基于微分平坦與自抗擾控制的伸縮臂抖動抑制研究

姜海勇 邢雅周 李 娜 姜文光

(1.燕山大學機械工程學院，秦皇島 066004；2.河北農業大學機電工程學院，保定 071001)

0 引言

近年來，在農業裝備和工程裝備中減重設計為產業升級帶來了巨大效益，隨著產品性能的不斷提升，結構剛度下降帶來的諸多問題引起了廣泛關注。高空作業平臺比較典型，特別是伸縮臂結構高空作業車，其操作方便、工作空間大、應用領域廣泛。然而在用于授粉、修枝、嫁接、定點取樣等農林業生產精細操作時，臂體抖動成為難題，特別對于農林業輕型裝備，由于抖動的不可控甚至會影響到人身安全，嚴重制約著該類設備的推廣與應用。

針對臂體穩定問題，許多學者從動力學建模入手，采用多種主動或者被動控制的方法進行抑制振動研究[1-5]。ALEXANDER等[1]基于哈密爾頓原理，在忽略臂體之間套疊結構的前提下，建立了多節高空作業臂的動力學模型，動力學模型為截面遞減的多段伯努利均質梁；基于Lyapunov第二法驗證了采用各段臂體的撓度和轉角作為反饋量進行控制的可行性，并進行了模擬仿真。ALEXANDER等[2]對55 m高空救援車伸縮臂架在變幅及調姿過程突然停止情況下的動力學模型進行分析，同樣也忽略套疊結構而簡化為階梯梁，給出了動力學模型的簡化表達，并通過檢測末端轉角與臂體應力驗證了耦合模型的準確性。李山虎等[3]研究了軸向運動與側向抖動的關聯，并闡述了伸縮臂不同伸出量下抖動運動的不同表現。王亮[4]采用修正的伽遼金法得到變長度等截面懸臂梁的近似動力學模型，采用線性二次型調節器，對比了主動力與主動振子控制方法，進行懸臂梁橫向振動的抑制，認為主動振子方案更易實現。張曉宇等[5]采用H-∞方法構建了抗擾控制系統，對多關節機械臂作為柔性體機構進行振動抑制研究。

在柔性梁結構抖動抑制領域，采用壓電材料檢測與控制懸臂梁抖動抑制的研究被廣泛應用于多種控制算法的效能驗證中[6-9]。WELDEGIORGIS等[6]以應變率作為梁變形系統的輸出，進行反饋控制，實現均質梁在高頻振動下的有效抑制。ZHENG等[7-8]研究了自抗擾控制方法(ADRC)在壓電梁擺動和雙慣性圓盤扭振抑制中的應用，采用光學傳感器對梁側向振動的信號進行反饋，由壓電元件作為執行元件進行振動控制；基于頻域分析給出了合適的控制參數，得到了有效實驗結果。ZHANG等[9]研究了直線雙振子彈簧系統的運動控制，構建四階ADRC系統，以被動振子的位置作為輸出量，實現被動振子的位置穩定控制。

HAN[10]提出了完整的自抗擾系統框架，對于模型不確定或難于準確把握的控制對象，將系統的不確定看作內部擾動，并將其與外來擾動合并，一同視為系統總擾動，利用觀測器估計總擾動，并生成控制量以抵消擾動。GAO[11-12]建立了自抗擾控制系統的線性結構，提出時間尺度概念，將整定參數賦予觀測器帶寬與控制器帶寬的工程語義，使得整定過程大為簡化，自抗擾控制思想得以在各工程領域迅速實施。丁力等[13]采用線性自抗擾方法設計了直升機航向控制器。李杰等[14]闡述了自抗擾控制思想的發展過程，提出在特定任務下可將擴張狀態觀測方法與其他觀測器或估計器相結合。JIN等[15-16]闡述了相同穿越頻率和相位裕度不足條件下，自抗擾控制器抵御噪聲與減輕過沖結構性能優異的原因，認為外擾進入系統后、到達輸出前，相當于經過了一個帶通濾波器。CHEN等[17]通過對總擾動的概念進行深入分析提出，總擾動呼應著積分串聯標準型與現實系統之間的差異，而ADRC的優勢在于這種差異不但可觀，而且一定可匹配。在自抗擾控制器設計方面有眾多學者給出自己的方法，ZHANG等[18]提出從系統波特圖中的相位補償需求入手確定系統相對階的方法，并以頻域特性確定帶寬，以達到簡化整定過程的目的。

