基于Q級聯理論估算同位素生產的成本

曾 實，余 歡，雷增光，BORISEVICH V D，SMIRNOV A Yu，SULABERIDZE G A

(1.清華大學 工程物理系，北京 100084;2.中國核工業集團有限公司，北京 100822; 3.National Research Nuclear University MEPhI, Moscow 115409, Russia)

同位素日趨廣泛地應用在物理學、生物學、醫學、環境學、能源等方面。對同位素的需求多種多樣，從克級到公斤甚至噸級；可以是一種元素的某個同位素，也可能是某幾個同位素。同位素分離的成本與需求量和同位素分離的難度密切相關。在確定是否生產某個同位素之前，尤其是大規模的分離之前，對分離的成本進行分析，盡可能準確了解分離的經濟性是有必要的，以確保能做出正確的生產決策。然而，經濟性分析涉及的因素是多方面的和復雜的，需要設備、能耗、維護、人工等費用的數據。在分離某種同位素的工廠還未設計之前，這些數據往往是難以獲取的，這樣也就難以對分離成本給出準確的分析。因此，在缺乏這些數據的情況下，能對分離的經濟性做出合適的評估，無疑是非常重要的。

離心法是目前規模最大、經濟性最好的鈾同位素分離方法，離心法也可用于多種穩定同位素(非鈾同位素)的分離。離心法分離鈾已有多年的歷史，技術成熟，市場化程度高，分離鈾的一些經濟性數據如單位分離功價格較易獲取。在分離功的價格數據中，已包含了上述多方面因素的影響。無論是分離鈾同位素還是其他非鈾的同位素，分離設施的結構構成基本相同，即分離鈾同位素的經濟性數據通過一定的修正，可用于評估分離非鈾同位素的經濟性。如何利用分離鈾的經濟性評估分離其他同位素的成本，是本文研究的目的。本文以鉛同位素的生產為例進行闡述。

分離級聯是分離設施中最重要的組成部分。對級聯的分析，有多種級聯模型可選，如MARC級聯[1-2]、匹配X級聯[3]、準理想級聯[4-5]、Q級聯[6]等。鑒于Q模型級聯(簡稱Q級聯)具有解析表達式，便于分析和優化[7-9]，而且Q級聯的結果給出了實際應用中進一步分析的初值，可簡化分析過程、提升分析效率。因此，本文選擇Q級聯作為分析的級聯模型。為取得最佳的分離效果，還需對Q級聯進行優化，優化方法可參考文獻[7-9]。

1 分離方案

1.1 分離介質

鉛冷快堆為第4代反應堆中的一種類型，可用天然的鉛作為冷卻劑。天然鉛有204Pb、206Pb、207Pb、208Pb 4種同位素。其中，因為206Pb對(n,γ)和(n,xn)反應的低活化特性，是理想的冷卻劑。盡管208Pb易被(p,2n)反應活化，但其中子吸收截面更小，因此也是理想的冷卻劑[10]。與206Pb相比，208Pb的天然豐度更高，因此本文的成本分析以分離208Pb的成本分析為例。

表1 Pb、C、H的組分構成及豐度Table 1 Components of Pb, C and H, and their concentrations

第8組分中，雖然其中208Pb的豐度很高，但該組分的組分豐度很低，為計算簡單考慮，該組分以及組分豐度更低的其他組分可忽略。因此，在分離的分析中，僅需考慮7個組分的多組分離。

1.2 分離方案

借用鈾同位素分離的術語，將產品取料P稱為精料，將其他取料稱為貧料。根據表2，208Pb均存在于組分質量數大的3個組分中，因此可采用單級聯方案，以重組分取料作為精料是合適的分離選擇。與第6、7組分相比，中間組分第5組分中208Pb的豐度不如這兩個組分高，但其組分豐度較這兩個組分大得多。因此，第5組分是主要的目標組分，其中含208Pb的子組分是208Pb(12C1H3)4。在文獻[11]中，已分析了分離中間組分的6種方案。為便于參考，圖1示出這6種方案。需說明的是，這6種方案是用于分離中間組分的，但因Q級聯優化研究的需要，用分離中間組分的方案來分離邊緣組分。優化充分時，單級聯方案和雙級聯方案應沒有大的差別。

表2 豐度最大的8個組分以及組分中208Pb的豐度Table 2 Eight components with the largest concentrations and concentrations of 208Pb in each component

圖1 6種分離的雙級聯方案Fig.1 Six double-cascade separation schemes

下面關系成立：

(1)

因此，同位素混合物中第e種元素的第k種同位素的豐度即為：

(2)

在精料P中208Pb的豐度為CP，在貧料中208Pb的豐度為CW。對這6種分離方案的分離要求如下。

1) 方案1

精料P為P2，P1和W2為貧料，W=P1+W2，要求：

(3)

