一類擬線性時標動力方程的Lyapunov型不等式

張啟明，周 欣

（湖南工業大學 理學院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

經典的Lyapunov不等式是指在特定的邊值條件下，Hill型方程有非平凡解時需滿足的必要條件。該不等式最初由俄國數學力學家李亞普列夫[1]，于1907年在考慮常微分方程的解的穩定性時提出。即有如下引理1。

引理1[1]設q(t)是[a,b]上實值連續函數，若Hill型方程

存在非平凡實解x(t)，且滿足邊值條件

則有

其中不等式（3）右邊的下界“4”不能被更大的常數代替。

人們稱不等式（3）為經典的Lyapunov不等式。此后，不等式（3）被推廣到許多的方程和系統中，這些改進或推廣后所得的Lyapunov不等式即為Lyapunov型不等式。

20世紀80年代，德國學者S.Hilger最先在其博士論文[2]中提出了時標的概念，并建立了一些基本的時標理論。此后，時標理論在文獻[2-4]的基礎上得到蓬勃發展。其中，B.Kaymakcalan在1996年出版的著作[5]中，建立了時標上動力方程的Lyapunov穩定性理論。M.Bohner和A.Peterson在文獻[6-7]中，系統分析了時標上一類非常重要的動力方程：時標上的動力方程。時標上的動力方程（系統）不僅可以包括連續和離散這兩種特殊的情形，而且在應用上也蘊含巨大的潛力，是一個比較新的有著廣泛應用前景的應用數學分支，其理論研究主要集中在邊值問題、振動性、穩定性、不共扼性等方面[8-12]。本文將在預備知識部分對時標的基本概念和基本理論作簡要介紹。

關于時標上的動力方程（系統）的Lyapunov型不等式，文獻[11-19]中分別對時標上的Hill型方程、Hamilton系統、一階非線性系統以及擬線性系統進行了研究，得到了許多重要的結果。其中文獻[11-12]是通過建立Lyapunov型不等式來討論其穩定性的。……