一類6自由度Delta型機器人運動學分析

張 俊 許 濤 方漢良 張良安

(1.福州大學機械工程及自動化學院，福州 350116；2.安徽工業大學機械工程學院，馬鞍山 243032)

0 引言

Delta機器人因具有響應速度快、整體質量輕等優點[1-4]，被廣泛應用于高速生產線上物料的分揀、搬運和包裝等操作[5-6]。

為拓寬Delta機器人的工業應用范圍和運動性能，可以從以下兩個方面入手：一方面，提高機器人末端執行器的運動自由度，使其不僅能滿足相對靜平臺水平方向的移動，還能實現角度的操作。CLAVEL[7]通過在機器人的動、靜平臺中心處加裝RUPU運動支鏈，使3自由度移動Delta機器人增加了z軸方向的轉動(即SCARA運動)。但RUPU支鏈的傳動精度較低，且易產生磨損[8]。PIERROT等[9]相繼發明了具有SCARA運動的H4、I4、Heli4以及Par4等4支鏈并聯機器人。這4類機器人都在從動桿末端連接不同模塊的運動換向機構，再將運動換向機構中子平臺的相對平動轉換為末端執行器繞z軸的轉動。基于這一原理，LIU等[10]提出了3種具有SCARA運動的Delta型機器人，分別為CrossIV-1、CrossIV-2和CossIV-3。WU等[11]在3自由度Delta機器人的運動平臺上安裝2自由度轉頭，構造了一種5自由度混聯機器人，以提高Delta機器人的運動自由度。由于串接2自由度轉頭增加了動平臺的負載，因此易對系統動態特性產生不利影響。另一方面，通過改變靜平臺的安裝方法、位置和末端執行器的種類來適應和滿足實際操作需求。文獻[12-14]將Delta機器人主動臂旋轉驅動方式改變為直線驅動形式。研究發現，直線型Delta機器人可以實現更大的工作空間，適合于3D打印和切削加工等應用場合[15]。PATEL等[16]針對傳統Delta型機器人應用范圍的局限性，提出了一種多用途Delta型機器人的設計方案。該方案通過在靜平臺上加裝導軌以提高機器人整機的運動范圍，同時，將末端執行器改裝成工具架，并將不同工具安裝在末端執行器工作空間的邊緣，以便實現操作工具的快速更換。BALMACEDA-SANTAMARIA等[17]提出了一種可重構Delta型機器人，通過在可重構的靜平臺上增加移動副來調整主動臂相對靜平臺的安裝位置，可有效增加機構的工作空間，并避免奇異。

基于上述兩種思路開發的各類Delta型機器人，雖然在工作空間和應用范圍上較傳統的3自由度移動機器人有了較大提升，但尚未有效解決末端執行器多角度操作的問題。為滿足具有復雜運動的工業操作需求，本文提出一類6自由度Delta型機器人，并開展其運動學分析，計算機器人的自由度、位置逆解與工作空間。在此基礎上，開展6自由度Delta型機器人的樣機搭建及運動實驗，以驗證結構設計與理論分析的正確性。

1 概念設計

3自由度Delta機器人拓撲構型為3R-(SS)2，每條支鏈中含有一個4S閉環子鏈，如圖1所示。

根據已有文獻得知，若使并聯機構具有6個自由度，則每條分支應為無約束支鏈。而基于旋量理論，4S閉環子鏈會產生沿桿1-2方向和3-4方向的約束力，所以將4S閉環子鏈拆開后得到2條S-S無約束支鏈，如圖2所示。

圖1 3自由度Delta機器人CAD模型

圖2 4S閉環子鏈

將拆分得到的2條S-S運動鏈分別與主動臂串聯后形成2條RSS型運動鏈。為不改變Delta型支鏈的結構分布，采用圖3所示的復合式主動臂設計，即將小主動臂轉動副安裝在大主動臂上，得到一類具有3組耦合運動分支的6自由度Delta型機器人。

