關于彎曲時空中的量子場論的一種新構想

董振銘

摘? 要：在彎曲時空中的無窮遠處設置一個量子實驗室，該無窮遠處的度規是閔可夫斯基度規，即將彎曲時空的無窮遠處視為平直時空，在量子實驗室的參考系中量子的產生和湮滅可以按照平直時空的量子場論來處理，對于同一個粒子的產生或湮滅，在非無窮遠處的彎曲時空某一點參考系當中看來，要滿足廣義相對論中的時間和空間膨脹收縮的結果。即在量子實驗室的參考系看來，空間中某一點x某一時刻t產生或者湮滅的一個粒子，在彎曲時空中某一點參考系看來，是x'處和t'時刻產生或湮滅的粒子，時間和空間的差異是按照兩個參考系之間進行變換后的結果。如果僅僅把引力視為時空彎曲的效應，將量子實驗室參考系和彎曲時空參考系平權，認為在彎曲時空參考系中的量子產生湮滅現象在量子實驗參考系中也滿足這種對應關系，則能利用量子力學的平移算符和彎曲時空的度規張量構造出彎曲時空中的量子場論。

關鍵詞：彎曲時空? 量子場論? 平移算符? 度規張量

中圖分類號：O412.3;O413.4 ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）01（b）-0218-03

Abstract： Set a quantum laboratory in a point at infinity in the curved spacetime， the metric of the point is minkowski metric. The creation and annihilation of quantum in quantum laboratory reference frame can be handled in accordance with the flat space-time quantum field theory， for the same particle‘s creation or annihilation， in another point on the curved spacetime reference frame， to meet the result of the general theory of relativity in time and space expansion or shrinkage. Assume a particle that is created or annihilated at some point x at some time t in quantum lab reference frame， the same particle that is created or annihilated at x and t at some point in the reference frame of in curved spacetime， the difference in time and space is the result of a transformation between two reference frames. If only regard the effect of gravity as bending spacetime， quantum laboratory reference frame and the reference frame of a curved spacetime are equal， we can think quantum phenomena in curved spacetime reference frame also meet this kind of corresponding relation between the reference frames， so we can use the translation of quantum mechanics operator and the metric tensor to structure the quantum field theory in curved spacetime.

Key Words： Curved spacetime; Quantum field theory; Translation operator; The metric tensor

關于彎曲時空中的量子場論介紹，國內比較著名的有北京師范大學劉遼先生所著的《彎曲時空量子場論與量子宇宙學》教材，書中討論的是經典引力場背景下的量子場論，而非量子引力理論。不同于書中通過一個量子物質場的有效作用量[1]將引力場方程和量子物質場聯系起來的方法，文章將引力視為一種純粹的時空彎曲作用，而不將經典引力場與量子場論中的粒子場同等視為一種場，從而避開引力場和量子場之間的矛盾以及引力量子化帶來的種種困難，試圖提出一種關于彎曲時空量子場論的新構想、新觀點。

1? 量子實驗室參考系與彎曲時空參考系（以史瓦西度規為例，文章中的度規均使用國際單位制，而不是自然單位制）

假設一個靜止的球對稱大質量密度天體，該天體的對外部空間的作用結果是空間不再是平直的閔可夫斯基度規，而是史瓦西度規，時空的線元滿足：

在史瓦西時空的無窮遠處設置一個量子實驗室，在量子實驗室中進行相對論性的量子實驗。根據量子場論，相對論性的量子現象會有粒子的產生或者湮滅，粒子數可以不守恒，這是量子場論區別于非相對論量子力學的最大區別[2]。在無窮遠的平直時空中產生或湮滅的某些種類的微觀粒子是具有非零的靜止質量的，比如電子。按廣義相對論的觀點，這些實物粒子可以彎曲時空，產生引力作用，但是，就算有微觀粒子的產生，其帶來的引力作用是可以忽略的，比起電磁、強相互作用和弱相互作用，微觀領域的引力作用也是忽略不計的[3]。那么我們忽略掉產生或湮滅的微觀粒子所帶來的對時空度規的影響，即在量子實驗室參考系里面，量子實驗的結果遵循平直時空的量子場論，即一般的量子場論。

如果我們在量子實驗室里進行實驗，得到的其中一個現象是在t1時刻在r1處湮滅了一個光子，然后又在t2時刻在r2處產生了一個光子，設它們之間是類光間隔，記為事件1。其中t1、r1、t2、r2都是相對于量子實驗室參考系而言的。

而在非無窮遠處（彎曲時空），比如史瓦西空間中的r處，在該處設一個觀測點，以它為參考系，在該參考系中，事件1是在t1'時刻在r1'處湮滅了一個光子，然后又在t2'時刻在處r2'產生了一個光子，由于在平直時空中是類光間隔，那么變換到彎曲時空中依舊是類光間隔[4]。

那么t2-t1與t2'-t1'之間的關系、x2-x1與x2'-x1'之間的關系由什么來決定呢？

2? 彎曲時空的膨脹與收縮

無論在平直時空還是在彎曲時空，光的傳播的間隔（類光間隔）都滿足ds2=0。

以一把尺子自己本身作為參考系，即參考系相對尺子靜止，測得的尺子長度都是尺子的固有長度[5]，是洛倫茲不變量，不會因尺子位置的時空狀態而改變。

如果尺子在平直時空，一束光從一把尺子的一段傳播到另一端，由r1到r2，經過時間t1到t2，徑向傳播，那么：在平直時空中用光測量尺子的固有長度用時t2-t1，在彎曲時空中用光測量尺子的固有長度用時t2'-t1'，光速不變，尺子固有長度一致，由式（6）可知彎曲時空（史瓦西度規）中時間比平直時空較慢。