2) 方案2

精料P為W2，W1和P2為貧料，W=W1+P2，要求：

(4)

3) 方案3

精料P為P2，P1和W2的混合為貧料，W=P1+W2，要求：

(5)

4) 方案4

精料P為W2，W1和P2的混合為貧料，W=W1+P2，要求：

(6)

5) 方案5

精料P為Wm，P2和W2為貧料，W=P2+W2，要求：

(7)

6) 方案6

精料P為Wm，P2和W2的混合為貧料，W=P2+W2，要求：

(8)

式中，豐度右上標帶取料符號的，表示在相應取料中的豐度。

對這些方案的優化和分析細節，可參考文獻[11]。根據文獻[11]中的結果，方案1和方案2具有相同的分離性能，即在給定的原料利用率R時，兩種方案的相對總流量GRT相同，即需要相同數量的分離單元。原料利用率R以及相對總流量GRT的定義分別為：

R=PCP/FCF

(9)

(10)

式中：ε0為分離單元的濃縮系數；GT為級聯的總流量，即級聯的各級入口流量之和；CF為供料F的豐度。

方案3與方案4的分離性能相同，方案5與方案6不同。6種方案中，最好的是方案3(方案4)，方案1(方案2)次之。本文僅選擇方案1和方案2進行說明。分離Pb時，與分離Mo的結論[11]基本一致[12]，方案1和方案2可視為具有相同的分離性能。取CP=0.95，CW不設限，要求R滿足給定值。對不同R，所得的R-GRT關系如下：

R=R0-R1e-GRT/G1

(11)

其中，R0、R1、G1為常數，R0=0.550 86，R1=9.730 86，G1=2.650 52。

圖2示出了R與GRT的關系。隨GRT的增加，R從迅速增加到趨于平緩，這意味著在GRT較小(7

圖2 R與GRT的關系Fig.2 Relationship of R and GRT

2 分離成本分析

計算分離鉛的比成本(即單位產品的成本)可用下式[13]：

(12)

式中：N為級聯中的分離單元數；η為級聯效率；α為工質氣體中鉛所占的比例；ak1為分離單元的成本；ak2為與冷凝和蒸發工質氣體相關的成本；aE為電的單位成本；aF為作為供料的工質氣體的成本；bE為輸送到分離設施的電能；tc為級聯的壽命；aSal為單位時間的人工費。分離其他同位素時，已知上述變量，即能計算分離成本。然而，除非分離某種同位素的設施規模、相應的輔助設施、人員配置等均已確定，否則這些量中的很多量均未知，如N、η、aSal，則用上式難以評估分離成本。

事實上，對于任何同位素分離，構成生產產品P的比成本基本由3部分組成：

C=CT,F+CT,s-CT,W

(13)

式中：CT,F為供料F成本；CT,s為分離成本；CT,W為貧料處理成本。假定單位供料的成本為cf，則：

(14)

假定分離工廠建設和運行平均到每臺分離器中費用為cs，那么有Ns臺分離器的工廠生產單位產品的成本即為：

(15)

cs構成很復雜，包括上述分離單元即相關設施、能耗、人工費等方面的費用，是難以確定的。然而，對鈾分離而言，分離功價格已知，由其可推算cs。若cSWU為單位分離功價格，δU為工廠分離功率，則分離鈾時產品的成本為：

(16)

式中：PU為分離鈾時的精料；cSWU已知，可從文獻[14]查到。在鈾分離中，cSWU的確定已綜合考慮了式(12)涉及的各種因素，具有一定的權威性。式中，引入了系數cp用來計入分離功價格與分離成本之間的差異。這樣，平均到單位分離器上的分離成本為單位分離功價格乘以單位分離器分離功，即：

(17)

式中，Ns,U為鈾分離的分離單元數。設想對其他同位素的分離，若假設分離器工作在與鈾分離時相同的狀態，即分離器水力學狀態與分離狀態相同，意味著分離器的能耗和其他配套費用相當，這樣對于具有Ns臺分離器的分離非鈾同位素的工廠，分離的成本為：

(18)

顯然，這個假設不成立，如分離鈾和分離其他同位素時單機流量(分別表示為fU和f)不同，濃縮系數(分別表示為ε0,U和ε0)不同。這些差異可易通過單機的實驗進行測定，也可確定由此導致的諸如能耗等其他方面的差異。為將這些差異納入考慮，需在式(18)中引入系數cm進行修正。由于：

(19)

其中，GT,U和GT分別為分離鈾和分離其他同位素時的級聯總流量，式(18)可寫為：

(20)

分離后，產生F-P的貧料。這部分貧料，可仍與原料一樣用于非同位素相關的用途。但即便是貧料能以與原料相同的價格出售，在考慮了用于分離過程中的一些耗費后(如運輸、儲存等)，貧料的實際價值降低了，即可能貶值。引入原料價值貶值系數d來記入貶值的因素，有：