圖3 6自由度Delta型機器人概念設計

因主動臂的復合安裝形式會增加大主動臂的運動慣量，進而對機構動態性能產生不利影響。故可將小主動臂所在支鏈的驅動裝置安裝到靜平臺上，并不改變機構的運動性質。采用圖4所示的平行四邊形機構來等效上述耦合運動分支[18]。其中，構件1、4為安裝在靜平臺上的小主動臂和大主動臂，運動輸出件3與構件1具有相同的轉動方向。

圖4 平行四邊形機構簡圖

第1分支的運動螺旋系可表示為

(1)

則第1分支的約束螺旋系為

(2)

第2分支的運動螺旋系為

(3)

則第2分支的約束螺旋系為

(4)

根據螺旋理論，平行四邊形機構的二次反螺旋為

(5)

因此上述平行四邊形機構相對于靜平臺可以等效為2自由度的廣義副，這個廣義副由一個P(移動)副和一個R(轉動)副串聯組成。利用平行四邊形機構等效主動臂復合安裝形式，可得圖5所示的6自由度Delta型機器人。

圖5 6自由度Delta型機器人樣機設計

由圖5可知，該6自由度Delta型機器人由靜平臺、動平臺和3組對稱分布的耦合分支組成。每組耦合分支包括大主動臂、小主動臂、連桿、三角架及2條從動桿。其中，大主動臂和小主動臂同軸心，且以轉動副的形式連接在靜平臺上。小主動臂、連桿和三角架以轉動副連接并與大主動臂構成平行四邊形機構。靜平臺與大主動臂連接處記為Ci1，與小主動臂連接處記為Ci2；大主動臂和從動桿鉸接處記為Bi1，三角架與從動桿鉸接處記為Bi2；動平臺與從動桿鉸接處分別記為Ai1和Ai2(i=1，2，3)。在靜平臺中心處建立系統坐標系oxyz，在動平臺中心處建立動坐標系OXYZ，坐標軸x和X分別垂直于邊C11C12與A11A12，z軸豎直向上，則機構整體關于x軸對稱。

2 運動度分析

圖6 含耦合節點的運動支鏈

對于復雜多閉環耦合并聯機構，其自由度求解較為困難[19-21]。所提6自由度Delta型機器人可以分成3組獨立分支，每組分支中含有2條相互耦合的運動支鏈。為便于分析，定義由分支1拆分出的耦合支鏈分別為支鏈u1和支鏈u2，在支鏈u2的C12點建立局部坐標系C12U2V2W2，坐標系的建立原則與圖4中平行四邊形坐標系相同，如圖6所示。設A11、B11和C11坐標分別為(X11，Y11，Z11)、(X12，Y12，Z12)、(0，Y13，0)，A12、B12坐標分別為(X21，0，Z21)、(X22，0，Z22)。

支鏈u1為RSS串聯運動鏈，其運動螺旋系為

(6)

由前文可知，小主動臂、連桿、三角架和大主動臂組成的平面平行四邊形機構可等效為一個移動副和一個轉動副串聯構成，則支鏈u2可等效為PRSS串聯運動鏈。支鏈運動螺旋系為

(7)

2條支鏈的運動螺旋都是滿秩，支鏈不存在反螺旋。因每條分支對稱分布，結構完全相同，所以3組獨立的分支對動平臺不存在約束，機構具有6個自由度，相對于傳統3自由度Delta機器人增加了分別繞x、y、z軸方向的轉動自由度。

