GPS高程擬合方法及精度分析

陸治兵 高波

摘? 要：以GPS測量的大地高為基礎，利用似大地水準面獲得正常高，是一種創新的高程測量方法，而GPS擬合方法是否恰當，擬合后的精度能否滿足要求，直接關系到GPS高程測量方式在實際工程中的應用。通過工程實例研究了多項式擬合、多面函數擬合、克里金插值法等GPS高程擬合方式的差異性。通過對精度分析，得出各種擬合方式的優劣勢，以利于在實際生產中選取合適的擬合方法。

關鍵詞：GPS高程擬合? 多項式擬合? 多面函數? 克里金插值? 精度

中圖分類號：P228 ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）01（b）-0046-05

Abstract： It was an innovative elevation measurement method which obtained Normal Height by using quasi-geoid，based on the GPS geodetic height， but the GPS elevation fitting method and fitting precision of the method was directly related to the application of GPS elevation measurement method in practical projects. The differences of the GPS elevation fitting method such as polynomial fitting， multiple-Surface function fitting， Kriging interpolation method were studied in engineering examples. The superiority and inferiority of the GPS elevation fitting method which helped to choose the optimal fitting method in the actual production was obtained by accuracy analysis.

Key Words： GPS elevation fitting; Polynomial fitting; Multiple-Surfacefunction fitting; Kriging interpolation; Accuracy

全球衛星定位系統（GPS）以其全天候、高精度、自動化、高效益等特點已成功應用于大地測量、工程測量，其在大范圍的高精度測量控制網、城市控制網、工程控制網、測圖控制網中發揮極為重要的作用，逐步撼動著常規測量技術的地地位，這也包括了幾何水準測量。

在不是強制需要正常高的項目中，GPS已能夠利用似大地水準面（確定高程異常）獲得正常高替代水準測量任務完成工程測量或科學研討任務，如地形沉降監測、災害危害分析、道路運輸控制等[1]。如何利用有效控制點布設、恰當的高程擬合方式把GPS大地高轉換為滿足工程需求精度正常高，是大家關注的要點問題。

1? GPS高程擬合方法

在一定的區域中，首先應存在一部分已知正常高的已知點，再采取GPS聯測的方式獲取其大地高，通過相同點的大地高及正常高獲得高程異常。若測區中具有數量足夠多的觀測點，且點位分布均勻，就可根據已測點上的高程異常值構建某種曲面來逼近測區似大地水準面以推算其他待測點的高程異常值，進而獲得正常高。

1.1 多項式法

1.2 多面函數法

基本思想：任何不規則連續曲面，總能用N個有規律曲面的數學表面的集合來疊加逼近表達。

1.3 克里金插值法

克里金插值的原理是概率統計中無偏、最小方差條件。假設在研究區域化變量Z（x），待插值點為x0，樣本點記為xi（i=1，2，…，n），在點xi處的屬性值記為Z（xi），則待插值點x0處的屬性值是各個樣本點屬性值的加權和，記為式（13）。

（13）

其中，λi為待定權系數。

根據無偏條件得到權系數滿足關系式∑ni=1λi=1，方差最小條件能夠得到求解權系數的方程組。

根據克里金插值的原理看出，插值部分分為兩個步驟：第一步為根據對插值點的關系程度確定待插值點周圍的已知點。第二部為獲得克里金方程組，依方程組解算出權重系數值，得到待插值點屬性值。

（1）鄰域搜索有效點。

現有的鄰域搜索方法主要是建立空間橢球體。針對每個待插值點，以它的空間坐標為中心，確定（x，y，z）方向的半徑，以建立一個橢球體。遍歷每個已知點，若已知點落在該橢球體內，將其標識為有效點，否則，放棄該點。建立橢球體的參數主要有：（x，y，z）軸向的半徑以及己知點個數、搜索方向。

空間橢球體3個軸向的半徑主要與變差函數的變程、地質數據特征、已知點分布情況等有關。根據所需己知點個數的多少，橢球體是可以進行動態縮放的，當所需的已知點個數很少時，可以將橢球體進行收縮;當需要較多數量的已知點時，將橢球體放大。

（2）克里金方程組。

2? GPS擬合水準精度評定

GPS擬合水準精度進行評定時，為了盡可能準確的評定GPS擬合成果精度，應盡量布設GPS點與幾何水準進行聯測，確保水準聯測起點覆蓋整個網絡并分布均勻，以便有效的開展外部檢核。

