線性方程組求解及應用

石擎天 黃坤陽

摘要：文章首先介紹了用克拉默法則求解一類線性方程組（方程的個數與未知量個數相同且系數行列式不為零），由此提出對于一般的線性方程組如何求解問題.從而引出用矩陣的秩來判定線性方程組的解的結構以及用初等變換來求線性方程組的通解.最后應用線性方程組的求解問題對矩陣方程和向量組的線性相關性進行分析.

關鍵詞：線性方程組;克拉默法則;初等變換;矩陣方程

中圖分類號：G642.41? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2020）12-0325-03

一、引言

線性方程組的求解問題在科學技術與經濟管理領域有著廣泛的應用[1].線性規劃問題，某些工程問題，經濟問題[2-4]等都可轉化成線性方程組求解問題.而且線性方程組求解是線性代數中一大重難點，所以本文圍繞著線性方程組求解問題進行梳理，希望對這部分內容的教和學起到輔助作用.首先，介紹相關符號和概念如下.

易知齊次線性方程組一定有解，即零解必為它的一個解，所以求解齊次線性方程組實際上是探究其是否有非零解.而非齊次線性方程組的求解則更加復雜，因為一個線性方程組的解可能是無解，唯一解，無窮多個解，所以在求解非齊次線性方程組時需先對其解進行判定再探究其解的結構.

接下來，我們將對線性方程組求解問題進行探討.先考慮特殊情形，即方程個數與未知元個數相同，也就是，此時用克拉默法則可對某些方程組進行求解.對于不能求解部分和時的線性方程組將通過初等變換或消去法進行求解.具體可分別參見第2節和第3節內容.第4節中我們將應用線性方程組求解來研究矩陣方程的求解和向量組的線性相關性的判定問題上.

二、克拉默法則求解線性方程組

三、初等變換法求解線性方程組

（1）式中線性方程組用矩陣等價表示為Ax=b，（4）

其中A為系數矩陣，x為未知元向量，b為常數列b.

注意到（1）式與（4）式相互等價，即線性方程組與（4）式中矩陣方程一一對應.

結合消去法的思想和初等行變換保持解的不變性可得，對（1）式中線性方程組進行有限次初等變換等價于對（4）式中增廣矩陣B=（A，b）進行初等行變換化成行最簡形矩陣B′，其中

基于定理2中對線性方程組的解的判定結果，我們可以結合矩陣所對應的線性方程組容易得到其通解.根據初等變換前后保持線性方程組解向量不變的事實，所以當線性方程組（4）式有解時B′所對應的線性方程組的通解即為原線性方程組（1）式或（4）式的通解（即所有解向量的全體）.那么通解如何表示呢？

通解的表示與解向量組的線性表示密切相關.由向量組的線性表示可知，找到向量組中極大線性無關組是核心.對于線性方程組（4）式而言，其通解中極大線性無關組即為基礎解系.若對線性方程組（1）式中某些未知量及其系數交換順序，則對應的矩陣方程Ax=b的增廣矩陣通過有限次初等行變換化成如下行最簡形

上述求解線性方程組（4）式得到通解如（7）式的過程中沒有按照線性代數書中傳統思路：分齊次和非齊次線性方程組分別求解;齊次線性方程組的通解即為一個基礎解系中向量組的所有線性組合，而非齊次線性方程組則是其一特解與其對應齊次方程組的通解的和構成這種用統一的公式表示，方便學生學習時不容易混淆齊次與非齊次線性方程解的結構差異.

四、線性方程組求解的應用

線性方程組求解問題在大量科學計算和數學學科中都有廣泛應用，這里我們立足線性代數這門課程的知識體系對其在矩陣方程和向量組的線性相關性這兩方面的應用進行梳理.

（一）矩陣方程的求解

對于n階方陣A或B，關于未知量矩陣X的三種矩陣方程為AX=B，XA=B和AXB=C.當采用可逆矩陣法來求解這些矩陣方程時，矩陣方程有解的必要條件是矩陣A，B和A，B分別可逆.那么當矩陣A不是方陣或不是可逆方陣時，三種矩陣方程如何求解呢？下面將以

參考文獻：

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