近年來微分平坦方法在復雜約束與路徑規劃問題中的運用發展迅速。蔡偉偉等[19]在空間飛行器軌跡規劃問題中，運用微分平坦方法降低了系統設計維度，將問題映射到平坦輸出空間。機械系統中的欠驅動問題與之有類同關系，HEBERTT等[20-22]將微分平坦方法用于欠驅動機械系統，并結合ADRC控制系統解決了旋轉倒立擺、輪擺系統等的欠驅動問題，充分顯示出微分平坦方法降維處理與自抗擾補償內外擾動相結合的優勢。

綜上，有關套疊結構伸縮臂的抖動抑制研究處于起步階段，鮮見對參數變化的套疊結構詳細建模，有關該結構主動抑振自動控制系統的研究尚未見報道。本文針對臂體抖動抑制構建基于角位移與加速度的微分平坦處理方法，建立基于微分平坦輸出的二階線性ADRC系統。通過仿真確定控制器參數，并給出有效的仿真結果，通過模型實驗驗證控制算法優異的抗擾能力。

1 套疊梁臂架等效模型

高空作業設備的核心部件是套疊梁結構的伸縮臂，臂架整體仰角通常由液壓缸或電推桿驅動，為了不增改系統機械結構，以變幅作用的液壓缸或電推桿為驅動元件。

1.1 臂體等效剛體動力學模型

將套疊結構的臂體以驅動鉸接點為參考分為兩段，分別作為剛體桿進行動力學分析[23]，如圖1所示。

圖1 豎直平面內伸縮臂等效模型

圖中第1桿的質量、長度、鉸接點到質心位置距離、相對于水平面的仰角、繞質心的轉動慣量分別為m1、l1、lc1、θ1、Ic1，第2桿的質量、長度、質心位置、相對于水平面的仰角、繞質心的轉動慣量分別為m2、l2、lc2、θ2、Ic2，以過O點的水平面為零勢能面，利用拉格朗日方程建立系統動力學模型為

(1)

本文研究的抖動是指發生在臂體平衡位置附近的小范圍抖動，設兩桿平衡位置仰角為θ10、θ20，兩桿之間扭簧剛度為k，則有

m2lc2gcosθ20=k(θ10-θ20)

基于小變形假設，取

(2)

在平衡位置作用于第1桿的靜態力矩為

τ0=(m1lc1+m2l1)gcosθ10+m2lc2gcosθ20

兩桿仰角增量為θδ1、θδ2，采用增量形式控制系統輸出力矩為：τδ=τ-τ0。

則臂體動力學模型可以表示為

(3)

e=k-m2lc2gsinθ20

1.2 套疊部分的等效

圖1中第2桿對應著實際中兩根空心管狀梁構成的滑動副結構，幾何結構如圖2所示。截面較大的梁段其線密度、彈性模量、長度為ρa、Ea、la，截面較小的梁段其線密度、彈性模量、長度為ρb、Eb、lb，最右端質量塊質量為m。按照幾何關系可確定整個套疊段的質心位置為

(4)

圖2 套疊部分的等效結構

整段梁等效為由剛度為k的扭簧與剛性第2桿(圖1)構成，圖2中套疊段按照材料力學中有關梁的撓度計算公式，k近似為

k=

(5)

1.3 推力與等效力矩換算

由于動力學模型中以第1桿所受力矩為輸入，實驗裝置與實際運用的變幅機構對應采用電推桿驅動方式，如圖3所示。其中第1桿鉸接點與電推桿固定鉸接點距離為l0，實驗中以電推桿推力換算為電機輸入量，因此由圖3幾何關系可換算電推桿推力F與控制系統計算輸出量τ的關系為

