結合模型求解古典概型問題的探討

覃劍波

摘要：古典概型是高校概率論課程的一個環節，是現實當中碰到最多的概率問題，盡管高中有所接觸，但學生做題普遍感到困難，難于找到規律，做得對與錯沒有把握。本文從有放回摸球和無放回摸球這二個基本模型出發，討論其應用的要點及解決實際問題的注意事項并舉例加以說明。

關鍵詞：古典概型;二種模型;是否有序;序的一致性

古典概型具有下列兩個共同特點：試驗的樣本空間只包含有限個元素;試驗中每個基本事件發生的可能性相同。這樣的試驗稱為等可能型，因其是概率發展初期主要的研究對象，所以也稱為古典概型。樣本空間的元素，我們又稱為樣本點，基本事件是單個樣本點構成的事件，概括起來講，古典概型就是樣本點有限且每個樣本點等可能出現的模型。

事件概率計算及其二大模型

古典概型下事件概率的計算 如果事件A是k個樣本點的集合，樣本空間是n個樣本點的集合，則事件A的概率基本計算公式為P（A）=k/n。即事件A的概率等于其所包含的樣本點數與樣本空間所包含的樣本點數之比。該計算方法可以通過對樣本空間和事件所包含的樣本點計數來簡單的計算出古典概型下事件的概率。而對樣本點進行計數就是看其包含有多少個不同的樣本點，如何才能判別二個樣本點是相同還是不相同呢？

關鍵點一：不同元素構成的樣本點肯定不同，比如（1，2）和（2，2），前者由1與2這二個元素構成，后者是由二個元素2構成，顯然是不同的樣本點。

關鍵點二：構成元素相同的樣本點是否是相同的樣本點，取決于講不講順序。在不講順序的情況下，只要構成的元素相同，它們就是相同的樣本點，比如（1，2）和（2，1）這二個樣本點是相同的樣本點，但在講順序的情況下，其就是不同的樣本點了。所以，我們在確定樣本空間或事件的樣本點數時，一定要注意它們是不是講序。

古典概型下的二大模型 模型一：袋中有n個球，有放回隨機取出k個。由于這項工作必須要經過k個有序的步驟才能完成。因此，只能講順序，不能用不講順序的辦法來處理。在講順序的情況下可以用乘法原理來計算樣本空間包含的總樣本點數，即各步驟的取法數相乘。有放回的情況下，每個步驟都有n個不同的球可供選擇，k個步驟，那就有nk種，即樣本空間包含的樣本點數為nk。

模型二：袋中有n個球，不放回隨機取出k個。由于這項工作可以有序的一個一個取出，也可以不講順序的一把把這k個球取出。在不放回的情況下講順序則是排列，這里類似于軍訓的排隊，在不放回的情況下，不講順序則是組合，這里類似于我們雙打比賽的組合。因此，在講序的情況下，樣本空間包含的樣本點數為排列數 ? ? ? ? ? ? ? ?。不講序情況下，則為組合數 ? ? ? ? 。

應用模型的要點及舉例說明

筆者在概率論教學中，發現很多同學無法利用模型來解決古典概型的問題，根源在于下列幾個要點沒掌握好。以下結合例子做闡述。如把8個球隨機的放到10個盒子中去，每個盒子的容量可裝下8個球，求每個盒子至多有一球的概率。這個例子大部分同學無法跟上述的二大模型對應起來，首先模型中的球相當于本例中的球還是盒子搞不清楚，這個問題必須首先搞清楚。

要點一：首先，根據隨機性關健詞確定古典概型問題中誰可作為模型里袋中的球。這時應根據本例中球和盒子誰具有隨機性進行判斷，本例中，所有的8個球都必須放到盒子中去，沒有隨機性，因此，不可能作為模型里袋中的球，每個盒子有可能被選中也有可能沒被選中，具有隨機性。因此盒子可視為模型中的球。

要點二：確定隨機選取對象是盒子后，再根據其在被選取后能否再次被選出的情況，確定是有放回還是無放回隨機摸取模型。本例中，盒子的容量足以裝下8個球，裝有球的盒子還能再裝球，因此屬于有放回隨機摸取模型。即從10個盒子中有放回隨機選出8個用于裝8個球。

要點三：確定問題所屬的模型后，就可以用上述二大模型的結論直接得出樣本空間包含的樣本點總數，然后結合實際問題求出所求的事件包含的樣本點數，最后二者相比就可算出所求事件的概率了。本例中，我們首先由有放回的模型一，10個有放回隨機摸取8個，其共有108種不同的取法，即樣本空間包含的樣本點數為108。所求的事件為每個盒子至多有一球，即選盒子裝那8個球時，只能選空盒子，裝有球的盒子不能再選出來裝球了，這相當于不放回了。由于樣本空間是講順序的，因此求事件包含的樣本點數時也必須講順序。不放回又講順序應該用排列數進行計算，即事件包含的樣本點總數為排列數 ?，該事件的概率則為 ?。

結束語

古典概型的教學，我們應結合模型來進行，這樣學生才能把知識掌握更牢，運用起來更準確，不至于出現產品抽查到次品的概率講過后會算了，但一轉到彩票問題、抽中特等獎的概率不講就不會算的這種情況了。

參考文獻

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].第四版.北京：高教出版社，2008.

[2]劉光祖.概率論與應用數理統計[M].第1版.北京：高等救育出版社，2000.

（作者單位：廣西大學數學與信息科學學院）