聊聊動態塑性和黏塑性*

2020-04-01 09:56:16王禮立董新龍

爆炸與沖擊 2020年3期

關鍵詞：理論模型

王禮立，董新龍

（寧波大學沖擊與安全工程教育部重點實驗室，浙江寧波 315211）

在爆炸/沖擊載荷下，材料本構關系通常分解為球量部分（容變律）和偏量部分（畸變律）分別加以處理。前者歸結為高壓下不同形式狀態方程（非線性彈性律）的研究，而后者則歸結為率相關剪切律的研究[1- 2]。

就偏量部分而言，當涉及結構和材料的動態塑性時，出現一個基本概念性問題：到底應該使用術語“塑性變形”（plastic deformation）還是“塑性流動”（plastic flow)來表示？這其實涉及到對材料塑性本構關系基本類型的認識。

變形和流動的差別主要在哪兒呢？這可以從材料本構關系角度來討論。

在固體力學中，人們討論應力作用下的變形，其偏量本構關系表現為應力與應變之間的函數關系，例如圖1(a)所示的Hooke 彈性定律：

應力與應變一一對應，不隨時間變化。

在流體力學中，人們討論應力作用下的流動，其偏量本構關系表現為應力與應變率之間的函數關系，例如圖1(b)所示的Newton 黏性定律：

應力與應變率一一對應；而應變 γ 則隨時間變化，是通過 γ ˙(t) 對時間t 積分確定的。如果想在應力-應變坐標中刻畫Newton 黏性定律，則如圖1(c)所示，表現為恒應變率下給定應力下的一條水平線，這條水平線隱含著應變在給定應力和應變率下隨時間增長的過程。

固體力學的學者從應力-應變型本構關系出發，習慣于用應力-應變坐標來表述材料受應力作用時的變形；但當材料進入到遵循應力-應變率型本構關系的塑性流動（下文將詳細討論）時，如果還繼續用應力-應變坐標來表述材料的塑性流動，就將在到達屈服點后出現類似于圖1(c)那樣的所謂“理想塑性”平臺。

圖 1 (a) 在τ-γ 坐標中表示的Hooke 彈性定律（τ=Gγ）；(b)在坐標中表示的Newton 黏性定律（τ=η γ˙ ）；(c) 在τ-γ 坐標中表示的Newton 黏性定律（τ=η γ˙ ）Fig. 1 (a) The Hooke's elastic law (τ=Gγ) described in τ-γ coordinates; (b) The Newton's viscous law (τ=η γ˙ ) described in coordinates; (c) The Newton's viscous law (τ=η γ˙ ) described in τ-γ coordinates

其實，力學的主要二級分支學科，如一般力學（剛體系力學）、固體力學及流體力學等的劃分，正是基于不同的材料偏量本構關系類型進行區分的：一般力學研究的是不會變形不會流動的剛體，固體力學研究的是具有應力-應變本構關系（以下簡稱為形變型本構關系）的變形體，而流體力學研究的是具有應力-應變率本構關系（以下簡稱為流動型本構關系）的流動體。這些都是理想化模型。

對于實際材料，常常需要處理更復雜的、變形與流動相耦合的情況。按照流變學（rheology）的觀點，萬物皆變，萬物皆流，變形與流動共存。彈塑性本構模型正是彈性變形與塑性流動的耦合模型。朱兆祥先生曾經回憶當年在深圳羅湖橋接待錢學森先生回國時，看到錢學森先生在入關填寫表格時，在填寫“專業”一欄寫過一項“流變學”，這在當時是跨固體-流體、跨力學-材料學的前沿學科。

那么塑性是像彈性固體那樣遵循形變型本構關系（塑性應力-應變關系），還是像黏性流體那樣遵循流動型本構關系（黏塑性應力-應變率本構關系）呢？下面，我們將從宏觀塑性本構理論和微觀位錯動力學理論角度分別加以討論。

1 從宏觀塑性本構理論的角度來看

由經典塑性力學的發展史知[3-4]，塑性增量理論先于全量理論。從本構關系類型的角度看，前者屬于流動型本構關系，而后者則屬于形變型本構關系，實際上是前者在簡單加載（比例加載）條件下的特殊情況。