(6)

圖3 電推桿推力與控制力矩幾何關系

2 微分平坦

本文研究臂體抖動抑制是在保證臂體仰角穩定的同時消除抖動，由于臂體的柔性導致了在外界干擾力作用下臂體末端抖動。變幅推力作用于等效模型的第1桿末端，則第1桿仰角由變幅推桿的長度直接確定，但套疊部分的末端運動不能直接確定，為此該模型可看作是輸入為推力F、輸出為仰角θ1和θ2的欠驅動系統。

為了獲得等效模型中第2桿的仰角變化量，應變片方法無法消除未知末端荷載變化帶來的穩定點偏移，而一般角度傳感器則無法獲得參考零點，光學傳感器[7]方案在野外作業裝備中也無法實施。為此采用傾角傳感器最為有效，傾角傳感器的輸出值是相對于水平面作為絕對零點，這對于高空目標的角度變化最為合理，并且目前在高空作業設備中已得到普及。然而前期實驗中發現，臂體振動頻率一般在3 Hz左右，目前多數傾角傳感器的輸出頻率為20 Hz，最大不超過50 Hz，限制了傾角傳感器在振動抑制中的應用。陀螺儀和加速度計成為替代傾角傳感器進行θ2測量的可能選擇。雖然臂體較長，但末端變形仍然較小，實驗中發現電子陀螺儀測試臂體末端運動時，性價比遠不及加速度計。為此最終方案為在末端安裝加速度計，而根部安裝傾角傳感器。相應動力學模型中的末端加速度可以由仰角的二階導數換算。

2.1 微分平坦輸出量的構建

將式(3)整理為

(7)

(8)

輸出y是臂體根部仰角增量與末端加速度的線性組合，兩組成項的控制目標均為零。在動力學模型結構中，輸入力矩將作用于第1桿的角加速度，同時作用于第2桿的痙攣度，即輸入力矩將直接作用于輸出y的二階導數，故令c+αk=0，由此可得微分平坦輸出為

(9)

將其代入式(3)可得

(10)

對式(9)、(10)取時間的二階導數可得

(11)

2.2 平坦輸出量的動力學模型重建

將式(3)的上式及其對時間二階導數式與式(9)～(11)組合構成微分方程組為

(12)

式(12)消除X得到y的二階動力學模型為

(13)

其中

3 線性自抗擾控制器

式(13)中b0作為輸入增益，根據前文所述的已知條件與幾何關系、可實際測量的臂體前段實時長度l2，以及設定的目標仰角θ20能夠進行更新，α也同樣可計算獲取。采用線性自抗擾控制系統的經典結構[10-12]，將模型中獲取的這兩項信息代入擴張狀態觀測器中，有效簡化了整定過程，在設備設計階段有利于結構設計與控制系統的匹配，在生產中簡化調試過程，在使用中利于安全。

3.1 擴張狀態觀測器

式(13)中力矩增量二次導數項看作內部擾動，之外考慮其他忽略的未建模不確定項ψ以及未知外擾D，視為綜合擾動f，則動力學模型為

(14)

其中

則定義狀態向量為

(15)

基于此臂體微分平坦輸出的動力學模型為

(16)

其中

擴張狀態觀測器為

(17)

為保證特征方程(|A-LC|=0)的根均在-ωo上，ωo為觀測器帶寬[11]，可得

3.2 控制器

利用引入的擴張狀態觀測器對f進行跟蹤，使系統得以實現式(14)所述的模型結構。二階系統下的控制器為

uo=k1(r-z1)-k2z2

(18)

r為仰角設定值，為保證閉環系統極點均在-ωc(即控制器帶寬)上[11]，控制器參數設為

擴張狀態觀測器能夠成功跟蹤f，則控制器輸出力矩增量為

(19)

利用式(6)將τδ變換為對應電推桿推力Fδ。

4 仿真驗證

在Matlab Simulink環境下，將臂體動力學模型分別與ADRC控制器及PID控制器結合構成閉環控制系統進行仿真對比。由于臂體套疊部分長度的變化會造成臂體外伸部分剛度、重心、轉動慣量的變化。為此，對比分析套疊部分長度變化情況下的抑振效果。

