一道數項級數求和問題解法探討

鄭麗娜

摘? 要：在無窮級數中，求常數項級數的和是難點.而計算常數項級數和的方法有多種，該文對構造冪級數的和函數，利用冪級數的和函數的分析運算性質求常數項級數的和進行了研究。針對一道求常數項級數和的具體問題進行了探討，給出了4種構造冪級數的方法，并對每種方法的注意事項、使用技巧進行了簡單的分析和說明。

關鍵詞：冪級數? 和函數? 逐項求導

中圖分類號：O173 ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）01（b）-0223-02

Abstract： in infinite series， it is difficult to find the sum of series of constant terms. There are many ways to find the sum of series of constant terms. in this paper， we study how to construct the sum function of power series and find the sum of the series of constant terms by using the analytic property of the sum function of power series. This paper discusses a specific problem of of finding the sum of series of constant terms， four methods of constructing power series are given，furthermore， the limitations， techniques for each method are analyzed and illustrated briefly.

Key Words： Power series; Sum function; Item by item derivation

無窮級數是高等數學的一個重要組成部分，它是表示函數、研究函數的性質以及進行數值計算的一種工具。求常數項級數的和是無窮級數的一個難點，通常的計算方法有兩種，利用數項級數和的定義（即設，若存在，則）和借助冪級數的和函數。利用級數和的定義求數項級數和這種方法具有很大的局限性，只適應于某些特殊的級數。通過構造冪級數，利用冪級數的和函數求常數項級數的和更具有普遍性，該文就求一道常數項級數的和的題目進行探討，提出構造4種不同的冪級數來求其和。

題目：求數項級數的和。

注4? 解法4和解法3類似，通過構造一個冪級數利用兩次逐項求導求冪級數的和函數。該解法與前3種解法相比較，計算量大，主要在于求函數的原函數相對麻煩;另外，要注意到是反常積分，x=0是被積函數的瑕點，故。該方法對于學生來說難度較大。

該文就一道數項級數求和問題的解法做了探討，通過構造不同的冪級數求和函數的方法來求解。構造冪級數時，要根據數項級數的特點，構造合適的冪級數。從計算過程中可以看到，熟練掌握和函數的性質（冪級數的和函數在其收斂域上連續、可逐項積分、在收斂區間上可逐項求導）是求冪級數的和函數的關鍵。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2014：7.

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