基于量子催化的離散調制連續變量量子密鑰分發*

葉煒 郭迎? 夏瑩 鐘海 張歡 丁建枝 胡利云?

1) (中南大學計算機學院, 長沙 410083)

2) (江西師范大學量子科學與技術中心, 南昌 330022)

(2019 年 11 月 4 日收到; 2019 年 11 月 30 日收到修改稿)

相比于離散變量量子密鑰分發, 連續變量量子密鑰分發雖然具備更高的安全碼率等優勢, 但是在安全傳輸距離上卻略有不足. 盡管量子催化的運用對高斯調制連續變量量子密鑰分發協議的性能, 尤其在安全傳輸距離方面有著顯著的提升, 然而能否用來改善離散調制協議的性能卻仍然未知. 鑒于上述分析, 本文提出了一種基于量子催化的離散調制協議的方案, 試圖在安全密鑰率、安全傳輸距離和最大可容忍過噪聲方面進一步提升協議性能. 研究結果表明, 在相同參數下, 當優化量子催化引入的透射率T, 相比于原始四態調制協議,所提方案能夠有效地提升量子密鑰分發的性能. 特別是, 對于可容忍過噪聲為0.002, 量子催化可將安全通信距離突破 300 km, 密鑰率為 10–8 bits/pulse, 而過大的可容忍噪聲會抑制量子催化對協議性能的改善效果. 此外, 為了彰顯量子催化的優勢, 本文給出了點對點量子通信的最終極限Pirandola-Laurenza-Ottaviani-Banchi邊界, 仿真結果表明, 雖然原始方案與所提方案都未能突破這種邊界, 但是相比于前者, 后者能夠在遠距離通信上逼近于這種邊界, 這為實現全球量子安全通信的最終目標提供理論依據.

1 引 言

量子密鑰分發[1?4]旨在通過不安全信道建立起合法通信雙方的密鑰, 它的無條件安全源于海森伯不確定性關系和不可克隆原理, 使得它在商業金融、國防軍事、外交通信等安全領域發揮著重要作用. 近幾十年來, 量子密鑰分發在量子信息領域中蓬勃發展, 它主要分為兩大類: 離散變量量子密鑰分發[1,2]和連續變量量子密鑰分發[3,4]. 對于離散變量量子密鑰分發, 單光子極化被常用來傳輸密鑰比特信息, 使得它具有長距離安全通信的特征. 但是單光子探測器的使用造成了離散變量量子密鑰分發的密鑰率相對較低. 不同于前者, 在連續變量量子密鑰分發中, 信息被發送端Alice編碼到相干態或壓縮態的正則坐標和正則動量上, 經信道傳輸后, 接收端Bob通過相干探測進行信息的解碼. 雖然連續變量量子密鑰分發具有高密鑰率和易與傳統光纖技術相容等優勢, 但它的通信距離仍然存在局限性. 例如, 2002 年 Grosshans 和 Grangier[5]提出的高斯調制“GG02”協議. 該協議雖然采用常見的相干態進行信息的編碼, 使得它具有很好的實用價值, 但是其傳輸距離不超過 15 km. 同年, Silberhorn等[6]采用的逆向協商協議打破了這種安全距離的局限性, 進一步提升了該協議的實用性. 2007年, Lodewyck等[7]實驗上報道了在全光纖連續變量系統下, 量子密鑰在25 km的分布情況. 因此,如何有效地提升量子密鑰分發性能, 尤其是安全通信距離, 成為了連續變量量子通信的前沿熱點之一.