(21)

d的取值范圍與原料種類有關，通常可取0≤d<1。但有些情況下，會出現類似于貧鈾的情況：這種貧料難以像原料一樣出售，還可能需有一定的費用來進行處理，此時d取負值。綜合起來，式(13)即為：

(22)

需指出，上式中的所有價格均是針對適合于同位素分離的氣體介質而言的。具體到Pb同位素分離，用于鉛冷快堆的最終產品是金屬鉛，因此還需將Pb(CH3)4轉化為金屬Pb。設將單位量的Pb(CH3)4轉化為金屬Pb的費用為cc。產品P中主要為208Pb(12C1H3)4，因此單位產品含金屬Pb的比例約為：

(23)

因此，單位金屬Pb的成本為：

(24)

3 分析和討論

根據UxC的數據[14]，cSWU為34 $。為將價格的波動納入考慮，可在一個較大范圍內取cSWU，分別為30、60、90 $/SWU。對于Pb(CH3)4原料價格，缺乏確切的最新數據。以文獻[15]的估算為基礎，cf分別取900、1 000、1 100 $/kg。取d=0.9。對于轉化費用cc，估計為50 $/kg，與原料價格相比，是可忽略的量。由于涉及分離器的fU和f以及ε0,U和ε0均是敏感的參數，因此本文取fU/f=1，ε0,U/ε0=1。出于類似原因，本文取cmcp=1。由于cSWU取值范圍較大，可認為在cSWU的取值范圍內部分考慮了cmcp的因素。在實際分析中，cm和cp的取值需根據具體情況來定。

根據式(11)，只要給定了原料利用率，即可知分離設施的相對總流量，從而很容易確定分離的成本。圖3示出了不同cSWU和cf時比成本CPb與原料利用率R的關系。由圖3可知，R過低或過高均不合理，而是有最佳值Ropt。當cSWU越小時，R在Ropt周圍一定范圍內CPb-R曲線變化就越平緩，即R在Ropt附近較大范圍內取值不會對比成本有較大影響。如若需更充分利用原料，R可在較Ropt更大區域取值而不至于明顯增加比成本。表3列出了這些最佳值以及對應的生產單位金屬Pb的成本CPb,opt。

圖3 不同cSWU和cf時CPb與R的關系Fig.3 Relationship of CPb and R for different cSWU and cf

cf/($·kg-1),cSWU/($·SWU-1)RoptCPb,opt900, 300.331 92 322.4900, 600.267 13 172.3900, 900.231 43 972.21 000, 300.341 82 486.61 000, 600.276 83 335.61 000, 900.240 54 142.81 100, 300.350 82 639.81 100, 600.285 63 497.41 100, 900.248 84 311.4

由表3可知，對于給定值cf，較低的cSWU有較低的CPb,opt，但卻有較大的Ropt；對給定值cSWU，較低的cf有較低的CPb,opt，Ropt也較低。因此，使cSWU越低，效益越好：不僅產品的比成本小，而且原料利用得更充分。圖4為最佳比成本CPb,opt在cf-cSWU平面上的等值線。根據文獻[6]的分析，208Pb的可接受的價格為2 860 $/kg。圖上特別標出了對應于2 860 $/kg的等值線。只要(cSWU,cf)處于線下的位置，208Pb的價格均可接受?？梢娫谀壳癱SWU約為30 $/SWU的情況下，生產208Pb的價格是可接受的。大規模生產時，可預期cf能顯著降低，那么在cSWU更大情況下，也可使生產208Pb的價格可接受。

圖4 CPb,opt等值線Fig.4 Contour line of CPb,opt

需指出的是，從各級流量連續和級數連續的意義上，Q級聯是一種理想的級聯。恰是這種理想化，所給出的結果是運用其他級聯模型(如通常的雙管道級聯)所得結果的下限，即沒有其他級聯模型能給出更優的結果。利用Q級聯得出結果，一方面可判斷其他模型進行級聯設計結果的優劣；另一方面，若Q級聯給出了否定結果，則沒有必要繼續進行同位素生產。

4 結論

基于Q級聯的理論，給出了一種評估離心法生產同位素成本的方法。

利用已知和易獲取的鈾同位素分離的經濟性數據是成本分析的關鍵。利用Q級聯，通過優化得到相對總流量與原料利用率的關系。利用鈾同位素分離工廠單位分離功價格數據，可推斷平均到單位分離單元的分離成本。假定分離成本正比于分離工廠規模，對鈾同位素分離和非鈾同位素分離的差異進行必要修正，可得到評估分離非鈾同位素的成本計算式。

以Pb(CH3)4為介質生產208Pb為例，對生產成本進行了分析。分析過程表明，在已知級聯相對總流量與原料利用率的關系情況下，成本分析簡單易行。