淺談高中數(shù)學(xué)課堂建模核心素養(yǎng)的滲透與思考
——基于《停車距離問題》教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)的重要成員，是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。生活中有很多問題都需要通過數(shù)學(xué)建模來解決，其具有廣泛性，所以2019年浙江省的優(yōu)質(zhì)課評比就定為數(shù)學(xué)建模課。筆者有幸參加了縣級的教學(xué)評比，在備課和上課過程中產(chǎn)生了一些粗淺的想法，現(xiàn)總結(jié)如下。

一、教學(xué)過程

隨著人們生活水平不斷提高，私家車越來越多，高速上交通事故也不斷攀升，其中追尾事故造成的急損失占了六成。

情境引入：觀看一些追尾事故視頻。

問題1：通過視頻同學(xué)們有什么感想(汽車在行駛過程中如何能避免或減少追尾事故的發(fā)生)？預(yù)設(shè)：保持安全距離。安全距離是一個籠統(tǒng)的概念，主要是研究在遇到緊急情況時，司機(jī)采取急剎車正好能夠安全地把車停下的距離，是最小安全行車距離。該問題旨在引導(dǎo)學(xué)生得到安全距離和停車距離的概念。教師揭示課題：最小安全行車距離就是我們今天研究的課題——《停車距離》。

問題2：汽車的停車距離有哪些影響因素？預(yù)設(shè)：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)影響因素有：行駛速度、反應(yīng)時間、車子的剎車性能、道路狀況、天氣狀況等，當(dāng)然還有一些沒有考慮到的因素。

問題3：影響停車距離的因素很多，我們很難也不可能都去研究，所以我們要抓住可控的主要因素進(jìn)行研究，那么其主要因素有哪些？預(yù)設(shè)：師生共同討論得到，其主要因素是行駛速度和反應(yīng)時間，故可對其他影響因素作合理的理想假設(shè)：假設(shè)汽車制動性能正常，道路、氣候正常；假設(shè)汽車在平直的道路上行駛，沒有超載；假設(shè)汽車類型、輪胎類型相同；假設(shè)駕駛員精神狀況良好等，對學(xué)生實(shí)際問題分析能力的培養(yǎng)進(jìn)行了很好的滲透。

問題4：主要因素中行駛速度和反應(yīng)時間是如何影響停車距離的？預(yù)設(shè)：引導(dǎo)學(xué)生想象汽車遇到緊急情況剎車的整個過程，直觀感受整個制動過程，可以分解為兩個部分，第一部分是汽車在反應(yīng)時間里行駛的距離，稱為“反應(yīng)距離”記為d1，其和行駛速度和反應(yīng)時間都成正相關(guān)關(guān)系；第二部分是汽車在制動過程所行駛的距離，稱為“制動距離”記為d2，和速度成正相關(guān)關(guān)系。這里對直觀想象素養(yǎng)進(jìn)行了滲透。教師：這樣我們就建立了停車距離的數(shù)學(xué)模型：停車距離=反應(yīng)距離+制動距離，即：d=d1+d2，這樣就把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并建立模型，很好地滲透了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

問題5：從定性的角度分析主要因素，反應(yīng)時間和行駛速度與停車距離存在的關(guān)系，得出這個模型的較具體表達(dá)式。預(yù)設(shè)：學(xué)生易得出反應(yīng)距離等于反應(yīng)時間乘以行駛速度，即d1=t·v，對于制動距離的表達(dá)式是本節(jié)課的難點(diǎn)，可能不易得到，需要教師引導(dǎo)，可以從物理角度分析。通過引導(dǎo)后，學(xué)生可以從能量守恒和牛頓第二定律推導(dǎo)出表達(dá)式，也可以從汽車制動過程做勻減速運(yùn)動利用物理v-t圖像求位移公式得到。教師引導(dǎo)學(xué)生得到d1d2更具體的表達(dá)式：d1=k·t·v=a·v，，于是得出模型的參數(shù)表達(dá)式d=α·v+β·v2，數(shù)學(xué)建模思想和素養(yǎng)進(jìn)一步得到體現(xiàn)和滲透。

在行車過程中，速度是可以知道的，若要計(jì)算出對應(yīng)的安全距離就要確定模型表達(dá)式中的兩個參數(shù)，一般參數(shù)不能通過理論計(jì)算得到，因?yàn)樵跇?gòu)建模型的過程中有許多因素很難考慮清楚，所以就需要通過現(xiàn)實(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算和估計(jì)得到。下面是美國公路局公布的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

問題6：如何通過所給的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定參數(shù)？預(yù)設(shè)：學(xué)生通過比例關(guān)系d1=α·v和d2=β·v2得到，利用Excel辦公軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算能力，落實(shí)其數(shù)學(xué)運(yùn)算和建模核心素養(yǎng)。經(jīng)過表格數(shù)據(jù)處理，取參數(shù)計(jì)算值的平均值來估計(jì)參數(shù)值，于是得到了停車距離模擬模型的函數(shù)表達(dá)式：d=0.21v+0.0057v2，在師生共同努力下有了一定成果，學(xué)生感受到成功的喜悅，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)有了較全面的滲透。

問題7：這個模型d=0.21v+0.0057v2需不需要進(jìn)行檢驗(yàn)？預(yù)設(shè)：通過Excel 辦公軟件計(jì)算模型模擬預(yù)測值，學(xué)生通過觀察實(shí)際測量值與模擬預(yù)測值可以得到基本符合，這個模型的參數(shù)來源與實(shí)際，可以經(jīng)受實(shí)踐的檢驗(yàn)。

經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，在速度較快的情況下預(yù)測值要小于實(shí)際值，這可能和一些我們沒有考慮到的因素有關(guān)。在高速上，限行速度是50km/h-110km/h，很多時候平均速度是100km/h，所以對于這個模型還需進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后的模型可以是d=0.21v+0.0057v2(0≤v≤90)，d=0.21v+0.0057v2+4(90 ≤v≤110)，接 下來這個急剎車的停車距離函數(shù)模型可普遍應(yīng)用于汽車剎車設(shè)計(jì)和路面交通管制。通過這個函數(shù)模型可以計(jì)算出汽車各個行駛速度的停車距離，對實(shí)際行車過程中與前車的安全距離具有重要的參考意義。

至此，師生共同實(shí)現(xiàn)了重難點(diǎn)突破，學(xué)生在課堂中經(jīng)歷了整個建模過程，體會到了數(shù)學(xué)建模核心，使得數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)得到滲透。

二、教學(xué)反思

本節(jié)主要通過參考數(shù)學(xué)建模課的五個過程進(jìn)行備課和教學(xué)以及滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，尤其是數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。第一步是發(fā)現(xiàn)和提出問題，引導(dǎo)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；第二步是對實(shí)際問題有了較深理解后，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型；第三步是利用所學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法求解模型；第四步是通過大量實(shí)際數(shù)據(jù)去檢驗(yàn)所得模型，使學(xué)生感知實(shí)際數(shù)據(jù)和模擬模型數(shù)據(jù)的微小差距；最后是通過實(shí)際數(shù)據(jù)和模擬模型數(shù)據(jù)比對找到差距和聯(lián)系，然后進(jìn)一步去完善模型。全面落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維分析世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。