內阻尼對柔性連接轉子系統穩定性的影響

白宇杰，高劍波

(核工業理化工程研究院，天津 300180)

工作在柔性支承下的高速轉子系統容易發生動力學失穩，如美國航天飛機的液氫渦輪泵轉子由于密封流體激振力引發次同步進動[1]，我國液氫渦輪泵轉子由于內阻尼也發生了嚴重的失穩問題[2]。引發轉子系統失穩的因素很多，常見的如油膜失穩、密封失穩、碰摩失穩和材料內阻尼失穩等[3]，確定失穩原因是進行轉子支承系統設計的關鍵。目前柔性連接轉子系統在試驗中遇到進動失穩而無法正常升速，初步研究表明柔性連接處材料阻尼和結構阻尼構成的內阻尼是失穩的主要因素，需開展進一步研究以指導工程設計。

關于內阻尼對轉子系統穩定性影響的研究較多[4-9]。白長青等[4]用黏性阻尼和滯后阻尼模型建立了考慮內阻尼的Timoshenko梁-轉軸有限元模型，并分析了內阻尼對失穩轉速的影響。Mendonca等[10]采用Ni等[11]的內阻尼模型分析了安裝在復合材料轉軸上的轉子系統穩定性。Arab等[12]采用一維黏彈性理論建立了考慮內阻尼的鋪層復合材料轉軸的轉子動力學穩定性。Vervisch等[13]用試驗方式研究了旋轉阻尼對失穩轉速的影響。上述研究中的內阻尼模型主要面向柔性轉子，關心的是轉子的柔性模態，難以直接應用于本研究中的柔性連接剛性轉子系統中。根據一維Kelvin-Voigt黏彈性理論的復數形式，可將連接處的材料阻尼和結構阻尼集總在柔性連接處的剛度中，形成考慮內阻尼的復剛度模型[14-16]。采用復剛度模型不僅可有效分析系統穩定性，且可從模態試驗中獲取代表內阻尼的虛部系數[17]。

本文根據Kelvin-Voigt黏彈性理論建立適用于柔性連接轉子的復剛度模型，提出通過模態試驗得到代表內阻尼的虛部系數的測試方法，在此基礎上建立考慮內阻尼的轉子支承系統動力學模型，分析內阻尼和減振器參數對穩定性的影響。

1 數學模型

1.1 內阻尼模型

對于在交變載荷下會產生內耗的材料，可采用Kelvin-Voigt黏彈性理論的一維本構關系進行描述，其應力應變關系如下：

(1)

其中：σ為應力；E為材料的楊氏模量；μ為材料的阻尼系數；ε為應變；t為時間。直接測量材料的Kelvin-Voigt黏彈性理論中的阻尼系數比較困難，相關文獻非常少，本文通過以下方式間接獲取。

假設在簡諧激勵下的應變為ε=ε0cosωt，則可得到應力應變的方程為：

(2)

其中：ε0為應變幅值；ω為激勵頻率。顯然式(2)為橢圓方程，其中橢圓面積為材料循環1周所吸收的能量ΔU：

(3)

在循環1周中的最大彈性應變能U為：

(4)

于是可得到材料的損耗因子η：

(5)

在小阻尼情況下，對于轉子本身的第i階模態頻率，可得到：

ηi≈2ξi

(6)

其中，ξi為第i階模態的阻尼比，結合式(5)有：

(7)

測量無外阻尼時柔性連接轉子本身的模態頻率和模態阻尼比，根據式(7)就可得到某一模態頻率激勵下材料的阻尼系數，即得到該頻率下材料的Kelvin-Voigt黏彈性理論的一維本構關系。但直接運用該本構關系推導轉子系統的動力學方程較復雜，且會引入非線性項，對于建模和計算都會帶來較大困難，因此本文考慮Kelvin-Voigt黏彈性理論的復模量形式。

假設ε=ε0eiωt，代入式(1)可得：

(8)

結合式(7)可得到適用于某一模態頻率激勵下材料的復模量：

(9)