從塑性增量理論出發，按照Levy（1871）-Mises（1913）最早提出的塑性增量理論，塑性應變偏量增量正比于應力偏量 Sij：

式中： dλ 是非負標量比例因子。式(3a)兩側同除以dt 后，可改寫為以應變率表征的形式：

有時稱為St. Venant-Levy-Mises 方程。更一般的Prandtl-Reuss 理論則進一步考慮了耦合的彈性變形。顯然，當1 /λ˙=η=const. 時，式(3b) 就化為Newton 黏性律，因而Levy-Mises 增量理論（式(3)）可看作Newton 黏性律的非線性推廣。

把式(3c)等號兩側平方，演算時注意到等效應力 σeあ和等效塑性應變率的如下定義：

即可確定：

把式(5)代回式(3c)，可得到以應變率形式表述的如下流動型本構關系：

例如，把忽略彈性應變率并以等效應變率形式表示的Cowper-Symonds 公式：

將式(7)代入式（6）可得：

式中： σ0為準靜態流動應力，D 和q 為材料常數。這就是張量形式的基于Cowper-Symonds 公式的應變率相關的流動型黏塑性本構方程。

注意，式(3)～式(6)并不依賴于是否存在屈服面或靜態應力-應變曲線，既適用于無屈服面黏塑性理論，如Bodner-Parton 的無屈服面模型；也適用于含屈服面或靜態應力-應變曲線理論，例如基于Cowper-Symonds 公式(式(7))的式(8)以存在屈服面或靜態應力-應變曲線為前提，是所謂超應力類型的黏塑性本構方程。

2 從微觀位錯動力學的角度來看

塑性微觀機理的研究曾經經歷過從“理想晶體整體滑移”機理到“實際晶體位錯運動”機理的發展過程。由下面的討論可知，這兩種機理實際上分別對應于形變型塑性本構方程和流動型黏塑性本構方程。

2.1 “理想晶體整體滑移”機理

式中：2A 為振幅。則對應的剪切應力τ 為：

圖 2 理想晶體的剪切滑移Fig. 2 Shear slip in a perfect crystal

因此，能使上排原子相對于下排原子產生整體塑性滑移所需的最大剪切應力 τb表征了理想晶體的所謂理論剪切強度（理論屈服強度），一般b 和a 為同一量級的量，因而近似地有：

這一機理給出了如下的彈塑性本構關系：

式中：應變γ 的下標e 和p 分別指彈性和塑性。由此可見，式(11)屬于應力-應變一一對應的形變型本構關系。

但是，式(10)給出的理論屈服強度與實際金屬晶體的實測屈服強度值相對比，有量級性的差別（兩者之比達102～104量級）。這歸因于實際晶體存在內在缺陷。1934 年，Orowan[5]、Polanyi[6]和Taylor[7]幾乎同時、又分別獨立地，提出了位錯的概念，并為隨后的實驗觀察所證實。

2.2 “實際晶體位錯運動”機理

含位錯的實際晶體，在切應力τ 作用下，通過位錯在晶體中的一步步運動來完成滑移，如圖3 所示。

關于這一位錯運動機理，有兩點特別值得強調：（1）由于位錯的局域化作用，使得推動位錯一步步移動所需的切應力（實際屈服強度）遠比推動晶體整體滑移所需的切應力（理論屈服強度）小得多，這是含缺陷的實際晶體與完善的理想晶體強度有量級性差別的根本原因。（2）在“理想晶體整體滑移”機理中，一旦外加切應力達到晶體理論屈服強度就可瞬時滑移以實現塑性形變。與之相反，在位錯運動機理中，滑移是通過位錯一步步移動的時間相關過程來實現的，因而是一個與時間相關的、即與位錯運動速度vd相關的塑性流動過程。

圖 3 由位錯運動形成的滑移。Fig. 3 Slip formations due to dislocation movement.