3 位置逆解分析

圖7 分支閉環矢量回路

取分支1建立圖7所示的任一姿態下的機構運動簡圖。

如圖7所示，小主動臂和大主動臂相對于靜平臺的輸入轉角分別為φi和θi，三角架與球副相連的邊l2與靜平臺夾角為ψi(i=1，2，3)，λ為三角架固定結構角。當給定動平臺的位姿時，由位置逆解模型可計算出每個主動臂的輸入轉角。l3、l4、u11、w11分別為大主動臂和從動桿桿長及其單位矢量；l1、l2、l5、u12、v12、w12分別為連桿、三角架、小主動臂所在支鏈從動桿桿長及其單位矢量。d11、d12分別表示動坐標系下O點指向A11、A12的矢量，且O點到A11A12的垂直距離為d；e11、e12分別為系統坐標系下，o點指向C11、C12的矢量，且o點到C11C12的垂直距離為e；C11、C12兩點間的距離為2a。

3.1 大主動臂所在支鏈分析

由前文分析，所提機器人具有3個旋轉自由度和3個移動自由度，動坐標系OXYZ到系統坐標系oxyz的變換矩陣可用歐拉角描述機構的運動，即

式中α——動平臺繞z軸方向的轉角

β——動平臺繞y軸方向的轉角

γ——動平臺繞x軸方向的轉角

C表示余弦函數；S表示正弦函數。

f+di1=ei1+l3ui1+l4wi1

(8)

其中

l3=l1+l2

di1=R[Tid11]

(9)

ei1=Tie11

(10)

(11)

(12)

εi=2(i-1)π/3

式中εi——大主動臂相對于x軸的安裝角

Ti——系統坐標系下，每組分支的旋轉矩陣

由式(8)得到大主動臂所對應的位置逆解為

(13)

其中

式中i——x軸的單位矢量

j——y軸的單位矢量

k——z軸的單位矢量

3.2 小主動臂所在支鏈分析

對于小主動臂所在的運動支鏈，動平臺中心點O的位置矢量f可表示為

f+di2=ei2+l1ui2+l2vi2+l5wi2

(14)

其中

ui2=ui1

(15)

di2=RTid12

(16)

ei2=Tie12

(17)

由式(14)可推導小主動臂所對應的位置逆解

(18)

其中

小主動臂相對于靜平臺的輸入轉角為φi，由幾何關系可知

φi=λ-ψi

(19)

綜上所述，機器人位置逆解為

(20)

4 運動空間分析

并聯機構運動空間大小及其分布是表征其工作性能的基本指標[22]，為此提出一種搜索算法來預估6自由度Delta型機器人的運動空間。該算法的基本思想為：

(1)根據機器人樣機設計的尺度參數，預先估計動平臺在x、y、z坐標軸方向上所能到達的搜索范圍。在柱面坐標系下，設搜索半徑r為0～0.6 m，角度ω為0°～360°，z為-1.2～0 m，其中rmax為0.6 m、ωmax為360°、zmax為0 m。則x=rcosω、y=rsinω。為提高計算效率和保證搜索精度，將步長設為Δr=0.02 m，則在運動空間邊界處會存在0～0.02 m的搜索誤差，約為總搜索半徑的3.3%。Delta機器人在操作中，一般要求動平臺上的末端執行器在一規則區間內運動，通常取運動空間內一直徑為D，高為h的圓柱體作為任務空間，所以邊界誤差會較小影響Delta機器人任務空間范圍。

(2)確定機器人轉角搜索范圍。機器人球關節經測量存在η為-37.0°～37.0°的轉角限制，則轉動軸線S與水平方向的夾角極限分別為ηmax=127.0°、ηmin=53.0°，如圖8所示。由于球關節處的轉角極限，所以將動平臺姿態參量α、β、γ的搜索范圍限定在[-40.0°，40.0°]，其中α0、β0和γ0均為-40.0°，αmax、βmax和γmax均為40.0°。

圖9 搜索運動空間流程圖

(3)為更準確地描繪所提機器人的運動空間，引入邊界條件。分別計算搜索點(包含位姿信息)所對應的6個主動臂輸入轉角及其從動桿連接的球關節角度。由于機器人結構存在干涉，主動臂轉角約束條件為θmin≤θ≤θmax、φmin≤φ≤φmax；球關節約束條件為ηmin≤η≤ηmax。當滿足所有邊界條件后，該點作為運動空間點被保存于圖像中。

