在“綜合與實踐”活動中學習公式
——以“完全平方公式”的教學為例

■杭秉全

“綜合與實踐”是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。課標提倡把這種教學形式體現在日常的教學活動中。教師設置恰當的問題，讓學生在“綜合與實踐”活動中學習公式，能極大地調動他們學習的自主性。學生經歷公式的“自主發現——全面認識——加深理解——深化拓展”的認知全過程，避免將公式簡化為“記憶+套用”。

2019年3月，筆者應邀在“第五屆江蘇省初中數學名師精品課堂觀摩與研討活動”中執教了一節觀摩課，課題為七年級下冊“9.4乘法公式（第一課時）——完全平方公式”。在這節公式課的教學中，筆者設計了“綜合與實踐”活動，讓學生在實踐活動中，自主發現公式；在多元聯系中，全面認識公式；在變式應用中，加深理解公式；在小結反思中，深化拓展公式。學生自主參與、充分經歷了完全平方公式認知的全過程，收獲了非常好的教學效果。現以這節課的教學為例，與各位同仁交流如何讓學生在“綜合與實踐”活動中學習公式。

一、在實踐活動中，自主發現公式

公式得出的過程，不應是教師的“自導自演”，更不能是教師直接“拋授”，而應是在教師引導下，學生自主發現。如此這般，才能讓學生在發現公式的過程中，了解公式產生的背景，提升數學歸納認知的能力，豐富數學探究活動經驗。要使學生在公式學習中，自主發現公式，教師可以組織發現公式的實踐活動。

在完全平方公式的教學中，筆者組織以下3項實踐活動，讓學生自主發現完全平方公式。

活動1 回憶多項式乘多項式的運算法則。

活動2 計算：

（1）（x+1）（y+2）=_________；

（2）（a+1）2=（a+1）（a+1）=________；

（3）（a+b）2= ________。

活動3 比一比，賽一賽，看誰算得又準又快！

（1）（x+y）2=_______；（2）（b+d）2= ______；

（3）（m+n）2= ______；（4）（s+t）2=_______。

完全平方公式屬于特殊的多項式乘多項式，所以活動1的設計是為學生自主探索發現完全平方公式奠定知識基礎。活動2的設計遵循從特殊到一般的原則，設置了3個計算，它們不只是多項式乘多項式的鞏固練習，其設置的目的是讓“每一個學生”通過自己的計算實踐操作得到完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2。此時學生還沒有把它看成公式，只限于它是特殊的多項式乘多項式，運用多項式乘多項式運算法則計算不難得出結果。雖然簡單，但直達本質；雖然重復，但能引起學生重視。活動3設計了4個簡單的計算，它們是“計算（a+b）2”的簡單重復變式。在活動3的比賽中，符號認知意識強的學生，能發現（1）中的 x、y，（2）中的 b、d，（3）中的m、n，（4）中的s、t均分別相當于活動2計算（3）中的a、b，套用活動2計算（3）的結果，可直接寫出各小題的答案；其他學生，通過運用多項式乘多項式運算法則計算，也可得出結果。之后組織一個算法交流，會收到“讓一部分先富起來的人，帶動其他人共同富裕”的效果，實現學生分層自主發現把（a+b）2=a2+2ab+b2當作公式，活動3中的幾個計算套用這個公式，能快捷地得出結果。

二、在多元聯系中，全面認識公式

“多元聯系表示”是促進學生掌握數學原理的有效教學策略。“多元聯系表示”策略，其實質是利用數學對象（數學的概念、法則、表達式、定理、定義等）表現形式的多樣性，對同一數學對象給出多種不同表示，從而使學生接觸數學對象的不同方面特征，溝通聯系，促進理解。公式的教學需要教師設置恰當的“問題”，引導學生思考如何用圖表、文字或符號等方式表示公式。學生在對公式的多元表征、多元聯系中，實現對公式的全面認識。

在完全平方公式的教學中，教師可以在學生自主發現完全平方公式的基礎上，圍繞下面3個問題，開展“綜合與實踐”活動，讓學生全面認識完全平方公式。

問題1 這個公式有何結構特點？如何用文字語言描述？

問題2 你能設計一個圖形說明這個公式嗎？

問題3 完全平方公式與多項式乘多項式有何關系？

問題1是從完全平方公式符號語言表示出發，分析其結構特征，進而用文字語言對公式加以表述。在此基礎上，教師可以向學生介紹《幾何原本》中關于完全平方公式的表述：如果兩分任意一個線段，則在整個線段上的正方形等于各個小線段上正方形的和加上由兩小線段構成的矩形的二倍。這樣，在換個角度認識完全平方公式的同時，還實現了數學文化的浸潤。問題2是在公式的符號語言、文字語言表述的基礎上，探索公式的圖形語言表述。這對學生有一定的挑戰性，可引導、啟發學生聯想多項式乘多項式運算法則的圖形表述。問題3能讓學生認識到：將多項式乘多項式（a+b）（c+d）中的c、d分別特殊化為a、b，多項式（a+b）（c+d）就變為（a+b）2。符號語言表述如此，圖形語言表述亦然。將表述多項式乘多項式運算法則的圖1中的c、d分別特殊化為a、b，就得到表述完全平方公式的圖2。這樣，學生在數形結合中，在變化的眼光下，在特殊與一般的聯系中，對完全平方公式有了一個全面的認識。