考察在給定的宏觀大小為l×l×l 的晶體，在微觀尺度上有N 個平行的可動刃型位錯，在切應力τ 作用下，位錯以某一速度移動，如圖4 所示。

Orowan[8]提出聯系微觀位錯運動與宏觀塑性畸變γp的如下方程：

圖 4 一列平行位錯的運動造成的宏觀塑性切應變Fig. 4 The macroscopic plastic shear strain γ p(=tanθ) caused by the motion of a row of parallel dislocations

在位錯運動機理中，位錯運動速度vd（=dl/dt）扮演決定性作用，式(12a)對時間t 微分后有：

式中：φ 為位相因數，ρm（=N/l2）為可動位錯密度，b 為位錯的Burgers 矢量大小。當可動位錯密度對時間的變化率是可忽略的小量時，則近似地有如下的Orowan 簡化式：

Orowan 公式（式(12)）的重要意義在于：它建立了微觀位錯運動諸參量與宏觀塑性畸變率的聯系，這是跨尺度研究能否實現宏觀工程應用的關鍵所在。

Orowan 公式中的關鍵性微觀參量是位錯運動速度vd，實驗表明它依賴于作用力τ 和溫度T。vd實際上反映了位錯跨越短程勢壘實現塑性滑移的成功概率。位錯跨越各種短程勢壘一方面靠外力τ 做功，另一方面靠晶格熱振動（熱起伏）的熱激活能U。由此，按照統計力學有關熱激活過程的分析可得：

式中：v0為位錯振動頻率f0與位錯平均運動距離χ 之乘積，k 為Boltzmann 常數。式（13）是位錯速度vd的Arrhenius 方程，把它代入Orowan 簡化式（式（12c）），就得到塑性應變率的Arrhenius 方程：

式(14a)是基于位錯動力學熱激活機制的流動型塑性本構關系的一般形式。就本構關系類型而言，與宏觀塑性增量理論是一致的，為塑性增量理論提供了微觀物理機制。至于其具體形式，則取決于熱激活能U 如何依賴于作用力τ 的函數形式U(τ)。

引入以下無量綱參數：

式中：τc為特征應力，V（=blx）為激活體積， V*為τ=0 時的激活體積。

則式（14a）可改寫為如下無量綱形式：

注意，按激活能的定義有：

顯然，黏塑性本構關系的具體形式取決于U(τ)或V(τ)，這是一切基于位錯動力學的黏塑性本構關系研究的核心所在。

例如，按照Seeger 的林位錯模型，U(τ)可近似地表為τ 的線性函數（對應于 τ - V 坐標中的矩形勢壘曲線，如圖5(a)所示），則在半對數坐標中顯示為一直線，τ 隨的量級性增加而升高：

式中：c 為表征材料的應變率敏感性的材料參數。

圖 5 位錯勢壘示意圖Fig. 5 Schematics of dislocation barrier

聯系到人們熟知的Johnson-Cook 方程：

此式與Seeger 模型（式（15））一致，只是做了存在準靜態應力-應變關系σs(ε)的假設，以它代替了式(15)的τ0，并相應地引入了無量綱超應力(σ-σs(ε))/σs(ε)。

關于U(τ)，除了Seeger 線性模型外，研究者們還建議了眾多的非線性關系式，其中具有代表性的如下。

（1）Davidson-Lindholm 模型[9]，由下式表示：

式中：Z 為材料參數，當Z 取不同值時，就對應于不同的勢壘形狀，如圖5(b)所示。當Z =∞時，=1 ，就化為Seeger 模型。

（2）Kocks-Argon-Ashby 模型[10]，如下式所示：

式中：U0（=τcV*）為應力為零時的激活能。此式由于包含p 和q 兩個參數（0 ＜p≤1 ，1 ≤q≤2 ），顯然比Davidson-Lindholm 模型（式17）更為一般化。

（3）Wang 雙曲型勢壘譜模型[11]，如式（19）和圖5(c)所示：

此處應變率權重函數 ψi一般是、和T 的函數，并滿足：

至此，式（14）至式（19）都是基于Orowan 簡化式（式(12c)）展開分析的，忽略了可動位錯密度對時間的變化率的影響，從而在實質上忽略了以位錯增殖機理為基礎的應變硬化效應。

Zerilli 等[12]考慮了應變硬化效應，并且注意到不同晶格結構的應變率敏感性是不同的，對于體心立方晶格（BCC）和面心立方晶格（FCC）分別提出以下本構關系：