4.1 仿真參數設置

仿真參數與實驗參數一致，臂體由2根矩形截面鋁管構成，其結構參數為：m1=0.3 kg,m2=2.7 kg,m=1.53 kg,l1=0.4 m,la=0.8 m,lb=1.2 m,彈性模量E=70 GPa。固定鉸接段鋁管寬40 mm、高30 mm，上段可伸縮部分鋁管寬30 mm、高20 mm，臂體外伸段長度調節范圍為1.46～1.96 m，兩段鋁管的壁厚均為1.5 mm。仿真載荷為在0.5 s時對第2桿施加單位脈沖力矩沖擊，并在平坦輸出y中加入白噪聲后再反饋至控制器以模擬系統的不確定項。

4.2 ADRC系統仿真

首先取外伸段最短狀態即l2=1.46 m，根據臂體抖振在仰角66°左右較為嚴重，為此設定仰角目標值為66°。根據以上模型信息計算觀測器參數可得：b0=0.119 5，α=5.117 6。設定ωo=12，ωc=7，仿真結果如圖4所示，觀測器準確跟蹤了微分平坦輸出，總擾動值迅速回零，微分平坦輸出量能夠在1.5 s內回零，兩個仰角同時回到各自平衡位置，兩個剛性桿的仰角差值由等效扭簧剛度k決定，末端加速度曲線表明抖動被迅速抑制。改變臂體外伸段長度?。簂2=1.96 m，θ20=66°，可得：b0=0.077 8，α=4.098 5，設定ωo=12，ωc=4。仿真結果如圖5所示，仿真結果與l2=1.46 m時結果類似，雖穩定時間稍微有所增長，兩個仰角在1.5 s內仍回到平衡位置。

圖4 l2=1.46 m時ADRC抑振仿真結果

圖5 l2=1.96 m時ADRC抑振仿真結果

通過仿真實驗確定觀測器帶寬為12，在臂長變化時不再調整，只需按照臂長調整控制器帶寬。線性關系為

ωc=15.76-6l2

(20)

仿真結果表明，隨著外伸部分變短而剛度上升，本振頻率上升，相應控制器所需帶寬對應提高，即控制能力相應提高。

4.3 PID系統仿真

由于柔性臂體末端加速度計會輸出高頻振蕩信號，為此采用不完整積分PID系統。對應外伸段長度l2=1.96 m，采用Simulink調參工具整定比例積分微分系數為：KP1=521.9，KI1=467.2，KD1=92.3，微分器低通濾波系數為17.3，與前文相同載荷與噪聲條件下，仿真結果如圖6所示。外伸段長度l2=1.46 m時，PID參數為：KP2=608.4，KI2=359.6，KD2=129.1，微分器低通濾波系數為15.9，仿真結果如圖7所示。從圖4～7可以看出，PID方法下調節時間與ADRC系統相近，但是控制力矩曲線不如ADRC系統平滑，并且末端加速度響應對噪聲敏感，末端加速度響應幅值明顯高于ADRC系統。

圖6 l2=1.96 m時PID抑振仿真結果

圖7 l2=1.46 m時PID抑振仿真結果

仿真實驗結果表明，ADRC系統在觀測器和部分模型信息的輔助下，針對臂體結構的參數變化可以自動更新系統參數，保證了控制作用的持續有效。而PID系統雖然能基本保證抖動抑制的有效，然而臂體末端的高頻抖動是不易消除的弊端。另外PID系統的參數難以給出規律性的表達，為此在參數整定中須對應不同外伸長度多次調諧，這給整定過程帶來更多的工作量，也帶來了更多的不穩定因素。

