共享頻譜雷達恒模發射波形設計方法

張令浩，張劍云，周青松

(國防科技大學電子對抗學院，安徽 合肥 230037)

0 引言

射頻資源是寶貴的自然資源，近年來，眾多服務包括雷達、通信圍繞這一資源的爭奪愈發激烈。特別是最近5年來，民用通信技術迅猛發展，5G通信技術也即將進入日常生活。在C波段頻譜資源爭奪表現地十分明顯，在這一波段雷達與通信的用戶地位隨著通信的發展產生易位，這說明，雷達在這一波段與通信重合的射頻頻段必須作為“第二用戶”工作。 另一方面，從雷達的角度來看，雷達發射探測信號追求高距離分辨率，而信號的帶寬決定了分辨率，所以雷達系統追求占據更大帶寬。實際上，不僅是通信、雷達，還有無線電定位、衛星導航、廣播等領域都在迅猛發展，積極擴大自身占據的射頻資源，導致射頻資源緊張，交疊現象日趨嚴重。因此提高頻譜利用效率，實現頻譜資源合理共享具有深刻的現實意義。

針對當前雷達在占用頻譜資源上面臨一部分挑戰，文獻[1]作了客觀分析并描述這些挑戰來自于持續的頻譜相互侵占，而且認為這需要增強對干擾的魯棒性和波形多樣性。文獻[2—7]為實現頻譜共享提供了一些波形設計技術，以使雷達信號具有某些期望的譜槽(凹槽)。與以上頻譜中直接設計凹陷的思路不同，文獻[8]則提出了一種利用循環方法設計具有低自相關旁瓣水平和頻譜特定頻率凹陷的算法。除了考慮以上這些設計波形思路，Augusto.Aubry等人在文獻[9-10]中利用凸優化理論提出了一種經典方法，該算法針對時域和頻域施加約束，建立凸優化問題模型，將非凸問題松弛求解，然后結合秩一分解理論[11]進行求解，并指出設計恒模波形具有更大的實際價值。文獻[12]利用凸優化模型對MIMO雷達設計恒模信號，并且將發射和接收端聯合考慮，進行優化，但并未對設計的波形考慮頻譜兼容性。此后該團隊在文獻[13]提出了一種迭代算法研究了連續和有限相位字母表情況時恒模和相似約束下二次優化問題，算法復雜度較低。本文針對射頻頻譜環境日益擁擠、頻譜利用率不高的問題，提出了利用凸優化結合迭代算法設計恒模波形的方法。

1 共享頻譜恒模波形設計模型構建

本節將對恒模波形設計實現頻譜共享的思想進行數學抽象，分析問題背景并建立信號、共享頻譜的模型。主要考慮基于凸優化確立目標函數，添加約束條件，最終得到建立共享頻譜優化波形的非凸問題模型。

假設s∈CM′×1為離散時間信號，用以表征雷達發射的探測信號波形，M′代表信號的長度。令接收信號為y，且y是M′維的快時間維列向量，從接收端分析，可以建立模型如下：

y=βs+n′

(1)

式(1)中，β代表著從已知的目標距離方向角范圍內的信道傳播和后向散射效應的一個復參數，n′代表著獨立的信號干擾，接收機內部熱噪聲、干擾信號、交疊頻段干擾都認為是可能的獨立干擾源。總之，將n′建模為一個M維協方差矩陣，均值為零的復高斯隨機向量。

眾所周知，為獲得較高的距離分辨率，雷達發射的探測信號需要具有良好的自相關特性。通過控制信號與參考信號的相似程度從而能夠很好地控制信號的變化，這種約束方法也被稱為添加相似性約束。而線性調頻信號是具有良好自相關特性的雷達常用信號，通常作為相似對象。用數學表示為：‖s-s0‖2≤κ，其中κ≥0，s0為參考信號。

s?RIs≤EI

(2)

(3)

以雷達系統的檢測性能為優化指標，選擇輸出信干噪比作為優化對象。假設信號通過線性系統，ω作為系統系數，由式(1)知，yout=βω?s+ω?n′，則輸出信干噪比：

因為M1/2M-1/2=I,則有

對上式利用Schwartz不等式可以得到如下結果：

令R=M-1,希望最大化信干比，有

(4)

為實現頻譜共享，文獻[9]重點針對能量約束尋找優化波形做了全面的分析，本文進一步考慮貼近工程實踐，改進文獻[9]中的模型，尋求解決恒模波形設計的算法。

同樣假設信號能量為1，信號不再為任意序列而是約束為恒模序列，考慮頻譜兼容性約束及相似性約束得到：

(5)

很明顯模型(5)的約束條件中恒模約束是非凸集合，另一方面，除了恒模約束以外的兩個約束條件會使得可行集合壓縮，甚至相互矛盾導致空集。仿照Aubry等人在文獻[9]對能量約束的闡述。本文對于模型(5)，仍利用凸優化方法解決。

2 非凸問題松弛結合迭代算法求解

上一小節中，利用凸優化手段建立了設計恒模發射波形實現雷達與其他服務共享頻譜的數學模型，本節將討論對建立的模型的求解問題，對非凸問題進行松弛，然后結合迭代算法尋找優化解。