為了實現長距離安全通信的目標, 人們提出了兩種解決方案. 一種解決方案是通過引入非高斯操作[8?10]來提高量子態的抗噪能力, 使得信息保持穩定傳輸; 另一種方案則是采用離散調制協議[11?14],如四態協議、八態協議等. 例如, 2013年Huang等[15]將光子扣除操作運用到連續變量量子密鑰分發系統. 研究表明, 這種操作的使用能夠顯著地提高安全傳輸距離和最大可容忍過噪聲. 尤其是, 單光子扣除情況對協議性能改善最為明顯. 不幸的是, 光子扣除操作需要多光子探測器, 加大了實驗操作的復雜性. 為了解決這個問題, 2016 年 Li等[16]指出了光子扣除操作可等效于一種虛擬后處理方案. 此外, 除了單路協議外, 光子扣除操作在雙路協議[17]、測量設備無關協議[18]發揮著顯著的性能優勢. 另一方面, 由于存在一種對離散值甚至低信噪比都具有高效率的糾錯碼, 離散調制協議可以極大地提高安全距離[11,12]. 在安全性分析方面, 該協議也對應于低調制方差的高斯調制的連續變量量子密鑰分發協議[13,14]. 最近, Liao 等[19]將光子扣除操作運用于四態離散調制協議進一步提升量子密鑰分發的性能. 盡管光子扣除有上述優勢, 但是在優化調制方差的情況下, 執行減光子操作的成功概率卻低于0.25, 這使得它在提升量子密鑰分發性能方面也存在某種缺陷[20]. 為了克服這種缺陷, 量子催化操作[21,22]是一種可行的和較為成功的方案. 在催化過程中, 輔助模的光子似乎看起來沒有變化, 但是卻能夠促進主通道模之間的量子態轉換, 從而避免了通信雙方的信息量丟失. 最近, 這種量子催化被應用于傳統的高斯調制協議[20,23]. 特別是, 在零光子催化的情況下, 它不僅能展現出較高的成功概率, 還能在連續變量量子密鑰分發性能上優于光子扣除操作的情況.

基于量子催化的使用優勢, 本文提出了一種離散調制連續變量量子密鑰分發方案, 主要關注量子催化用來改善離散調制協議的性能. 具體安排如下: 第2節闡述離散調制協議和量子催化, 其一是簡要回顧離散調制協議的糾纏模型, 同時給出四態協議在集體攻擊下的漸近密鑰率, 其二是將量子催化運用于離散調制協議中, 導出零光子催化對輸入-輸出量子態之間的作用; 第3節詳細地討論和分析不同參數下量子催化對離散調制協議的性能影響; 最后, 第4節是本文的主要結論.

2 離散調制協議和量子催化

首先從糾纏型的視角來回顧離散調制協議, 尤其是傳統的四態調制協議, 同時給出該協議在集體攻擊下的漸近密鑰率計算. 隨后, 將量子催化運用于離散調制協議中, 具體地分析零光子催化對信息載體的貢獻, 并導出量子態輸入-輸出的關系.

2.1 四態調制協議

在標準的制備-測量型四態調制協議中, Alice通過采用高斯調制器制備和調制出一個四進制的相 干 態并且通過高斯信道發送給Bob. 當Bob接收量子態后, 對其正交分量(x和p)進行零差探測或者外差探測. 最后, 經過經典后處理,Alice和Bob共享一串密鑰.

雖然制備-測量型協議易于實際操作, 但是在安全性能分析方面卻顯得無能為力. 為此, Leverrier和Grangier[11]提出了一種糾纏型四態調制協議,正如圖1所示. Alice制備一種雙模糾纏態對A模進行投影測量則將待發送的量子態塌縮到相應的態上, 經高斯信道傳輸給Bob進行零差探測(信道參數: 透射率h和可容忍過噪聲x). 利用 Schmidt分解, Alice所制備的糾纏態可表示為

其中

圖1 糾纏型的零光子催化四態調制協議原理圖Fig. 1. Schematic diagram of the entanglement-based (EB) model of the four-state modulation protocol using a zero-photon catalysis.

對于任意的量子密鑰分發協議, 安全性是衡量其性能優越性的重要體現. 這種糾纏型四態調制協議通過Alice和Bob未做測量前構建的協方差矩陣為安全性證明提供了便捷. 在上述情況下, Alice所制備糾纏態的協方差矩陣可表示為

其中h表示信道的透射率,表示高斯信道引入的過噪聲.

