寓學于樂?融數于趣

張偉

摘要：小學階段以探究活動為主要特點的“探索規律”課，是學生可以在數學活動中探尋數學問題，在實際操作中發展數學能力的學習活動。其教學路徑有：喚醒與激活，讓學生自主參與到數學探究活動中去;引導與啟發，讓學生始終處于探究與思考的學習狀態;啟智與做中學，讓學生達成寓學于樂、融數于趣的學習體驗。

關鍵詞：探究學習;數學活動;做中學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2020）12B-0052-04

作為小學數學課程的重要組成部分，“探索規律”課設置的目的在于使學生在探索規律、發現規律和表達規律的過程中，感受數學抽象的意義，培養比較、分析、推理的能力，發展問題意識和創新意識，積累數學活動經驗，是一類以探究問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。“釘子板上的多邊形”是小學數學蘇教版五年級上冊一節典型的“探索規律”課，其教學目標是讓學生探索并發現釘子板上圍成的多邊形面積，與圍成的多邊形邊上的釘子數及多邊形內部的釘子數之間的規律，并嘗試用含有字母的式子表示出幾者間的關系。在此過程中，學生經歷觀察、操作、實驗等探究活動，發展歸納、概括、抽象、建模的能力，促進問題意識與創新意識的養成。

教學實際中，不少同學對用釘子數來求解多邊形面積的方法掌握得不好，對研究過程及方法由來不甚了解。究其原因，我們發現教材編寫者意圖讓學生通過開展數學活動探究出釘子數與多邊形面積之間的關系，但是編排時比較刻板，先圍繞圖形內只有1枚釘子的情況來開展探索，然后又組織學生探究圖形內只有2枚釘子的情況，最后讓學生思考“如果多邊形內有3枚、4枚……釘子，它的面積與它邊上的釘子數的關系怎么變化？”，每次都是先讓學生在組內說想法，再動手探究。整個教學設計環節過多，用時過長，且存在重復探究現象。幾個探究活動看似開放，但執行起來還是按照線性流程執行，學生難免會感到興味索然，疲于配合。如何改變以上現狀，讓學生真正參與到探索規律的活動中去呢？

一、注重喚醒與激活，讓學生自主參與到數學探究活動中去

小學階段的學生葆有兒童特有的童真童趣，平時就十分喜愛參與游戲活動。課始，教師可以組織師生間開展輕松談話，喚醒學生已有經歷與經驗，從而更好地對接新知。比如本課可以先與孩子交流有無玩過釘子板，再組織學生實際動手操作，利用釘子板開展圍圖數學游戲活動，在釘子板上圍出不同的多邊形來（如圖1）。緊接著，告知學生在數學上可以用格點圖（如圖2）的形式來代替釘子板，在格點圖上可以繼續玩圍多邊形的游戲，指導學生嘗試在格點圖上用鉛筆和直尺畫出幾個多邊形。接著，選取一些玩游戲時格點圖上出現過的多邊形，組織學生計算各圖形的面積（如圖3）。師生交流發現各圖形的面積，既可以借助底、高、邊長等條件，通過“計算”求出來，也可以結合格點圖，通過“數方格”得出結果。

這樣的設計，在調動學生參與熱情的同時，不知不覺中抽象出格點圖，很自然地過渡到如何用數學的方法去解決游戲中出現的數學問題，學生易于理解、樂于嘗試，也為進一步的探究活動積累了豐富的操作經驗。

二、注重引導與啟發，讓學生始終處于探究與思考的學習狀態

數學規律具有抽象性，往往都比較隱蔽，藏在眾多現象與復雜情境中。只有經過主觀上的有意注意才會關注到規律（即共性）的存在，經過思考還會發現數學規律也有局限性。如本課中多邊形內部釘子數不同時，蘊含的規律也存在著不同。學生在進行探究時，教師應注重啟迪引導，讓學生合理分類、適時聚焦，將研究的關注點放到簡單易探究的問題上來。通過充分的探究、師生的交流，培養學生掌握探究問題的一般方法，并鼓勵學生以自主、合作、開放的姿態，投入到其他類具有挑戰性的問題研究中去，讓學生始終處于探究與思考的學習狀態。

