利用基本不等式求函數(shù)最值

吳海英

摘要：求函數(shù)的最值問題是一類常見的高考題型，而運(yùn)用基本不等式解決函數(shù)的最值問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中求最值的常見方法，成為高考數(shù)學(xué)的難點(diǎn)和熱點(diǎn)問題。因此，本文從運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最值方面進(jìn)行了闡述，借助消元、換元以及配湊等靈活的函數(shù)變形方法，構(gòu)造出滿足基本不等式的最值條件，從而運(yùn)用基本不等式及其變形公式求函數(shù)的最值，使得解題過程簡(jiǎn)潔明了。

關(guān)鍵詞：基本不等式；函數(shù)最值；消元；換元；變形

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2020）09-0156

基本不等式的應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，自然也成為高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)。縱觀近幾年的高考試卷，基本不等式都是必考考點(diǎn)，并且涉及基本不等式的內(nèi)容都側(cè)重于對(duì)考生能力的考查，這就要求考生不僅能夠直接運(yùn)用基本不等式求解，還需要掌握運(yùn)用消元、換元以及配湊等方法將式子進(jìn)行適當(dāng)變形，構(gòu)造出利用基本不等式的條件，然后運(yùn)用基本不等式來求解。

運(yùn)用基本不等式求函數(shù)最值的三個(gè)必要條件是“一正、二定、三相等”。在具體的題目中，“正數(shù)”條件大多可以從題干中找到，“相等”條件同樣比較容易確定，而往往是“定值”條件難以解決。它需要解題者有熟練的解題能力和變形技巧。通常，當(dāng)積為定值時(shí)，和有最小值；當(dāng)和為定值時(shí)，積有最大值。因此，在求和的最小值時(shí)，就要想到把積湊成定值，在求積的最大值時(shí)，要想到把和湊成定值。筆者根據(jù)自身的數(shù)學(xué)解題和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從一元函數(shù)求最值、二元函數(shù)求最值和多元函數(shù)求最值的角度，將基本不等式在函數(shù)最值中的應(yīng)用舉例如下。

一、一元函數(shù)求最值

一元函數(shù)的最值問題作為高中數(shù)學(xué)最值問題的基礎(chǔ)，一般出現(xiàn)在填空和選擇題中。求解一元函數(shù)的最值問題，通常需要運(yùn)用簡(jiǎn)單的消元、換元等方法，構(gòu)造基本不等式的條件，從而求解函數(shù)的最值。

高考復(fù)習(xí)的時(shí)候需要訓(xùn)練考生掌握和靈活運(yùn)用基本方法，這樣才可以順利地將復(fù)雜的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的函數(shù)問題。同時(shí)，教師還應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生從陌生的數(shù)學(xué)問題中分離出熟悉的函數(shù)最值問題，能夠做到舉一反三、觸類旁通，這樣才可以幫助學(xué)生快速找到解決的辦法，使學(xué)生對(duì)該類數(shù)學(xué)問題有更深入的認(rèn)識(shí)。

（作者單位：浙江省龍游縣第二高級(jí)中學(xué)324400）