三、在變式應用中，加深理解公式

一個基本概念或基本技能的形成，需要有一定程度的重復。重復經過變式而得到發展。變式是適合規則的情境變化。只有在變化的情境中應用習得的規則，學生才能深刻理解習得的規則。因此，在數學原理的教學中，變式是促進學生理解的重要手段，可以達到增加理解原理的角度和途徑，增加理解活動的層次性的目的。學生要達到對公式的真正把握并能靈活運用，達到深刻理解的水平，需要有變式訓練、應用公式的機會。

在完全平方公式的教學中，筆者在學生全面認識完全平方公式的基礎上，開展下面3個變式應用活動，讓學生對完全平方公式的理解更深刻。

活動1 試一試。

能直接說出下列算式的結果嗎？你是如何算的？

（1）（x+3）2=______；（2）（m+2n）2=______。

活動2 議一議。

改變（a+b）2中a、b前的符號會有哪些情況？它們分別如何計算？

活動3 想一想。

如何計算（a+b+c）2？

活動1是直接套用公式，在套用中進一步熟悉公式的結構特點。活動2用問題“改變（a+b）2中a、b前的符號會有哪些情況”引出（a+b）2的三種變式：（a-b）2、（-a+b）2、（-a-b）2。在對這些變式如何計算的討論和交流中，讓學生認識到：這些變式都是特殊的多項式乘多項式，可運用多項式乘多項式的法則進行計算；這些變式都可看成是兩數和的平方，可運用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2進行計算；后面兩個變式都可運用符號法則，轉化為兩數和的平方或兩數差的平方。進而，讓學生感悟到把（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2都作為公式，會給計算帶來很大的方便。從而，確立（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2這兩個公式為完全平方公式。活動3對“如何計算（a+bc）2”的思考、交流，可讓學生認識到：這個變式也是特殊的多項式乘多項式，可運用多項式乘多項式的法則進行計算；可運用整體思想，把它變形為應用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2進行計算；還可以參照完全平方公式的圖形表述，構圖（如圖3）分析得出結果。從活動1的系數變式，到活動2的符號變式，再到活動3的底數項數變式，層層遞進。學生在直接套用、轉化應用、整體思維、數形結合的進程中，逐步加深對完全平方公式的理解。

四、在小結反思中，深化拓展公式

每節課都要有個小結反思的過程，學生在小結中梳理知識，并把新學知識概括到已有的認知結構中去，形成縱橫聯系、更加穩固的知識網；學生在反思中挖掘知識中所蘊含的思想方法，提煉知識探究中所運用的思維策略，拓展可繼續深入研究的方向。公式的學習不應止步于認識公式、理解公式、運用公式，學生在小結反思中，深化拓展公式，使公式應用價值之外的數學思想方法、思維價值凸顯出來。

在完全平方公式的教學中，筆者在學生發現、認識、理解完全平方公式的基礎上，圍繞下面3個問題，組織學生進行課堂小結反思活動，讓學生對完全平方公式的認識有進一步的深化和拓展。

問題1你對完全平方公式有何認識？

問題2今天的學習，你感悟到了哪些數學思想方法？

問題3你能提出一些值得繼續研究的問題嗎？

問題1是一個具有開放性和彈性的問題。在回顧反思一節課的學習中，每個學生都可以或多或少、或深或淺地談出自己對完全平方公式的認識。認識可以是完全平方公式的符號語言、文字語言、圖形語言的多元表征，也可以是完全平方公式與之前學習的多項式乘多項式運算之間的聯系，還可以是作為公式在相關計算中的價值，等等。學生在“談認識”的任務驅動下，實現對課堂學習的回顧、梳理與反思。問題2直接指向數學思想方法的挖掘。問題3指向的是數學研究的思維策略。研究方向尋找的背后支撐是特殊化、類比、一般化的邏輯思考方法。結合本節課的學習，繼續研究的方向可以是由“類比”思維聯想到的：對“還有哪些特殊的多項式乘多項式，值得確立為公式，讓計算更方便”的研究。也可以是由“一般化”思維聯想到的：對（a+b）3、（a+b）4……（a+b）n的研究，或是對（a+b+c）2、（a+b+c+d）2……（a1+a2+…+an）2的研究，或更一般化的是對（a1+a2+…+an）m的研究，等等。這樣，學生在課堂小結、反思提煉、拓展延伸中，更進一步深化對完全平方公式的認識。