前面的討論是同一把尺子分別放在平直時空和彎曲時空測量固有長度，由光速不變可得時間膨脹收縮公式（6）式。

接下來是一把尺子放在彎曲時空，在彎曲時空參考系和平直時空參考系兩個系看同一個事件的區別。

將尺子置于彎曲時空中，在尺子的該點參考系測量其固有長度，光的傳播用時t2'-t1'，測量所得的距離（固有長度）c（t2'-t1'）是同時在無窮遠處的平直時空參考系看來，在彎曲時空處光的傳播用時t2-t1，測得的距離（非固有長度）是c（t2-t1），空間膨脹收縮公式：結合時間膨脹收縮公式（6）式和空間膨脹收縮公式（7）式，顯然同一物體的固有長度不會發生改變。

3? 事件1在量子實驗室參考系和彎曲時空參考系的區別

發生在量子實驗室（平直時空）的事件1，在彎曲時空的處觀測點所觀測得到的結果必然滿足時空的收縮。那么相對的，如果事件1是發生在彎曲時空中的觀測點，那么在量子實驗室觀測到的結果也應該滿足時空的膨脹。

也就是說，如果把引力看作一種純粹的時空效應，那么原來在平直時空的量子場論，當變換到彎曲時空時，只需考慮時空的彎曲效應。

從第二點中的討論可以看出，這種時空的彎曲可以直接與度規張量的矩陣元聯系在一起。

以標量粒子為例，原來在量子實驗室的相對論性量子實驗，滿足下面式子的描述（四維形式，愛因斯坦約定求和，此處使用了自然單位制）：

當事件1發生在彎曲時空時，彎曲時空觀測點的結果仍然可以用上述式子描述（類似固有長度，在引力場尺度下忽略實驗室尺寸），位于量子實驗室（平直時空）的觀測結果則要求上述式子所表述的物理結果滿足時空膨脹的結果。

4? 平移算符與膨脹收縮算符

曾謹言先生所著的《量子力學教程（第四版）》中有一個用來描述量子體系坐標平移的算符，被稱為平移算符[6]，如下：。當平移算符作用于波函數（x）時，得。

對算符進行泰勒級數[7]展開，得：

平移算符相當于使原來的波函數的坐標x變為x-a。

以史瓦西度規（球對稱）為例，g00是時間t項的度規矩陣元，g11是r項的度規矩陣元，可以將平移算符改為：

暫時把上式稱為史瓦西膨脹收縮算符，用exp（g）表示。

如果令算符作用后的坐標r，t為r'，t'，那么由，，可得第二點中的時空膨脹收縮公式（6）式和（7）式。

當exp（g）作用于場量（r，t，...）、外源J（r，t，...）兩者和其余的表達式中的時空坐標量r，t時，空間坐標量由r變為，此時再處理出來對應的會得到空間膨脹的結果，時間坐標量由t變為，同理會得到時間膨脹的結果，此時得到的描述結果符合時空效應。不同的度規應該根據時空效應求得對應的膨脹收縮算符，結果的形式與exp（g）是類似的。

假設我們處于弱場或者平直時空中，討論一個處于史瓦西度規強場（彎曲時空）中的相對論性量子實驗（標量粒子），那么在我們看來，描述這個量子實驗的一套數學工具應該是：場量'（x）=exp（g）（x）。外源J'（x）=exp（g）J（x）;其余地方的時空坐標x'=exp（g）x。剩下的式子用上述3類量寫出可保證算符不重復作用，上述式子描述的結果符合時空效應。

5? 觀測者時空和量子實驗時空

再根據第二點的方法計算觀測者時空和量子實驗室時空之間的膨脹收縮關系，得出對應的膨脹收縮算符exp（g實驗室對于g觀），再作用于'（x）和其他各種物理量，則可得到符合觀測者觀測結果的量子場論描述。

6? 結論

如果將引力作用視為純粹的時空彎曲效應，利用時空的度規可得時空之間的膨脹收縮關系，再根據膨脹收縮關系構建膨脹收縮算符（一般使用度規矩陣元表示），算符作用于場量、時空坐標等物理量和式子，即可得到滿足時空效應的量子場論，即彎曲時空中的量子場論。

7? 應用與局限

彎曲時空量子場論不同于量子引力論，是一種具有一定局限性的、出于某些應用和研究目的的廣義相對論和量子場論的融合產物。但一個有效或者說在一定精度上近似有效的彎曲時空量子場論對天體高能粒子物理、實驗室高能粒子對撞機等都有很大的應用，而且啟發人們去探尋宇宙引力現象與微觀粒子現象之間的聯系。

參考文獻

[1] 劉遼，黃超光.彎曲時空量子場論與量子宇宙學[M].北京：科學出版社，2013.

[2] 黃濤.量子場論導論[M].北京：北京大學出版社，2015.

[3] 陸瑞征，羊亞平.四種相互作用的強度之比及其于宇宙結構之間的關系[J].工科物理，1998（3）：39-41.

[4] 劉遼，趙崢.廣義相對論[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

[5] 趙崢，劉文彪.廣義相對論基礎[M].北京：清華大學出版社，2010.

[6] 曾謹言.量子力學教程[M].4版.北京：科學出版社，2014.

[7] 曹廣福，葉瑞芬，趙紅星.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2009.