變尺度正交基函數(shù)分解對異常信號的探測方法

李啟飛，溫 瑋，韓蕾蕾，范趙鵬，李沛宗

(1.海軍航空大學，山東 煙臺 264001;2.解放軍91550部隊，遼寧 大連 116000；3.解放軍91001部隊，北京 100000)

0 引言

航空磁探測作為當今有效的磁探測手段，已被充分應用到地磁場測量、地磁異常檢測、航空物探等民用領域[1]以及水下目標檢測等軍用領域[2]。由于水下目標中含有的大量鐵磁性物質，會對附近的磁場造成一定程度的擾動，通過對這些擾動，即地磁異常的測量與檢測，就能夠實現(xiàn)對水下目標的檢測。

文獻[3]磁偶極子模型出發(fā)，提出了用5個正交基函數(shù)作為基底函數(shù)，實現(xiàn)OBF分解對磁異常信號的檢測。文獻[4]提出了三個正交基底的OBF分解對磁異常信號的檢測。文獻[5]通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡對數(shù)據(jù)預處理，提高信噪比，從而提高了OBF分解的檢測效果。文獻[6]提出用小波對磁異常信號進行預處理，并用OBF分解實現(xiàn)非高斯噪聲情況下的弱信號檢測。文獻[7]通過在OBF分解前，使用窄帶濾波器對檢測數(shù)據(jù)的預處理，從而將噪聲高斯化，并提高了信噪比，從而降低了虛警概率。文獻[8]對目標運動情況下的OBF分解進行修正，實現(xiàn)對動目標的檢測。

在算法仿真過程中，需要知道目標與飛行航路CPA點的距離R0，但在時間檢測過程中，對目標缺乏先驗信息，無法獲知其位置先驗信息，故而缺乏對R0的掌握，使得在實際應用過程中，無法使用經(jīng)典的OBF檢測算法。故本文提出變尺度正交基(Variable Scale Orthogonal Basis Function,VSOBF)分解的方法，通過對基函數(shù)的改造，實現(xiàn)對R0的有效估計。在對R0估計的過程中，如果對m進行遍歷，既影響定位精度，又降低運算速度，所以針對m-E曲線特性，通過梯度上升法，對最優(yōu)解進行迭代求解。

1 OBF模型

1.1 磁異常探測模型

當磁傳感器與水下目標的距離大于目標尺寸2～3倍時，目標的磁場可以被認為是由等效磁偶極子的磁場。其在空間點的磁場強度為：

(1)

式(1)中，μ0為真空磁導率。

因為目標磁場B遠小于地磁場,所以標量磁探儀所測量的磁異常值S可以用目標磁場B在地磁場T上的投影表示：

(2)

圖1是本文的目標與磁探平臺的坐標系。

假設目標靜止,磁探平臺的運動方向為a，平臺運動航線與目標的最近點稱為CPA點，一般情況下我們認為，當磁探平臺在CPA點附近時，采集到目標的信息最豐富。h是磁探平臺和目標的高度差，l是兩者之間的橫向距離。D是磁探平臺距離CPA點的距離，并令w=D/R0。VSOBF算法的目的就是針對R0進行準確估計。

1.2 傳統(tǒng)的OBF檢測算法

OBF分解是將水下目標磁偶極子模型下的磁場分解成由數(shù)個正交基的加權和的一種方法，OBF分解對磁異常信號檢測的方法是對各基函數(shù)的加權系數(shù)進行平方和運算，并作為檢測統(tǒng)計量的一種檢測方法，具體過程如下。

我們討論用三個基函數(shù)的作OBF分解時的情況，信號是3個基函數(shù)的線性組合，即

(3)

2 VSOBF模型

2.1 基于VSOBF對OBF算法的改進

在傳統(tǒng)OBF分解檢測的仿真過程中，需要知道CPA點到目標位置的距離信息R0，由于在實際探測過程中，目標位置屬于未知信息，所以傳統(tǒng)OBF分解方法對磁異常信號的檢測很難在實際過程中進行使用。為了能夠將OBF應用于實際檢測，就需要對R0進行準確的估計，本文提出了對基函數(shù)進行尺度、幅度變換，構造出與距離估計量R0est有關的基函數(shù)g(m,n)，通過對不同距離估計量R0est對檢測統(tǒng)計量的影響，從而對距離作出準確的估計。

構造新基函數(shù)gi(m,n) ：

(4)

式(4)中，m=(R0/v)/(R0est/v)，n=t/(R0est/v)。現(xiàn)對基函數(shù)的正交性進行驗證：

(5)

通過驗證可知，該基函數(shù)滿足正交性。

其信號與基函數(shù)的線性關系如下：

(6)

其系數(shù)bi表示為：

(7)