被稱為Zerilli-Armstrong 方程，式中還增加了長程非熱應力σg項（第1 項）和考慮了晶粒尺寸d 對于流動應力的影響（最末項），C1、C2、C3、C4和k 均為材料參數。

在以上討論中，在沒有熱激活的幫助時，位錯為跨過勢壘所必需的力學閾值應力（mechanical threshold stress）τ0，已假定是恒值（參看圖5 中的勢壘峰值應力τ0）。實際上，一旦微結構發生演化，τ0也隨之變化，在宏觀上表現為應變率歷史效應。對此，Follansbee 等采用Kocks-Argon-Ashby 的非線性模型（式（18）），但把τ0看作應變和應變率的函數，則式（18）當以正應力來表示時，可寫成如下無量綱形式[13]：

式中： g0=U0/(G(T)b3)

為無量綱歸一化激活能，G(T)為彈性剪切模量，一般是溫度T 的函數。式（21）稱為力學閾值應力模型。下一步的關鍵和難點在于如何確定力學閾值應力演化關系 σ0=σ0(ε,ε˙) ，通常依靠一系列包含不同應變/應變率歷史的“動態預加載-卸載-再加載”實驗來確定。

有關U(τ)非線性關系式的更詳細討論，可參考文獻[1-2]的第6 章。由上述討論可知，不論U(τ)取什么形式，其實都是式（14）的具體表現，都屬于流動型黏塑性本構關系。

3 討論

由以上從宏觀塑性本構理論和微觀位錯動力學機理兩個角度分別對于“塑性”的討論，一致地表明，所謂“塑性”本質上是速率/時間相關的黏塑性流動，塑性本構關系屬于率相關流動型黏塑性本構關系。這一關系同時適用于加載和卸載。

對于流動型本構關系，理應在應力-應變率坐標中討論，而難以用應力-應變圖來描述，除非在給定應變率下，表現為一系列不同應變率下的不同的應力-應變曲線。即使這樣，這些所謂的應力-應變曲線其實隱含著應變在給定應力和應變率下隨時間增長的過程，不同于形變型本構關系的應力-應變曲線。

不難理解，對于那些習慣于準靜態的應力-應變分析（不包含應力波傳播的時間效應），以及習慣于在應力-應變坐標中討論形變型本構關系的研究者，如果繼續在應力-應變坐標中討論本應以應力-應變率所表征的流動型塑性本構關系，難免會遇到各種困擾，以致模糊了黏塑性流動律本身的特征和表現。

特別在彈性形變律與塑性流動律相耦合的彈-黏塑性情況下，尤其需要注意區分形變律與流動律。在主應力（σ，σ2，σ3）空間，如圖6 所示[14]，如果加載和卸載路徑都落在Mises 屈服圓柱以內，則服從彈性形變律。如果加載路徑落在Mises 屈服圓柱以外、劉氏斷裂鐘以內，則塑性流動遵循黏塑性流動律（式(6)、式(14)），與之相耦合的彈性變形則繼續遵循彈性形變律；一旦卸載，黏塑性流動部分將遵循同一黏塑性流動律（式(6)、式(14)）卸載，與之相耦合的彈性變形則遵循同一彈性形變律卸載。這時，對于給定的應力加載歷史σeff(t)，由塑性流動律可以確定對應的塑性應變率歷史，從而進一步通過時間積分可確定相應的塑性應變響應。不過要注意，當應力卸載時，對應的塑性應變率當然也跟著降低，但積分所得的塑性應變εeff(t)并不立即減小而會隨時間繼續增加，直到卸載應力落到和落在Mises 屈服圓柱以內，塑性流動停止，只剩下彈性卸載；因而實際上并不存在本構關系意義上的塑性應力-應變關系，也不存在基于塑性形變理論假設所提出的所謂“后繼屈服面”和“塑性變形的彈性卸載”，等等。現有塑性力學教材的部分相關內容是否應作相應修改，無疑給我們提出了一個挑戰。

圖 6 應力空間中的Mises 屈服圓柱和劉氏斷裂鐘面[14]Fig. 6 Mises yielding cylinder and Liu's bell-like fracture surface in principal stress space[14]