5 實驗驗證

5.1 實驗裝置

為了驗證控制方法的有效性，搭建實驗裝置如圖8所示，其中臂體結構尺寸如4.1節仿真設置。在固高GE400-SG型運動控制卡中實現控制算法，采用LCA331A-P900型瑞芬振動性角度傳感器，采用AKE392B型瑞芬數字加速度傳感器。電推桿為24 V直流電機驅動，PWM值與推力比值約為1.35，最大推力為1 000 N，電推桿最大推進速度為12 mm/s。實驗采用約50 N力沖擊臂體末端的方式施加擾動，記錄系統響應過程中的傾角傳感器、加速度傳感器讀數和ADRC控制器輸出給PWM調速器輸入端的讀數。

圖8 實驗裝置組成

擾動沖擊由氣動射釘槍實現，釘質量為0.047 g，射速約為8 m/s，鋼釘與板的接觸時間理論值為7.2 μs，按沖量定理計算等效沖擊力約為50 N。每次實驗均保持碼釘槍與末端質量塊垂直距離為1 cm。

臂體系統屬于自平衡結構，由于內部存在阻尼，在受到有限的沖擊后，如沒有其他擾動加入，臂體最終將回到平衡位置。在無控制條件下，外伸部分長度為1.96 m時，臂體末端受沖擊后，末端加速度響應曲線如圖9所示，沖擊后大約經過13 s加速度回到零點，期間臂體抖動約30個周期，后續小幅度擺動需要更長時間緩慢穩定。臂體縮短情況下由于自身阻尼效應稍弱，故相同沖擊條件下穩定時間稍長。

圖9 l2=1.96 m沖擊擾動無控制下末端加速度曲線

5.2 ADRC控制實驗

當外伸部分長度為1.46 m時，臂體末端受沖擊力作用，自動抑制振動的截取結果如圖10所示。當外伸部分長度為1.96 m時，自動抑制振動的截取結果如圖11所示。

圖10 l2=1.46 m時抗沖擊擾動實驗結果

從圖10可看出，仰角的輸出滯后于其他兩個讀數的變化，這種滯后有傾角傳感器本身輸出滯后的原因，也有機構中多處阻尼作用的原因。但不妨礙振動抑制與位置跟蹤的有效作用，外伸長度1.46 m的實驗中，在沖擊發生后的1 s內振動被消除，在1.5 s后臂體仰角恢復到設定值。

圖11 l2=1.96 m時抗沖擊擾動實驗結果

當外伸長度1.96 m時由于臂體剛度下降，相似的沖擊作用下，末端加速度顯著增大，導致出現輸出飽和，但控制作用依然有效，在沖擊作用結束后1 s內，大幅的振動被抑制，小幅的振動在沖擊結束后的2 s完全消除。在這種低剛度的條件下，振動抑制過程與位置跟蹤過程幾乎同時結束。而縮短狀態即較高剛度時仰角調整值則明顯較小。外伸段最長和最短兩種極端情況下末端的振動均能在2個往復擺動周期內被有效抑制。

6 結論

(1)將臂體等效為兩段剛性桿，在等效扭簧剛度計算中考慮套疊結構。將外伸部分臂體的質量和質心等效到第2桿中，基于此的動力學模型簡潔直觀，可準確表達套疊臂體結構。

(2)基于等效結構及工程推廣可行性，選擇傾角傳感器與加速度傳感器組合方案，構建單輸入、雙輸出的欠驅動形式的動力學模型，直觀表達了柔性臂體的運動特性。

(3)采用平坦技術處理欠驅動模型，將兩個不同量綱輸出量合成為一個輸出量，構建了單輸入、單輸出結構的二階控制對象系統模型。結合ADRC系統抗擾優點，把非線性項簡化等處理過程帶來的模型誤差和外來沖擊擾動一并看作綜合擾動，由三階擴張狀態觀測器進行觀測后，生成控制量進行補償，獲得了較為理想的抑振效果。

(4)實驗表明，在臂體伸長和縮短工況下，相同沖擊載荷下均能在2 s內抑制抖動，往復運動不超過兩個周期?？刂破鲙捯陨炜s臂外伸段長度為變量即可自動更新，整定參數物理意義明確直觀，不需要做類似PID方法的大范圍試湊。