①按照規范要求利用檢核點和己知點之間的距離L（km）求出檢核點擬合殘差的限值，依據限值來評定水準擬合的外符合精度情況。

②以GPS水準測量方式求出GPS點間的正常高程差，在己知點間形成附合或閉合高程導線，并對比分析閉合差與限差，從而評定GPS水準精度。

3? 項目實例

3.1 工程概況

結合工程實例利用一測區已有成果資料對上述GPS擬合水準方法進行分析，論證上述方法的可行性，對不同GPS擬合方法的成果精度進行簡要分析。實例測區地形復雜（見圖1），北部區域地形類別為山區，其高差起伏較大。利用測區C級GPS觀測數據，經約束平差獲得觀測點平面成果，觀測點高程成果為二等水準測量獲得，平面及高程成果數據精度符合本文擬合精度要求。

3.2 實例分析

3.2.1 多項式擬合

測區部分區域為山區，此次多項式擬合方法，分別采用已知點12點和17點分別擬合二次多項式和三次多項式求解轉換參數，多項式擬合模型的內符合和外符合精度統計見表1。

從1表可以看出，選取已知點的數量不同，多項式階數的選取不同，均導致成果精度不一樣。（1）12點擬合比17點擬合的內符合精度高，因為擬合的已知點選取較少，用來約束平差的方程較少;（2）從外符合精度來看，二次多項式精度總體優于三次多項式成果;（3）17點擬合時相對于12點擬合，其內符合精度方面二次多項式變化不大，三次多項式卻顯著降低，但外符合精度基本一樣。結合算例，該區域使用二次多項式擬合精度更高，選取已知點17點時擬合效果更佳。

3.2.2 多面函數擬合

此次多面函數擬合方法分別采用12點和17點構建核函數，經過多次反復試算，最終12點的核函數平滑因子定為1.4×109，17點的核函數模型平滑因子定為1.14×1010，獲得模型的外符合精度見表2。

從表2看出，外符合精度方面17個已知點擬合明顯優于12個已知點擬合，亦優于多項式擬合結果。相對于多項式擬合方法，多面函數擬合的的離散程度更小，精度更高，更接近真值。

3.2.3 克里金插值法

該算例中采用的是普通克里金方法，理論變差函數基本模型分別采用線性模型和高斯模型，分別采用12點和17點擬合實驗變差函數，經過多次反復試算，線性模型和高斯模型分別采用12點和17點擬合的外符合精度統計見表3。

從表3可以看出，采用克里金插值法，理論變差函數基本模型分別采用線性模型和高斯模型，精度相差不大;分別采用12點和17點擬合實驗變差函數，擬合函數模型的外符合精度比采用多面函數模型時精度略有提高。

3.2.4 精度評定

依據規范限差指標要求，利用結合檢核點與最近已知點的路線長，獲得檢核點擬合殘差的限值，與觀測點水準高程成果對比，具體情況見圖2、圖3。

結合表1～表3與圖2、圖3反映的各點擬合精度可以看出以下方面。

（1）采用多項式擬合方法僅能滿足等外水準精度要求，但難以保證滿足四等水準的精度要求。

（2）多面函數擬合方法擬合精度相較多項式擬合有提高，采用17點進行擬合時基本能夠滿足四等水準測量的精度要求。

（3）采用克里金插值法擬合的精度比多面函數有進一步提高，完全可以滿足四等水準測量的精度要求。

3? 結語

該文結合工程案例，對3種GPS高程擬合方法陳國進行對比分析，得到的結論如下。

（1）多項式擬合方法中隨著階數的增加，內符合精度顯著提高，但外符合精度變化不大，因為隨著階數的增加用于約束模型的條件方程會減少。實例中無論是二次和三次多項式擬合方法，其結果均達不到四等水準的精度要求，但可以達到普通水準測量精度要求。

（2）地形復雜的測區可優先選用多面函數擬合法，能反映出測區內部的高低地形變化程度。但是其無法提取直接確定合適的光滑因子制約了其效率，要通過試驗才能獲得比較理想的光滑因子。選用相同的擬合點的核函數，光滑因子越大有利于擬合效果的改善，但并不是光滑因子無限大，擬合的殘差就趨近于零，當超過某極限值時，擬合殘差反而會增大。隨著擬合點的不同和核函數的不同，最佳擬合的光滑因子的值也是不同的。該文中選用17個點進行多面函數擬合時，基本可以達到四等水準測量的精度要求。

（3）克里金插值法函數模型相對于傳統的、單純的函數模型，在理論上更為完善嚴密，也改善了高程擬合的精度，該例中用12點和17點擬合精度穩定，都能達到四等水準測量精度的要求。

（4）選用合適的GPS/水準擬合模型對GPS高程進行處理，其高程精度能滿足等外水準測量的精度指標，甚至可以達到四等水準測量精度要求。

參考文獻

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