式(7)中，Δu=v/(fs·R0est)，fs為數(shù)據(jù)的采樣率，v為磁探平臺的運動速度。在變尺度基函數(shù)分解的情況下，其檢測統(tǒng)計量Eest表示為：

(8)

假設R0est的值為某常數(shù)C時，改變m的大小，當m=m0=R0/R0est時，其能量輸出Eest在CPA點附近達到最大值Emax。實際距離R0計算如下：

R0=mR0est

(9)

2.2 梯度上升法

當對Eest的最大值進行搜索的過程中，如果對m從小到大依次搜索，會產(chǎn)生較大的計算量；并且由于搜索步長固定，從而使搜索的m的精度較低，所以我們急切需要一種算法來減少計算量。

從大量仿真中，我們發(fā)現(xiàn)當存在目標時，通過搜索m從而實現(xiàn)對距離R0的估計過程中，其統(tǒng)計量Eest在m0=R0/R0est出為最大值，當mm0時，為Eest相對于m為單調減函數(shù)。此種情況下，采用梯度上升法對Eest的最大值進行搜索，不用擔心陷入局部最優(yōu)解的困境。

磁探儀一般情況下對水下目標的探測最遠距離為500 m左右，所以我們將距離估計值R0est設為200 m是較為合理的。m的取值范圍取0.25～2.5(無量綱)。所以我們對m的搜索可以在該區(qū)間內(nèi)進行。

步驟1 計算m=a,b兩點的統(tǒng)計量最大值Ea,Eb，a,b的取值要盡可能的接近且a>b，并對兩點的梯度進行計算。我們將梯度Ea/Ea1定義為收斂速度，其中Ea1為第一次迭代的梯度初值，當梯度值越趨于0時，其對Emax的搜索值Eest便與真值越接近。梯度Ea表達式如下：

(10)

步驟2 按照梯度正方向來更新計算點，新的計算點表達式如下：

mb=kEa+ma,Ea>0
ma=kEa+mb,Ea<0

(11)

式(11)中，將ma,mb進行交換，始終保持a>b；k為步長，步長設置既不能過大，也不能過小。步長過大會造成結果不收斂，步長過小會造成計算量增大，難以發(fā)揮該算法的優(yōu)越性。

步驟3 設置門限T，當Ea>T時，返回步驟1，進行迭代計算；當Ea

圖2 梯度上升法示意圖Fig.2 Gradient rise method

對圖2中y=-x2+1函數(shù)求取最大值進行舉例，步長為0.5，ma=1,mb=0.9，在迭代6次左右就已經(jīng)收斂，并正確尋至最大值。

3 VSOBF的仿真

為了驗證算法的有效性，我們用仿真數(shù)據(jù)進行仿真分析。在此，我們定義信噪幅度比Rsn，并表示為對數(shù)形式：

(12)

式(12)中，Smax為磁異常信號的峰值，std(n)表示為噪聲的標準差。

本次仿真使用噪聲n為服從均值為0，方差為0.38的高斯白噪聲，用來模擬地磁噪聲。梯度門限T設置為0.001，并假設磁探平臺過頂，由南至北飛過水下目標。

仿真1R0的真值為300 m，Rsn=-18.58 dB。設置搜索步長k為0.66，搜索起點為ma=1,mb=0.9。仿真結果如圖3所示。

圖3 R0=300 m的距離估計以及收斂情況Fig.3 Distance estimation and convergence(R0=300 m)

由圖3可以看出，在迭代30次左右，結果就趨近收斂，其收斂位置為m=1.662 8，距離的估算值R0est=332.56 m，相對誤差為10.85%。

仿真2 當高度R0的真值為250 m，其磁異常信號峰值為0.404 9 nT，Rsn=-7.413 6 dB，設置搜索步長k為0.3，搜索起點為ma=1,mb=0.9。仿真結果如圖4所示。

圖4 R0=250 m的距離估計以及收斂情況Fig.4 Distance estimation and convergence(R0=250 m)

由圖4可以看出，在迭代14次左右，結果就趨近收斂，其收斂位置為m=1.155，距離的估算值R0est=231 m，相對誤差為15%。

仿真3 當高度R0的真值為200 m，其磁異常信號峰值為1.099 5 nT，Rsn=13.87 dB，設置搜索步長k為0.06，搜索起點為ma=1,mb=0.9。仿真結果如圖5所示。

由圖5可以看出，在迭代10次左右，結果就趨近收斂，其收斂位置為m=0.990 4，距離的估算值R0est=198.08 m，相對誤差為1%。

圖5 R0=200 m的距離估計以及收斂情況Fig.5 Distance Estimation and Convergence(R0=200 m)

