極大Smith符號圖的Smith群和臨界群

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（湖南師范大學 數學系，湖南 長沙 410081）

1 研究背景

隨著臨界群在物理、經濟等不同領域的廣泛應用，近些年來，越來越多的學者開始對連通圖的臨界群和Smith群進行研究，并發現臨界群和Smith群是連通圖的精細不變量。目前，對于連通圖的臨界群和Smith群已有較多研究成果，比如莫比烏斯階梯圖Mn[1]、Peisert圖[2]、迭代錐[3]、Kneser圖[4]、門檻圖[5]、Dihedral圖[6]、圈的平方[7]、等多種類型圖的臨界群。除此之外，對于臨界群上的代數性質也有相關研究，比如臨界群的秩[10]。

一個圖G的點集和邊集分別由V(G)和E(G)表示，一個符號圖Г=(G,σ)由一個無符號圖G=(V,E)和一個符號函數σ:E(G)→{+1,-1}組成，如果σ(e)=+1，那么邊e是正的，如果σ(e)=-1，那么邊e是負的。

設連通符號圖Г有n個頂點，那么圖Г的鄰接矩陣是n×n階的對稱矩陣A(Г)，其中aii=0，i∈{1,2,…,n}；aij=+1，i,j∈{1,2,…,n}，當且僅當頂點vi和頂點vj之間連正邊；aij=-1，i,j∈{1,2,…,n}，當且僅當頂點vi和頂點vj之間連負邊。連通符號圖Г的Laplacian矩陣定義如下：L(Г)=D(Г)-A(Г)，其中D(Г)=diag(d1,d2,…,dn)是連通符號圖Г的度矩陣。

將連通符號圖Г的鄰接矩陣A(Г)看作Zn→Zn的群同態，余核cokerA(Г)=Zn/(A(Г)Zn)稱為Г的Smith群。類似地，將連通符號圖Г的Laplacian矩陣L(T)看作Zn→Zn的群同態，它的余核cokerL(Г)=Zn/(L(Г)Zn)是Г的臨界群。

根據連通符號圖的Smith群和臨界群的定義可知，對其鄰接矩陣和Laplacian矩陣分別作行列整變換，可以得到其Smith群和臨界群的代數結構。除此之外，課題組還可以通過找Smith群和臨界群的生成元及其階數的方法來得到其代數結構。

特征值在[-2,2]的符號圖叫做Smith符號圖[11]，由T2n、S14和S16的子圖構成。在本文中課題組完全確定了極大Smith符號圖T2n的臨界群和Smith群的代數結構。其中符號圖T2n、S14和S16分別與圖1a，1b和1c所示的符號圖轉換等價圖，圖1b和圖1c中的實線和虛線分別表示兩個頂點之間連正邊和負邊。……