上述推導得到的復模量模型主要適用于某一階模態頻率，同時柔性連接轉子本身的內阻尼較小。如果轉子系統在升速中主要發生某一階模態失穩，則可采用該復模量模型。

1.2 動力學模型

圖1為柔性連接轉子支承系統，其中轉子的左右兩部分通過柔性連接件串聯而成，轉子的左端為彈性支承，右端為減振器，吸收振動能量并提供整個系統的阻尼。柔性連接件和轉子直接通過結構配合完成連接，容易產生結構阻尼，同時本身材料阻尼較大，因此在整個轉子中會引入較大的內阻尼。

對于圖1所示的柔性連接轉子支承系統，假設轉子為軸對稱剛體，僅在水平和豎直方向振動，支承特性各向同性，轉子中部柔性連接件主要提供左右兩部分轉子的彎曲剛度，忽略剪切剛度，因此柔性連接處的振動位移一致。轉子左右兩端的長度、質量、極轉動慣量、赤道轉動慣量分別為L1和L2、m1和m2、Jp1和Jp2、Jd1和Jd2，轉子中部柔性連接處的彎曲剛度為C，彈性支承剛度為k1，減振器主剛度為k2、集中質量為m3、次剛度為k3、阻尼系數為c3。整個系統包括轉子左端(x1，y1)、中部柔性連接處(x2，y2)、轉子右端(x3，y3)和減振器(x4，y4)共8個自由度。

圖1 柔性連接轉子支承系統Fig.1 Flexibly connected rotor support system

令轉子以角速度ω旋轉，計算轉子支承系統的動能和勢能，應用拉格朗日方程，可得到系統的運動方程為：

(10)

其中：{r}為虛數形式的自由度，即ri=xi+yi。系統中的質量矩陣[M]、阻尼與陀螺矩陣[C]和剛度矩陣[K]分別為：

(11)

(12)

(13)

C*=C(1+idiω)

(14)

針對感興趣的模態，在測量其模態頻率和模態阻尼比后，根據式(9)就可得到相應的內阻尼系數，并將復彎曲剛度代入式(10)，即是考慮復模量的轉子支承系統動力學方程。值得注意的是，根據靜態下模態測試結果計算的內阻尼系數，在升速過程中可能會改變，尤其是柔性連接處相對運動導致的結構阻尼，更可能隨轉速而變化，不過在本文中暫不考慮該因素對內阻尼系數的影響，如計算結果精度不夠可在下一步研究中進行修正。

本文研究的轉子系統動力學方程，包含了保守力和循環力，可采用線性系統的Routh-Hurwitz準則判斷系統的穩定性。但在考慮式(14)的復剛度后，矩陣中元素出現了復數，采用該準則還需進一步論證。幸運的是采用復剛度不改變系統的線性特征，因此可直接求解轉子系統動力學方程的特征根，根據特征根的實部正負來判斷系統從穩定到失穩的過程，即可得到系統的穩定性。

2 試驗測試

2.1 模態測試

為了在轉子支承系統動力學方程中應用復剛度，需獲取式(14)中的虛部系數，因此需獲得轉子本身的模態頻率和模態阻尼比。

由于轉子本身含有柔性連接件，因此采用立式方法進行模態測試，轉子上端用非接觸式電磁軸承約束，下端放置于無阻尼的底座。激振方式為錘擊法，拾振方式為貼在轉子壁面上的加速度傳感器。在轉子壁面畫好網格后，采用多點激振、單點拾振的方式進行模態測試，每個激振點重復測量3次。運用LMS Lab的模態分析模塊進行數據處理，得到轉子本身的模態頻率和阻尼比，如表1所列。

表1 轉子的模態頻率、模態阻尼比和虛部系數Table 1 Modal frequency, damping ratio and imaginary part coefficient of rotor