通過以上仿真我們發(fā)現(xiàn)，在存在噪聲的情況下，VSOBF對距離R0的估計總是存在一定的誤差，并且在噪聲越大的情況下，其定位誤差越大。在算法實際使用過程中，誤差是不可避免的，所以需要通過仿真的方法對不同距離估計值R0est下的誤差進行定量分析。

仿真4 通過蒙特卡洛法，在100 m,200 m,300 m高度上進行300次仿真，對定位誤差進行分析，得到下面的結果。

圖6—圖8是R0為100 m,200 m,300 m時的R0est的分布情況，在不同的Rsn下，受到噪聲影響，R0est基本符合高斯分布。

圖6 R0=100 m的m的分布情況Fig.6 Distribution of m (R0=100)

圖7 R0=200 m的m的分布情況Fig.7 Distribution of m (R0=200)

圖8 R0=300 m的m的分布情況Fig.8 Distribution of m (R0=300)

表1R0est統(tǒng)計信息情況
Tab.1 Statistical Information ofR0est

距離真值R0/mm距離估計值R0est方差均值均值方差1009.17×10-60.48997.910.362000.00120.978195.7548.423000.02221.47295.5891.4

從統(tǒng)計信息中來看，當R0為100 m時，信號強度最大，對R0的估計最準確；隨著R0的增大，對R0的估計R0est的偏差越大；當R0為300 m時，P{250

下面對檢測器性能進行分析。

通過大量仿真我們得到了不同信噪比下的輸出Emax的分布。

圖9是在噪聲功率為5.03，R0為200 m時的輸出Emax的分布情況，其Rsn為-15.21 dB。實線為僅有噪聲情況下的Emax輸出分布；虛線表示為當存在信號時的Emax輸出分布。可以看出，當E作為檢驗統(tǒng)計量時，對高斯噪聲下的磁異信號檢測有較好的效果，區(qū)分程度很高。

圖9 R0=200 m，Rsn=-15.21 dB時Emax分布情況Fig.9 Distribution of Emax(R0=200 m，Rsn=-15.21 dB)

不同噪聲情況下，使用VSOBF對磁異常信號的檢測，在不同虛警率下Pfa，使用大量仿真得到其性能曲線，如圖10所示。

圖10 VSOBF的ROC曲線Fig.10 ROC curve of VSOBF

通過對檢測器性能曲線的分析，我們看出，在當Rsn=-10 dB,即信號基本淹沒在噪聲中時，VSOBF檢測器依然能在一定的虛警率下，保持較高的檢測性能。

由于很難選取到既具備較快的搜索速度，又能夠防止搜索結果不收斂的梯度上升法的步長k，仿真5就不同k值對迭代收斂情況進行討論，并給出了切實的k選取方法。

仿真5R0的真值為300 m，Rsn=-18.58 dB。設置搜索步長k為17.8，搜索起點為ma=1,mb=0.9。其仿真條件除了步長外，與仿真1條件一樣。

如圖11所示，當k設置過大時，會出現(xiàn)迭代不收斂的情況，其收斂速度出現(xiàn)有規(guī)律的擺動，并且不隨迭代次數(shù)的增加而趨于收斂，即使迭代490次，其收斂情況仍然不理想。

圖11 步長k過大的結果(不收斂)Fig.11 The result of too large step k(misconvergence)

同條件下，當步長設置為仿真1中步長的1/3倍，即為0.22時，其收斂效率只有仿真1中收斂效率的1/3倍，導致對Emax的無效搜索時間過長。其結果如圖12所示。

圖12 步長k過小的結果(效率低)Fig.12 The result of too small step k(inefficiency)

梯度法求最值的步長選取中，一般以3倍來尋找合適步長，當發(fā)現(xiàn)收斂速度過慢時，將步長乘以3倍，用以提高收斂效率；當出現(xiàn)不收斂的情況，即步長過大時，將步長除以3，再重新求取最大值。

4 結論

本文提出了變尺度正交基函數(shù)分解對磁異常信號的探測方法，通過對基函數(shù)在幅度和尺度上的改造，從而實現(xiàn)對磁探平臺與目標之間距離的較為準確的估計，并運用梯度上升法大大提高了對距離估計值R0est的搜索速度，降低了計算量。使得OBF分解檢測算法能夠用于實際檢測過程中，其中對于R0=300 m情況下，偏差50 m范圍內(nèi)的概率為93%；且能夠在-10 dB的信噪幅度比下較好地檢測出磁異常信號。

但是，本方法存在以下不足：

1) 通過R0的估計，仍不能準確對目標進行定位，而是將目標定位CPA點附近，距離為R0est的水下區(qū)域中，對于下一步的目標準確定位，還需要對目標相對與探測平臺的方位角進行估計。

2) 海洋高空地磁噪聲在是分形噪聲，本文僅針對高斯白噪聲下的水下目標進行檢測。距離實際應用仍有一定的差距。