2.2 安全密鑰率

為了獲取四態調制協議的安全碼率, 這里首先假設敵手Eve采取集體攻擊, 且Alice和Bob使用逆向協商(協商效率為b). 因此, 密鑰率可表示為

實際上, Bob采取的零差探測對于密鑰率有著顯著的影響. 由 (5)式可知, 對于零差探測, Alice和Bob之間的Shannon互信息分別表示為

其中

圖2 和 隨調制方差 V 的變化Fig. 2. Both and as a function of the modulation variance V.

2.3 量子催化的離散調制協議

將量子催化(淺綠色框)運用于四態調制協議,如圖1所示. 值得注意的是, 為了減少發送端Alice的實驗器材成本, 量子催化操作受不可信任方 Charlie操控. 此外, 為了便于安全性分析, 這里假設Eve意識到Charlie的存在. 量子催化的概念首次被文獻[22]提出. 例如, 對于零光子催化過程,輔助模C的輸入端口注入零光子, 經過透射率為T的分束器后, 開關探測器在輸出端口僅探測零光子. 注意, 開關光子探測器的無響應意味著探測到零光子. 于是, 輸入的真空態在輔助模C與模B的待輸入量子態進行分束器干涉; 隨后, 開關光子探測器在模C的輸出端進行無響應探測.可見, 盡管在輔助模輸入端輸入真空態, 輸出端探測真空態, 看上去模C沒有變化, 但是這種催化效果確實能夠促進輸入-輸出的量子態之間的轉換.為了表述量子態輸入-輸出的關系, 這里引入一種量子催化等效算符:

關于更詳細的量子催化等效算符的推導可參考文獻 [9, 20, 21, 23]. 因此, 輸入-輸出量子態的關系式可表示為

其中

根據(13)式可知, 經過零光子催化后, 量子態的振幅變化關系可寫成因此, 只要將2.2節的符號“a”替換成“特別注意的是, 當T= 1,輸出態簡化成輸入態形式, 即這暗示著不存在任何量子催化效應. 此外, 由于執行零光子催化是一種概率性事件, 使得相應的密鑰率公式應改寫成:

圖3 對于不同的調制方差V下量子催化的成功概率隨透射率T的變化(圖中從上往下的虛線分別表示V =1.2, 1.3, 1.4, 1.5)Fig. 3. Success probability of implementing such a zerophoton catalysis as a function of the transmittance T for several different V. The dashed lines from bottom to top correspond to V = 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, respectively.

3 性能分析與討論

一般而言, 量子密鑰分發協議的性能評估有3個重要指標: 安全密鑰率 (secret key rate)、最大安全傳輸距離(transmission distance)以及最大可容忍過噪聲 (tolerable excess noise). 本文基于以上3個指標對所提的協議進行性能分析和討論.

由圖2可知, 在離散調制協議下, 調制方差V需控制在范圍內該方案才能與高斯調制的連續變量量子密鑰分發協議等價, 這使得求解 Holevo信息問題大大簡化. 在信道損耗為0.2 dB/km 下, 假設對于不同的調制方差V= 1.2, 1.3, 1.4, 當優化透射率T,圖4(a)為基于量子催化的四態協議在不同距離下的安全碼率. 圖中黑色線為原始四態協議(original four-state modulation protocol, original protocol).當調制方差取某些值(如1.3, 1.4), 本文的零光子催化四態協議 (zero-photon catalysis-based fourstate modulation protocol, ZPC protocol)能夠在最大安全傳輸距離及安全密鑰率性能方面優于原始四態協議. 這是源于零光子催化實際是一種無噪衰減過程, 而無噪聲衰減已在參考文獻[24]證實了可以提升量子密鑰分發系統的性能. 另一方面, 通過優化量子催化引入的透射率T來調控和獲取最優調制方差, 使得進一步提高量子密鑰分發協議的性能. 同時, 這里也給出了透射率T在不同距離下的曲線圖, 如圖4(b)所示. 值得注意的是, 當T= 1時, 不存在任何量子催化效果. 正是如此, 一方面,導致了在短距離安全通信下, 本方案與原始方案的性能保持一致. 另一方面, 如圖4(a)所示, 這也使得對于V= 1.2的所提方案(藍色虛線)與原始方案(黑色實線)的性能曲線重合. 這意味當調制方差低于某個值, 量子催化不能用來提高離散調制協議的性能. 此外, 從圖4(a)可知, 對于原始四態協議(黑色線)而言, 調制方差的減小, 可以提高安全傳輸距離. 有趣的是, 量子催化的引入可進一步提升原始四態協議的安全傳輸距離.