當學生掌握用“計算”“數方格”的方法求多邊形面積后，教師在格點圖上出示更多的多邊形（如圖4），啟發學生換個角度思考：“多邊形面積大小還可能和什么有關？”學生通過積極討論后得出了“多邊形的面積可能與多邊形邊上以及里面的釘子數有關”的結論，從而進一步明晰了探索、研究的方向。

接著，教師組織學生運用合理的方法得出格點圖上7個多邊形的面積，填寫1號研究單，得到表1中的數據。

教師進一步引導學生發現釘子數與面積之間的規律：①、②、③、④號多邊形的面積都等于邊上釘子數除以2，兩者在數值上存在兩倍的關系。但是這樣的規律在⑤、⑥、⑦號多邊形上卻不存在。通過觀察與比較，學生發現①、②、③、④號多邊形之間存在著共性，即內部只有1枚釘子。在此情況下，教師啟發學生猜想：多邊形內部只有1枚釘子時，多邊形面積等于邊上釘子數除以2，并繼續引導學生小心求證，通過舉例驗證來判斷這個猜想正確與否，且鼓勵學生積極尋找反例。最終，學生得出了這樣的結論：當多邊形的內部只有1枚釘子，多邊形面積等于邊上釘子數除以2。教師進一步鼓勵學生嘗試運用符號來進行表征，初建模型。用 S 表示多邊形的面積，n表示多邊形邊上的釘子數，這個規律可以表示為S=n÷2。

當學生完成以上探究后，他們自然對多邊形內部有 0 枚、2 枚、3 枚、4 枚……釘子數的情況產生了濃濃的探究欲望。此時，回顧探究過程，交流探究方法，能更好地幫助學生建立認知，掌握自主操作探究的方法。具體的探究方法為：①確定好一類研究對象（即內部釘子數相同的多邊形）;②“算出”或“數出”多邊形的面積、邊上釘子數、內部釘子數;③通過觀察歸納，形成“猜想”，再任意舉例“驗證”猜想，嘗試尋找有無反例;④用字母式來表示探索出的規律。接著，教師出示 2 號研究單及活動要求，再次組織學生進行自主探究活動。全班交流時，學生匯報展示各組數據，并揭示各組發現的規律（用字母式表達），整理出表2。最終，學生通過對表格中數據的觀察與比較，發現多邊形面積與邊上釘子數與內部釘子數均存在著一定的規律。當用字母a表示邊內的釘子數時，可以歸納概括出更具普適性的規律：S= n÷2+a-1。

三、注重啟智與做中學，讓學生達成寓學于樂、融數于趣的學習體驗

陳省身曾經提過“數學好玩”這樣的觀點，但在平時的教學過程中，學生哪能輕易體會到數學好玩呢？不僅不好玩，而且學得累得很。從學科特點來說，數學知識是比較抽象的，具有高度的概括性，不像其他學科知識那樣形象、生動、直觀，學生在學習數學時常常會感覺到枯燥、無味、無趣。所以，教師在進行教學設計時，要努力讓學生親近數學，走進數學。作為探索規律課，教學時應該特別注重在實際操作中幫助學生體會方法，體悟思辨，通過猜想、實驗、計算、推理、驗證等探究活動，讓學生結合學具材料，手、腦、口并用，豐富寓學于樂、融數于趣的學習體驗。