由表1可知，本研究共測試了4個轉子，統計了兩個感興趣的模態，分別是轉子一彎和轉子二彎，如圖2所示。其中：轉子一彎模態指的是轉子左右兩部分作為剛體圍繞柔性連接體做剛性振動，該模態頻率受柔性連接處彎曲剛度影響較大；轉子二彎模態指的是轉子左右兩部分分別進行柔性振動，與轉子材料性能關系較大，因此比轉子一彎頻率高得多。表1也列出相應模態的虛部系數，轉子一彎的虛部系數在10-5量級，轉子二彎的虛部系數在10-7量級。在進行數值分析時，會根據出現進動的頻率選取相應量級的虛部系數進行計算。

圖2 轉子一彎和轉子二彎模態Fig.2 1st and 2nd bend mode shapes of rotor

2.2 升速試驗

本文采用如圖3所示的測試平臺進行升速中的穩定性檢測。測試平臺包括左端提供彈性剛度的彈性支承和右端的減振器，其中減振器中較窄部分代表主剛度，較寬部分代表集中質量、次剛度和阻尼系數。轉子水平地放置在彈性支承和減振器上進行旋轉。通過兩個正交的電渦流傳感器采集轉子柔性連接處的振動信號，采用LMS Lab軟件對振動信號進行時域和頻域分析。在開始采集后，進行轉子升速，實時分析振動信號頻譜中的主頻是否為1×頻率，是否會出現其余振動頻率。在出現其他振動頻率且不會衰減時，記錄此時的轉子轉速，就得到進動出現的轉速和相應的進動頻率。在正式試驗之前，轉子均經過了良好的動平衡，不會出現振幅過大導致碰摩的問題。

圖3 試驗測試平臺Fig.3 Experiment set-up

3 結果分析

在正式試驗和相應的理論計算中采用的彈性支承剛度k1=450 N/m，減振器主剛度k2=5.5×104N/m、集中質量m3=0.02 kg、次剛度k3=650 N/m、阻尼系數c3=40 N·s/m，彎曲剛度C=1 600 N/rad。由于轉子強度限制，實際試驗中主要檢測在0～800 Hz范圍內是否失穩，超過800 Hz后的轉速不在討論范圍內。

4個轉子的升速試驗結果列于表2。在進行理論計算前，需先判斷出現進動的模態是轉子一彎還是二彎。通過對比理論與試驗結果發現，升速中出現進動的主要模態為轉子一彎模態，因此在進行失穩轉速計算時需采用轉子一彎模態所對應的虛部系數。由表2可知，1、2、3號轉子通過理論計算得到的失穩轉速與試驗結果較符合，2和3號的理論失穩轉速與試驗結果相差在5%以內，而4號轉子的理論與試驗結果相差較大，可能是轉子在升速過程中內阻尼增大較多，已遠超過靜態下的內阻尼。結合轉子一彎模態虛部系數大小和失穩轉速可知，隨虛部系數增大，失穩轉速逐步下降，這一結論符合黏彈性轉子發生失穩的定性結論。

表2 轉子支承系統失穩轉速和進動頻率Table 2 Threshold speed and processing frequency of rotor support system

分析不同參數對轉子升速過程中一彎模態阻尼比的影響。圖4示出虛部系數對一彎模態阻尼比的影響。圖5示出di=0時轉速對一彎模態阻尼比的影響。由圖4可見，不同轉速下的一彎模態阻尼比隨虛部系數的增大而線性減小，在虛部系數為25×10-6～30×10-6時，轉速為150～250 Hz下的一彎模態阻尼比為負數，進入失穩區域，即在該支承參數下轉子最高升速到150 Hz左右。由圖4還可看出，不同轉速下的一彎模態阻尼比差距較大，轉速為450 Hz時最大，與圖5中靜止時一彎模態阻尼比隨轉速的變化規律一致，在轉速為438 Hz時取得最大值。這是因為減振器為一維振動系統，在一彎模態頻率與其共振頻率相近時，出現進動后減振器處于共振狀態，振動幅度最大，相應的阻尼效果最好。在實際中可根據進動時的一彎模態頻率進行減振器參數匹配，以期達到最佳阻尼效果。