圖4 離散調制量子密鑰分發系統的性能比較(a) 固定參數 β =0.95,ξ=0.005下, 當優化透射率 T 時, 密鑰率在不同調制方差隨傳輸距離的變化; (b) 對應 (a) 情況下, 透射率T隨傳輸距離的變化Fig. 4. Comparison of the performances between the original protocol and the ZPC-based four-state modulation protocol: (a) At a fixed β =0.95,ξ=0.005 , the secret key rate as a function of the transmission distance with different V = 1.2, 1.3, 1.4, when optimized over the transmittance T; (b) the transmittance T as a function of the transmission distance corresponding to panel (a).

此外, 可容忍過噪聲是影響性能的另一項重要指標. 為了清晰理解可容忍過噪聲對性能的影響,這里適當選取固定參數β=0.95,V=1.3 , 當優化透射率T時, 對于不同可容忍過噪聲ξ= 0.002,0.005, 0.008, 圖5(a)顯示了安全密鑰率隨傳輸距離的變化. 顯然, 可容忍噪聲過噪聲越低, 量子密鑰分發協議的性能越好. 此外, 仿真結果表明, 量子催化可以用來有效地改善量子密鑰分發的性能.尤其對于較小的可容忍過噪聲, 改善效果比較明顯. 這正如圖5(a)所示, 對于可容忍過噪聲取0.002(點劃線)和 0.005 (劃線)時, 零光子催化四態協議在傳輸距離和安全密鑰率方面都能優越于原始方案. 而對于ξ=0.008 的情況, 性能改善不明顯. 這是因為透射率T隨可容忍過噪聲的增加而在安全傳輸距離上縮短(如圖5(b)所示). 同時, 這也暗含著可容忍過噪聲的增加可以抑制量子催化的效果.

圖5 離散調制量子密鑰分發系統的性能比較(a) 固定參 數 β =0.95,V=1.3 下, 當 優 化 透 射 率 T 時, 密 鑰 率 在不同可容忍過噪聲隨傳輸距離的變化; (b) 對應 (a) 情況下, 透射率T隨傳輸距離的變化曲線Fig. 5. Comparison of the performances between the original protocol and the ZPC-based four-state modulation protocol: (a) At a fixed β =0.95,V=1.3 , the secret key rate as a function of the transmission distance with different ξ=0.002,0.005,0.008, when optimized over the transmittance T; (b) the transmittance T as a function of the transmission distance corresponding to panel (a).

為了進一步研究協商效率對量子密鑰分發性能的影響, 這里假定V=1.3,ξ=0.005 , 對于優化透射率T的情況下, 圖6(a)表示不同的協商效率β=0.90,0.95,1.0的安全密鑰率隨傳輸距離的變化.顯然地, 協商效率越高, 則量子密鑰分發的性能表現越好. 特別是, 對于更為實際的協商效率為0.90(點劃線)時, 采用量子催化操作能夠提升原始方案的傳輸距離約至 210 km, 密鑰率為 10–8bits/pulse.圖6(b)給出對應量子催化四態調制協議的透射率T隨傳輸距離的變化. 此外, 比較圖6(a)與圖5(a)可以看出, 可容忍過噪聲對量子密鑰分發的性能影響程度要大于協商效率的情況.