首先對模型(5)進行分析，一方面討論模型(5)的松弛求解，另一方面分析在松弛后問題的可行集區域。同時利用高斯隨機化方法生成優化信號。

本文為敘述完整，下面針對模型(5)進行分析。將式(5)寫成如下形式：

(6)

進一步得

(7)

(8)

式中，σ=(1-κ/2)2,S=ss?，而且‖s-s0‖2顯然滿足

‖s-s0‖2=[2-2Re(s?s0)]

(9)

將式(6)恒模約束拋掉，將目標函數和約束條件寫成跡的形式，并且只對S=ss?的主對角線元素作約束，松弛成可解的SDP問題，可以得到Q′，其中S0=s0s0?。Q′是對(6)的較大的松弛，二者并不等價，但仍然需要先給出Q′的解，然后結合迭代算法控制波形，得到效果更好的優化波形

(10)

式(10)中，S0表示S為半正定矩陣。在求解該問題之前，需要分析約束條件所構成的可行區域問題。由q1中約束條件分析，EI的取值范圍應為得到式(11)的解，同時取構成可行集。其中表示問題的優化值。

(11)

進一步等效為：

(12)

如同式(6)寫成式(7)，將式(11)可以寫為

(13)

在這里，利用高斯隨機化方法[12]尋找優化解，并令s″=s′ejarg(s′?s0)。使用該方法，選取生成的隨機化次數越高，便能夠越好地得到高度近似解。

由于在松弛過程中，拋掉恒模約束，使得優化解偏離最優解很多，得到信號在指定的頻段能量譜密度會有所降低，但降低幅度較小，因此進一步考慮將此優化解作為相似對象，繼續尋找效果更優的信號序列。

文獻[13]提出一種迭代算法，可以用來在常模與相似約束下尋找頻譜能量降低的信號。為保證本文結構的完整性，本文將對文獻文獻[13]中方法的思想進行概述，以下簡稱連續相位迭代算法(IA-CPC)。

首先，在上面的模型構建中，相似性約束都是利用數學表達式‖s-s0‖2≤κ，其中κ≥0，s0為參考信號。此時，考慮換另一種表述，利用m無窮范數‖s-s0‖m≤ξ，ξ≥0表示。

那么對于恒模約束和相似性約束，可以建立模型為：

(14)

進一步轉化得到

(15)

式(15)中，γi=args0(i)-arccos(1-ξ2/2)，而且δ=2arccos(1-ξ2/2) 。迭代求解目標函數值，主要的思想是將信號s中M′-1個元素固定，優化剩下的一個元素，然后以此方法優化所有元素，得到一個優化信號，然后以此信號作為相似信號，重復以上步驟，當信號滿足設定條件或者循環次數結束，則輸出信號，具體見文獻[13]。

結合上述迭代算法，便可以很好地解決設計恒模波形實現共享頻譜的問題。大體思路如下：利用凸優化工具箱求解模型(10)，再用高斯隨機化方法，隨機生成X組零均值協方差矩陣為S的高斯隨機向量，即ξi∈CM′×1,i=1,…X，并且同時滿足ξi～N(0,S) ，每生成一組隨機向量ξi代入目標函數表達式中得到相應的信干噪比(SINR),選取使得SINR最大的隨機向量作為輸出的信號s″。

然后再將s″作為相似對象, 控制相似性參數，這里取較小的參數，使優化解在較小的范圍內變化，求解以下問題：

(16)

式(16)中，γi=args″(i)-arccos(1-ξ2/2) ，而且δ=2arccos(1-ξ2/2) 。

根據以上思路，本文提出的高斯隨機化方法結合IA-CPC算法步驟如下：

1) 利用凸優化工具求解Q′(10)模型并得到復矩陣S′，同時計算S′的秩；

2) 若rank(S′)=1,直接對S′進行特征值分解即得到最優解，跳到步驟5)；

3) 若rank(S′)>1，以均值為零，協方差矩陣為S′隨機生成X組隨機向量，同時代入信噪比表達式；

5) 取s″=s′ejarg(s′?s0)；

6) 利用連續相位迭代算法(IA-CPC)求解模型(16)；

7) 輸出信號s。

3 實驗仿真

本節將添加相關數值并進行仿真。需要說明的是，仿真過程中為更好地體現算法一的有效性，將先對算法一中步驟5的輸出結果進行分析，然后對步驟7輸出的信號作仿真。

假設相似對象為線性調頻信號滿足：

(17)

假設在歸一化頻帶上，存在以下幾個重疊頻帶，

對于干擾，假設干擾有窄帶敵對干擾、白噪聲以及交疊頻段合法的發射器產生的干擾，各干擾源相互獨立。干擾信號的協方差矩陣建模為[9]：

(18)

