一種改進的加權最小二乘無網格法

張可庠 高春磊

摘? 要：目前現有的無網格方法因為不依賴網格的劃分，所以在處理一些傳統有限元方法中需要網格重構的問題上具有很大的優勢。在基于Galerkin法建立其的弱勢控制方程需要進行積分，運算量大。該文結合加權最小二乘無網格法，引入具有插值特性的Shephard形函數，推導出一種改進的加權最小二乘無網格法，使其能夠方便地添加本質邊界條件，并且提高了精度。最后編制了程序提供了一個算例驗證該算法。

關鍵詞：加權最小二乘法? Shephard形函數? 無網格法

中圖分類號：TK124 ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）01（b）-0206-04

在處理數值仿真的問題上，無網格方法是用節點對求解域離散，相比有限元法利用單元網格進行離散，在處理自適應分析、大變形和裂紋擴展等在傳統有限元中需要網格重構的問題上，有著靈活有效等優點。最近十多年來，在計算力學界和各相關領域得到了較大的關注和研究[1-2]。

目前現有的無網格方法的分類主要根據其使用的形函數不同進行分類，主要包括[3-8]：滑動最小二乘法（MLS）近似的無網格方法、核函數近似的無網格方法（SPH、RKPM）、點插值近似的無網格方法（PIM、RPIM）、自然鄰接點插值近似的無網格方法（NEM、NNM）。上述方法中，大多數是基于Galerkin法建立弱式的控制方程，需要利用各節點的子域進行積分，由于這些近似函數都不是多項式，因此需要使用高階高斯積分，計算量較大。針對上述問題，清華大學張雄教授提出了一種加權最小二乘法[9]，是利用最小二乘法系統建立變分原理，將控制方程殘差在所有節點上（包括邊界點）予以消除，具有易于編程實現、計算量小、結果穩定等優點。但其使用的形函數是基于最小二乘法建立起來的形函數，不具備有插值特性，在施加本質邊界條件時候使用罰函數法，并不是精確滿足的，因此在計算中容易出現數值振蕩現象[1]。

該文引入一種新發展的無網格Shepard-最小二乘（LMSLS）插值方法[10]，推導出一種改進的加權最小二乘法。新的LMSLS其形函數滿足Kronecker條件，可以直接施加邊界條件，能夠精確滿足，基于這種形函數導出的加權最小二乘法可以克服或者減少數值振蕩現象，提高精度，同時具備傳統加權最小二乘法計算量小、易于編程實現等優點。最后給出算例驗證該方法的有效性。

1? LMSLS插值近似函數

Shepard-最小二乘（LMSLS）插值技術是基于單位分解的概念（Partion of Unity）[11]。由最小二乘形函數的基礎再運用Shepard形函數做加權，使其具有delta屬性及精確再生基函數能力。詳細的推導證明過程相關文獻[10，12，13]中給出了敘述。下面對其推導過程做個簡單的敘述。

如圖1所示，對任意分析區域Ω離散成N個節點。設其中任意節點i的坐標為xi，影響半徑為dmi，節點i的影響范圍內有m個節點，由傳統的MLS形函數方法，得到位移近視函數，以x方向位移u（x）為例，可得如下定義：

上述加權最小二乘法類似文獻[9]傳統的加權最小二乘法的推導，因為其形函數具備Kronecker條件，因此不用罰函數法添加本質邊界條件，可以在邊界條件上直接相等。

3? 計算算例

該文以文獻[1]中加權最小二乘法算例為驗證，比較改進后的加權最小二乘法與傳統的加權最小二乘法做對比。

以一維受線性分布載荷作用桿模型為例，如圖2所示，桿L為單位桿，E=1，v=0.3，求解受線性分布載荷情況下桿的位移與應力。采取均勻分布的11給節點，dmi為0.1。圖3為計算桿的位移與應力結果，該算例的解析表達式為：

計算得出，傳統的加權最小二乘法LuMSL=0.98LuMSL=1.28，而改進的加權最小二乘法LuLMSLS=0.97，LsLMSLS=1.26。由于算例只是一維簡單算例，精確度提高不明顯，但還是有所提高。根據誤差分析原理，可以推導出，再處理二維問題或三維問題，改進的加權最小二乘法精度能得到明顯提高。

4? 結語

針對弱勢無網格法建立起的計算方法計算量大，而配點法雖然計算量下，但精度不高，且數值穩定性不好等缺點，結合傳統的加權最小二乘法，提出了一種改進的加權最小二乘法。通過一維算例驗證，改進的加權最小二乘法精度較傳統的加權最小二乘法高。由于改進方法的形函數是由傳統方法的形函數推導而來，其在程序上實現容易，兼顧了傳統加權最小二乘法計算量小、易于編程實現的優點，同時提高了計算精度。

參考文獻

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