行列式的幾種計算方法

孟楠

摘 ?要：線性代數是大學本科重要的基礎課程，而行列式又是線性代數這門課程的主要內容之一，具有廣泛應用。它是我們線性代數中遇到的最基本問題。每種行列式都有其對應的多種巧解方法，其中行列式的計算，特別是高階行列式的計算是行列式這一章的重點，同時也是難點。因此懂得如何利用行列式特點，巧妙地計算行列式尤為重要。該文針對不同的行列式形式，選擇相對簡單的計算方法，提高解題效率。

關鍵詞：行列式 ?計算方法 ?線性代數

中圖分類號：O17 ? 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）01（c）-0208-02

行列式是代數學中的一個基本概念，它源于求解線性方程組，是一個基本的數學工具。因此，線性代數把行列式列為基本而又重要的內容之一，并把行列式的計算作為線性代數的教學重點，然而直接計算行列式往往是困難和繁瑣的，特別當行列式的元素是字母時就更加明顯， 因此熟練地掌握行列式的計算方法是非常重要的。該文主要分析行列式的特點，總結幾種特殊行列式的計算方法。

1 ?兩個基礎行列式

三角行列式：

2 ?用行列式的性質計算n階行列式

性質1 將行列式轉置，行列式的值不變。

性質2 交換行列式的兩行（列），行列式的值變號。

推論 如果行列式由兩行（列）的對應元素相同，則此行列式的值為零。

性質3 用數k乘行列式的某一行（列），等于以數k乘此行列式。

推論1 如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，則公因子可以提到行列式外面。

推論2 如果行列式有兩行（列）的對應元素成比例，則行列式的值等于零。

性質4 如果將行列式中的某行（列）的每個元素都寫成兩個數的和，則此行列式可以寫成兩個行列式的和，這兩個行列式分別以這兩個數為所在行（列）對應位置的元素，其他位置的元素與原行列式相同。

推論 如果將行列式某一行（列）的每個元素都寫成m個數（m為大于2的整數）的和，則此行列式可以寫成m個行列式的和。

性質5 如果將行列式某一行（列）的所有元素同乘以數k后加于另一行（列）對應位置的元素上，行列式的值不變。

3 ?用行列式展開定理計算n階行列式

定理1 n階行列式D=|aij|等于它的任意一行的各元素與其對應代數余子式乘積的和，即：

D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin（i=1，2，…，n）

或D=a1jA2j+a2jA2j+…+anjAnj（j=1，2，…，n）

定義1 形如Hn=a1Hn-1+a2Hn-2+...+akHn-k，n>k將該式稱為式（1），若a1，a2，…，ak為常數，則（1）稱為常數齊次遞推關系。

若ak≠0，則稱（1）為k級遞推關系，方程xk-a1xk-1-a2xk-2-…-ak=0稱為（1）的特征方程，它的根稱為（1）的特征根。

定理2 設k級遞推關系（1）的特征根λ1，λ2，...λk，則Hn=∑ki=1 ci λni是（1）的解。

（1）展開定理直接應用。

=ah-b（-1）hb·bn-2=an-（-1）hbh

（2）遞推法。

對應的特征多項式為，特征根為a，b。

解得：

4 ?數學歸納法

證明n階行列式：

數學歸納法證明：n=1時D=1+a12成立。

假設n-1階行列式結論成立，那么：

5 ?范德蒙行列式

總而言之，計算行列式的方法很多，不同的行列式對應不同的計算方法，該文只總結了比較常見的幾類行列式，并且給出相應的計算方法，學生遇到以上特點的行列式就能很快地計算出它們的值，此外有一些其他形式的行列式也可以通過變相轉換的方法轉化為這幾種方法來計算。

參考文獻

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