下面對模型(5)進行實驗數據仿真，根據式κ≥v((Q)′EI)與式(12)、式(13)畫出可行集區域(注意：在仿真圖中使用E代表公式中EI)，見圖1。

圖1 干擾相似性區域Fig.1 Interference and similarity achievable region

根據圖5中標注出的其中幾個點的數據進行仿真(E1=0.08，K1=0.085 6)、(E2=0.08，K2=0.153)、(E3=0.08,K3=0.216)。

選擇(E1=0.08，K1=0.085 6)解決問題模型(10)，利用高斯隨機化方法生成信號，隨機化次數選擇為20 000次，并取恒模得到信號s′,仿真其自相關函數(ACF)和能量譜密度(ESD)效果如圖2。

圖2 高斯隨機化方法自相關仿真結果Fig.2 ACF simulation results of Gauss randomization method

執行步驟5后ESD比較圖如圖3。

執行步驟6)、7)得到的信號自相關函數及能量譜密度結果如圖4、圖5。

從圖2、圖4中可以看出，在求解模型(10)時，利用高斯隨機化方法得到的信號自相關特相較而言，高斯隨機化方法得到的信號自相關特性比較好，并且圖3也可以看出符合在指定的頻段信號譜能量降低的恒模信號要求，說明該模型(10)在求解頻譜共享恒模波形設計時是有效的。但是這樣得到的信號在指定頻段能量譜密度下降5～10 dB，因此考慮以此信號組為相似對象，犧牲部分的自相關特性，得到更明顯的信號頻譜兼容特性。所以看到圖3中紅色線，自相關特性變得稍差，但圖5中，可以看到信號在指定頻段能量譜密度降低明顯。

圖3 能量譜密度比較效果圖Fig.3 Comparison of ESD

圖4 自相關仿真結果Fig.4 Simulation results of ACF

圖5 能量譜密度比較效果圖Fig.5 Comparison of ESD of signals

圖6給出了利用本文的方法得到的信號的幅度為恒定的，利用其他數據點得到的信號幅度都是如此，后面不再重復繪制。

圖6 信號幅度Fig.6 Amplitude of signal

下面，考慮將圖1中不同的點利用本文提出的方法得到的信號進行仿真比較。圖7給出了得到的信號自相關函數仿真結果，可以看到，相對于參考信號(圖中綠色線)，信號的旁瓣水平雖然有所升高，但信號整體的自相關函數特性仍然得到了有效控制，換句話說，犧牲部分自相關特性換取信號的恒包絡特性是有效的。

取頻譜兼容性參數固定的情況下，相似性參數不同，利用圖1的數據得到的信號能量譜密度結果如圖8所示。

圖7 信號的自相關函數仿真結果Fig.7 Simulation results of signal autocorrelation function

圖8 能量譜密度比較效果圖Fig.8 Comparison of ESD

除此之外，也對該方法得到的信號信干噪比進行仿真，給出信干噪比在E=0.08時，隨著相似性參數k的變化趨勢，如圖9所示。

圖9 E=0.08時信號信噪比隨k變化曲線 Fig.9 Change curve of SINR with k when E=0.08

同理，根據圖5中標注出的其余幾個點的數據進行仿真(E1=0.08，K1=0.085 6)(E4=0.121;K4=0.085 6)(E5=0.16,K5=0.085 6)，信號自相關函數與能量譜密度對比圖如圖10、圖11。

圖10 信號的自相關函數仿真結果Fig.10 Simulation results of signal autocorrelation function

圖11 能量譜密度比較效果圖Fig.11 Comparison of ESD

從仿真圖7—圖11可以看出利用本文方法可以在指定的頻段給出了一個很好的“頻譜凹陷”，即能夠有效地實現在該凹陷的頻率范圍實現與其他服務的共享，但仿真結果也說明，良好的頻譜兼容特性是犧牲信號的自相關特性換取的。盡管如此，我們仍可以在一個合理的范圍內，利用該方法找到頻譜兼容特性和自相關特性盡可能好的恒模信號，圖9顯示，該方法得到的信噪比在E=0.08時圖1給定的可行集區域內呈現上升趨勢，進一步說明的該方法的有效性，曲線之所以不是十分平滑，是因為在該方法在具體執行過程中利用高斯隨機化方法生成信號具有隨機性造成的。在計算復雜度方面，該方法既涉及求解SDP問題，同時也涉及迭代算法，而求解SDP問題復雜度要遠高于后者復雜度，此外計算復雜度也與高斯隨機化方法生成信號的次數有關。

4 結論

本文提出了共享頻譜雷達恒模發射波形設計方法。該方法的主要思想是針對恒模要求等約束條件利用凸優化手段建立數學模型，分析可行集并將非凸問題松弛成為可解的SDP問題。然后利用高斯隨機化方法生成優化信號，但是由于松弛之后的問題模型偏離初問題比較明顯，得到的解在指定的頻段頻譜密度僅下降10 dB左右，進一步利用迭代算法(IA-CPC)控制相似性參數得到頻譜兼容特性更好的信號。仿真結果表明，利用本文提出的方法得到的優化信號在指定頻段頻譜能量下降明顯，效果理想，能夠很好地實現雷達與通信共享頻譜。該方法涉及的計算復雜度仍較高，下一步研究方向是對現有方法進行改進、優化，以降低算法復雜度。