1.寓學于樂，以玩啟智

著名心理學家皮亞杰提出，兒童需要游戲，游戲可以幫助他們解決與外部世界的沖突。以數學活動為主要特點的探索規律課就應該讓兒童在游戲玩耍中探尋數學問題，可以自己算一算、數一數，也可以相互猜一猜、說一說，共同畫一畫、填一填等。要讓兒童運用多種學習方式參與活動、參與探究，讓學生在習得知識技能的同時，感悟數學思想方法，發展數學思維能力。本課中的釘子板學生平時就接觸過，并不陌生，有時學生還把釘子板作為玩具來玩，拼出自己喜歡的各種圖案來。教師從釘子板引入格點圖，再在格點圖上研究多邊形面積，學生自然進入了類似游戲活動的情境。在此情境下研究平面圖形的面積，既有趣，又有挑戰性。學生們可以利用格點圖，先得出多邊形的邊長，再借助面積計算公式“算”出面積;也可以利用格點圍成的面積單位“數”出面積。相對而言，“數”的方法會更快捷一些，并且更有趣味一點，尤其是不滿格部分的面積有時還存在著多樣化的數法。接著，教師啟發學生思考多邊形的面積還可能與什么有關，讓學生大膽猜測，將思考點放在多邊形邊上及里面的釘子數上，而數釘子的枚數、算圖形的面積，這些都是學生喜歡做、能夠做的事情，他們會樂意參與這樣類似游戲的活動。在此過程中，教師要適時引導學生在游戲活動中開展數學思考：“我們有什么發現？”“這個發現一直存在嗎？”“分分類，發現這一規律存在于哪幾個多邊形中？”“你有什么猜想？”“如何驗證？”這些問題的思考會促使學生逐步將注意力從游戲的趣味性轉向對規律的探究上來，進而感受到玩中有智，學中有樂，體驗到數學規律的探究是大有乾坤、精彩紛呈的。

2.融數于趣，在做中學

2011年版的數學課程標準倡導通過動手實踐、自主探索、合作交流來開展學習，這與著名教育家杜威先生提出的“做中學”的理念不謀而合。“釘子板上的多邊形”教學之前，學生已經較好地形成了面積概念，掌握了常用面積單位，能計算簡單的平面圖形面積。但是，在釘子板上圍出來的圖形比較有趣，大多數不是規則圖形，也不是簡單圖形，求它們的面積沒有現成的方法可以使用，得出圖形的面積比較難。學生不會輕易想到圍成的多邊形面積與邊上的釘子數、里面的釘子數之間的關系，并且用高度抽象的含有字母的式子表達這種關系，也是有難度的。也正是因為這些“趣”與“難”，有助于體現動手操作活動的教育價值，通過“做中學”，培養學生的探索精神與實踐能力，發展學生的數學思考能力。

在探究多邊形面積規律的過程中，動手操作始終發揮著重要的作用，引領著學生充分經歷觀察、計算、猜測、歸納、驗證等思維活動，形成了開放、多元、合作的課堂研究氛圍。借助實際操作要求，在初步掌握探究圖形內部只有1枚釘子的規律后，每一組都自主選擇了一類喜歡探究的情況，組內每一位學生都經歷了完整的研究過程，較好地掌握了規律探究中特有的“先猜想，再驗證”的研究方法，為后期持續學習與研究打下了基礎。不管是分組探究，還是大組交流，都會產生一組組實驗操作的數據，在繁雜的數據里觀察、思考、發現，成了尋找規律的有效途徑，也成了數學探究的樂趣源泉。同時，小組的分類探究與大組的分享匯報也幫助學生積累了更多數學活動的基本經驗。這里的經驗既有外顯的操作經驗，如畫一畫、算一算、數一數，也有內隱的思維經驗，如猜想驗證、聯想類比、建立模型等。從中不難看出，開放民主的教學理念、精心巧妙的教學設計、廣泛參與的學生狀態、適時恰當的教學引領是組織好學生動手實踐、從做中學的關鍵。

責任編輯：丁偉紅

Abstract： The “exploratory law” class with inquiry activities as the main feature at the elementary school level is a learning activity where students can explore mathematical problems in mathematical activities and develop their mathematical abilities in practical operations. The teaching path includes： awakening and activation， allowing students to participate in mathematics inquiry activities independently; guiding and enlightening， so that students are always in a learning state of inquiry and thinking; enlightenment and learning by doing， so that students can achieve an interesting learning experience with learning integrated with enjoyment.

Key words： inquiry learning; mathematical activities; learning by doing