圖6 離散調制量子密鑰分發系統的性能比較(a) 固定參數V =1.3,ξ=0.005 下, 當優化透射率 T 時, 密鑰率在不同協商效率隨傳輸距離的變化; (b) 對應 (a) 情況下, 透射率T隨傳輸距離的變化曲線Fig. 6. Comparison of the performances between the original protocol and the ZPC-based four-state modulation protocol: (a) At a fixed V =1.3,ξ=0.005 , the secret key rate as a function of the transmission distance with different β=0.90,0.95,1.0, when optimized over the transmittance T; (b) the transmittance T as a function of the transmission distance corresponding to panel (a).

可容忍過噪聲是影響量子密鑰分發性能的關鍵因素. 為了看清量子催化能否提升最大可容忍過噪聲, 對于不同的協商效率β=0.90,0.95,1.0 , 圖7給出了最大可容忍過噪聲隨傳輸距離的變化. 本方案的性能提升隨著協商效率的降低而呈現得更為明顯. 例如, 對于給定可容忍過噪聲為ξ=0.003 ,原始協議的傳輸距離可達到240 km附近; 而相同參數下, 本方案的傳輸距離大約達到 320 km. 這些研究結果表明, 零光子催化可提升離散調制協議的可容忍過噪聲. 此外, 需要注意的是, 圖中優化透射率T指的是在可取范圍T∈[0,1]內找到某個透射率使得密鑰率最大(圖4—圖6)或者密鑰率為零(圖7).

圖7 在固定參數V =1.3下, 當優化透射率 T 時, 可容忍過噪聲在不同協商效率隨傳輸距離的變化Fig. 7. At a fixed V =1.3 , the tolerable excess noise between the original protocol and the ZPC-based four-state modulation protocol as a function of a transmission distance for several different β =0.90,0.95,1.0 , when optimized over T.

為了突出量子催化的優勢, 圖4(a)、圖5(a)、圖6(a)均給出了Pirandola-Laurenza-Ottaviani-Banchi (PLOB) 邊界 (bound)[25](品紅實線), 它是點對點量子通信的最終極限, 并為量子中繼器提供了精確和通用的基準. 由圖3(a)和圖5(a)可知,雖然量子催化的離散調制協議和原始方案都無法突破 PLOB bound, 但是相比后者, 前者的遠距離傳輸更能接近這種邊界. 這也表明量子催化確實在遠距離安全密鑰通信上發揮著顯著優勢.

4 結論

本文提出了一種基于量子催化離散調制協議的方案, 并給出了零光子催化的等效算符. 研究發現, 這種量子催化實際就是一種無噪聲衰減, 它使得傳輸給Bob的相干態振幅a衰減成隨后,本文對所提方案進行漸近安全性分析. 研究表明,當固定參數β=0.95,ξ=0.005 下, 對于不同的調制方差V= 1.3, 1.4, 本方案能夠進一步提高量子密鑰分發協議的性能. 而對于較小的V= 1.2, 本方案在性能改善方面不能顯示出量子催化的優勢. 此外, 當適當選取固定參數β=0.95,V=1.3 , 對于不同可容忍過噪聲ξ=0.002,0.005 , 所提方案在較小的可容忍過噪聲中性能改善比較明顯. 而對于較大可容忍過噪聲ξ=0.008 , 它較與原始四態協議方案性能改善不明顯. 而對于不同的協商效率β=0.90,0.95,1.0, 當給定參數V=1.3,ξ=0.005 ,協商效率越高, 則量子密鑰分發的性能表現越好.特別是, 對于更為實際的協商效率0.90, 利用量子催化操作能夠進一步提升原始方案的傳輸距離約至 210 km, 密鑰率為 10–8bits/pulse. 值得注意的是, 雖然兩種方案都未能突破點對點量子通信的最終極限PLOB邊界, 但是量子催化的運用確實能夠在遠距離傳輸進一步逼近這種邊界. 因此, 為了試圖突破這種邊界, 在今后的研究工作中, 可將量子催化運用于測量設備無關離散調制協議[26].