 193（1）： 367?376. DOI： 10.1006/jsvi.1996.0277.

[2]?王瀾， 宣言， 萬家， 等. 浮置板式軌道結構隔振效果仿真研究[J]. 中國鐵道科學， 2005， 26（6）： 48?52. DOI： 10.3321/j.issn：1001?4632.2005.06.010.

[3]?侯德軍， 雷曉燕， 劉慶杰. 浮置板軌道系統動力響應分析[J]. 鐵道工程學報， 2006， 11（8）： 18?24. DOI： 10.3969/j.issn.1006?2106.2006.08.005.

[4]?李增光， 吳天行. 浮置板軌道動柔度計算方法及隔振性能研究[J]. 振動工程學報， 2007， 20（3）： 207?212. DOI： 10.3969/j.issn.1004?4523.2007.03.001.

[5]?李增光， 吳天行. 浮置板軌道二維建模及隔振性能分析[J]. 鐵道學報， 2011， 33（8）： 93?98. DOI： 10.3969/j.issn.1001?8360.2011.08.016.

[6]?CARLONE L， THOMPSON D J. Vibration of a rail coupled to a foundation beam through a series of discrete elastic supports： SU?ISVR?TM—873[R]. Southampton ： Southampton University， 2001.

[7]?翟婉明. 車輛?軌道耦合動力學[M]. 北京： 科學出版社， 2007.

[8]?劉海平. 高速鐵路輪軌滾動噪聲建模、預測與控制研究[D]. 上海： 上海交通大學， 2011.

[9]?楊新文， 翟婉明. 軌道交通輪軌噪聲機理、預測與控制[M]. 上海： 同濟大學出版社， 2017.

[10]?楊新文， 宮全美， 周順華， 等. 高速列車作用下雙塊式無砟軌道與路基垂向耦合振動分析[J]. 鐵道學報， 2014， 36（16）： 75?83. DOI： 10.3969/j.issn.1001?8360.2014.08.013.

（編輯?武曉英）