圖4 虛部系數對一彎模態阻尼比的影響Fig.4 Effect of imaginary part coefficient on modal damping ratio of 1st bend

圖5 di=0時轉速對一彎模態阻尼比的影響Fig.5 Effect of speed on modal damping ratio of 1st bend at di=0

考慮內阻尼并計算不同減振器阻尼系數下一彎模態阻尼比隨轉速的變化，如圖6所示。轉速為400 Hz時一彎模態阻尼比隨阻尼系數的變化如圖7所示。由圖6可看出，在阻尼系數為10 N·s/m時一彎模態阻尼比隨轉速的增大迅速下降，失穩轉速約為150 Hz，阻尼系數增大到20 N·s/m后失穩轉速約為600 Hz，隨阻尼系數繼續增大，失穩轉速減小。在阻尼系數約為20 N·s/m時取得最高失穩轉速，說明減振器在該阻尼系數下的阻尼性能最好，和圖7所示規律一致。減振器是一維的彈簧阻尼系統，在進動頻率即一彎模態頻率與其共振相距較大時，處于過阻尼狀態可獲得最大阻尼性能，在進動頻率接近其共振時，處于欠阻尼狀態可獲得最大阻尼性能，且存在最佳的阻尼系數。

圖6 di=30×10-6時轉速對一彎模態阻尼比的影響Fig.6 Effect of speed on modal damping ratio of 1st bend at di=30×10-6

圖7 一彎模態阻尼比隨阻尼系數的變化Fig.7 Change of modal damping ratio of 1st bend with damping efficient

由上述分析可知，轉子虛部系數和減振器參數均會對升速過程中的失穩轉速產生影響，因此以一彎模態阻尼比降低為0為界限作為失穩轉速，得到不同虛部系數和減振器參數下的穩定域，如圖8所示。圖8中曲線代表不同阻尼系數所對應的失穩轉速，空白部分為穩定域，陰影部分為失穩域。阻尼系數較小時同一個阻尼系數下會對應多個失穩轉速，這并不矛盾，此時可認為阻尼系數是該轉速下的失穩阻尼系數。由圖8可看出，為保證轉子不進入失穩域，則阻尼系數既不能太大，又不能太小，存在對應最高失穩轉速的最佳阻尼系數，如圖8a中約為20 N·s/m。如果可在升速中更改阻尼系數，則在圖8b中隨轉速實時地降低阻尼系數可達到最高的失穩轉速650 Hz。對比圖8a、b可知，在同樣的阻尼系數下，虛部系數越小則對應的失穩轉速越小，如阻尼系數在20～40 N·s/m范圍內的最小失穩轉速約為650 Hz，而虛部系數較大時的最小失穩轉速約為450 Hz，虛部系數對大和小阻尼系數時的失穩轉速影響很大。對比圖8b、c可知，提高減振器阻尼剛度可有效擴大穩定域的范圍，提高失穩轉速，但對于小阻尼系數下的失穩轉速影響較小。

圖8 減振器剛度和虛部系數對穩定域的影響Fig.8 Effect of damper stiffness and imaginary part coefficient on stable region

4 結論

本文建立了考慮復剛度內阻尼模型的柔性連接轉子系統的動力學方程，結合模態和升速試驗結果進行了內阻尼虛部系數和失穩轉速計算驗證，研究了內阻尼虛部系數和減振器參數對該系統穩定性的影響，得到以下結論。

1) 該系統在升速過程中會發生一彎模態進動失穩，轉子柔性連接處的內阻尼是失穩的主要原因，通過文中模型可測量并給出柔性連接處的復剛度虛部系數。

2) 本文的復剛度內阻尼模型可有效地分析系統的失穩轉速，理論與試驗結果符合較好，對于升速過程中內阻尼變化較大的轉子，模型還有進一步改進的空間。

3) 減小柔性連接處的內阻尼、增大減振器的剛度系數可增大穩定域范圍；減振器阻尼系數存在最優值，在該阻尼系數下系統失穩轉速最高。