培養學生解題能力

季林波

對高中數學而言，解題能力是學生的重要素養，因此教師要把提升他們的解題能力作為數學教學的重點環節。一般來說，數學的解題往往分為分析題目文字、明確多個條件、確認有用條件、理清各條件之間的關系、書寫解題過程等步驟。培養學生解題能力，教師就得讓學生在每一步驟上的思維能力都得到生長。

貫徹數學思想

就解題能力而言，它是一個綜合能力，涵蓋分析能力、推理能力、運用能力等。能力的提升總得有一個媒介，數學思想就是能力提升的關鍵因子，也就是說，要讓學生提升能力，就要讓他們從題目中推斷本題所要涉及的數學思想是什么。有了數學思想再去甄別文字，篩選條件。一般來說，高中學生用到的數學思想有函數與方程、數形結合、分類與整合等思想。以下題為例，若圓錐的表面積是15л，側面展開圖的圓心角是60°，則圓錐的體積是多少。不少學生拿到這樣的題目就無從下手，不知道怎么去求解。首先教師要讓學生將抽象的文字轉化為圖形，讓學生從圖形中找到突破口。這其實就是數形結合的思想，當這種思想在學生思維處生根之后，遇到類似的問題，學生會自然地借助圖形去思考。在學生畫圖之后，他們會將題目中的條件整合到具體的圖形上，即將數與形結合起來。題目中的已知條件，表面積、圓心角等都涉及到一個共同的元素半徑。如果從半徑入手能不能將有用的條件整合到一個式子中來。其實這就用到了另外一個重要的思想，即方程的思想。從一種思想過渡到另外一種思想，學生的思維也在深入。當學生將圓錐的底面半徑設為r 時，他們發現還缺少了什么，因為等量關系很難建立。對思想的深度思考之后，學生找到了一個過渡的數量關系，他們將母線設為 ，則，從而求得 。從整個過程看，學生抓住數學思想的基點，解題能力就隨之迸發出來。學生在具體的解題過程中，他們可能沒去想這是什么數學思想，而是習慣地按照一定的套路將題目解答出來。套路就是隱性的數學思想。

設置開放題型

一般的數學題目，都是給好結論，讓學生去證明。但開放性題目，只是給學生一些條件，讓他們自己去猜測會有什么樣的結果，或者多了一個條件又能出現什么新的情況。一言以蔽之，開放性題型對學生的解題能力提出新的高度，反過來開放性題型也能更好地鍛煉學生的解題能力。一方面它要求學生將條件做多方面的假設，需要考慮的因素增多，并且每個因素都有不確定性;另一方面它要求學生具有思辨能力，即判斷能力，讓學生自己猜測結論，再自己證明結論。思辨能力的提升，能讓學生重新審視題目給出的條件，即哪些是有用的，哪些是多余的，哪些需要找尋的。將條件構建到一個解決問題的生態體系中，學生的解題能力就會提升。以下題為例：兩圓x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置關系如何。這題相對的開放，它沒有直接告訴學生結論是相交還是相切，然后讓學生去求解。學生先要想到圓與圓之間有著怎樣的關系，接著再將這兩個圓分別做一個草圖，看看大致的位置，最后再根據具體的數據作精確的計算。可以肯定的是，開放性題型學生思考的內容多了一些，在思維上表征為考慮問題要更嚴密一些，同時也讓學生自主的空間多了一些。對于教師而言，平常可以將一些常見的題目改為開放性的題目，一方面能跟初中生的心理特點、思維特點相配，心理上他們不喜歡束縛，思維上他們比之前變得深刻;另一方面也能讓學生的思維進一步打開，思維開闊了，解題的視域就寬了，能力就拓展了。

重視錯題分析

數學學習的過程從某種程度上來說，也是學生不斷提升解題能力的過程。在學習中學生會遇到會解的題，也會遇到不會解的題，這其中也包括解錯的題。解答對了，學生就獲得了一次成功的體驗，隨之也獲得了一種正確的解題方式，這種方式使學生在遇到同一類型題目時就變得輕車熟路。但對于做錯的題目，學生往往重視不夠，甚至從心理上不愿提及。其實錯題對培養解題能力而言是一種不可多得的資源，它能讓學生看到自己在解題過程中疏忽。這個疏忽是來自思維的短板，還是認知上的不足，亦或是態度使然。學生分析了自己的疏忽之后，就對之前的解題有一個給反饋，進而使自己改變學習方式。以題為例： ，大多學生多能考慮到當n=2k，k∈Z時，原式= 。但學生的思維就好像在此卡住，一方面教師要將與三角函數相關的認知重新納入教學計劃中來，以讓他們在這此類題目上的能力得到提升;另外，教師讓學生分析錯誤的原因，思維沒有往前拓展。當然學生在反思無果的時候，教師可作適當的提醒，以讓他們從錯誤的焦慮中走出來。就這題，教師提醒當n=2k+1，k∈Z時會有怎樣的解題思路。學生會豁然開朗，原來離正確只是一步之遙。

當前在高中數學教學中還有一些誤區，認為解題能力就是通過大量的做題提升出來的。不可否認，解題能力的培養需要學生通過做題來體驗。但不是麻木地做題，而是巧妙地做題。對于“巧”而言，要讓學生的多元智能得到精準地提升，要讓學生的體驗得到及時的反饋。數學思想、開放題型、錯題整理只是筆者教學中的一家之言，也許還有更好的方式能促進學生解題能力的生長。

（作者單位：江蘇省海安高級中學）