圖9為機器人可達工作空間的搜索過程。

表1為6自由度Delta型機器人概念樣機的相關尺寸參數與邊界條件。

表1 尺寸參數與邊界條件

通過上述搜索算法，該尺度參數下機器人運動空間如圖10所示。從圖10a可看出，6自由度Delta型機器人運動空間可以近似為一個底面為拋物面的柱體。為更清楚表達運動空間的范圍，在圖10b～10d中分別給出了運動空間在x-y、x-z和y-z平面內的截面圖。從圖10b～10d可以看出，x軸方向上運動范圍為-0.56～0.58 m，y軸方向運動范圍為-0.52～0.52 m，且在y-z平面內運動空間是關于y=0(即x軸)對稱。z軸方向上機器人運動范圍為-1.10～-0.40 m，而在-0.74～-0.54 m范圍內的運動直徑更大，故選取z=-0.60 m作為典型運動平面，并在圖10b中描繪了在該平面內機器人運動空間的邊界輪廓。

圖10 6自由度Delta型機器人運動空間

為探究同一尺度參數的3自由度Delta機器人的運動范圍，基于該搜索算法的基本思想，由于動平臺無轉動自由度，故將α、β、γ設為0°；由于每個分支只存在一條主動臂，故邊界條件為主動臂轉角為θmin≤θ≤θmax，球關節極限轉角為ηmin≤η≤ηmax。得到其運動空間如圖11a所示，圖11b為z=-0.60 m平面的運動邊界。

對比圖10b，3自由度Delta機器人在y軸方向上的運動范圍略小于所提機器人。由于動平臺轉角都為0°屬于所提機器人的一種特殊位型，該位型下大主動臂所在支鏈位置逆解與3自由度Delta機器人位置逆解相同，小主動臂所在支鏈協同運動使所提機器人每條分支中2條從動桿始終保持平行。故相同邊界條件下，同一尺度參數的3自由度Delta機器人的運動空間是所提機器人運動空間的子集。

5 樣機搭建與運動實驗

結合表1尺寸參數，根據理論分析完成了工程樣機的搭建，包括機器人本體和控制系統。選取4組典型位置進行多角度抓取實驗，如圖12所示。

圖11 3自由度Delta機器人運動空間

圖12 不同位姿抓取實驗

通過樣機運動實驗驗證該Delta機器人具有6個自由度，分別為平面內3個方向的移動和繞x、y、z軸方向的轉動。并在表2給出4組抓取實驗中各位姿點的理論值與測量值。

由表2可知，機器人運動位姿點的理論值與測量值接近，微小誤差可能來源于機械結構裝配誤差和機器人關節間隙。

為驗證運動空間搜索算法的分析結果，在z=-0.600 m運動平面內將機器人末端分別運動到x、y軸方向的極限位置，如圖13所示。實驗測得該極限位置的空間坐標為(0.582，0，-0.600)m、(0，0.522，-0.600)m，誤差在搜索步長范圍內，與理論分析結果一致。

6 結論

(1)提出了一類6自由度Delta型機器人，運動自由度的提高使機器人能夠完成生產線上物體的多角度抓取、零件的多姿態裝配等復雜操作任務。

表2 不同位姿理論值與測量值

圖13 機器人運動極限位置

(2)分析了6自由度Delta型機器人結構，對復雜多閉環耦合機構進行拆分，計算得到該機器人自由度，并建立位置逆解模型，為進一步研究軌跡規劃提供了一定的理論基礎。

(3)采用所提運動空間搜索算法，繪制了Delta型機器人的運動空間分布，并選取機器人典型運動平面進行運動實驗，仿真與實驗結果表明，該搜索算法具有較高的計算精度，同時，在相同尺度參數下，3自由度Delta機器人運動空間是所提機器人工作空間的子集。