利用時(shí)頻分析頻率重心的跳頻周期估計(jì)方法

孫慧賢，劉廣凱，張玉華，全厚德，唐友喜

(1.陸軍工程大學(xué)電子與光學(xué)工程系，河北 石家莊 050003；2.電子科技大學(xué)通信抗干擾國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 611731)

0 引言

跳頻通信由于其優(yōu)良的低截獲概率和抗干擾性，在軍事通信對(duì)抗領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。其中，跳頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)，尤其是跳周期估計(jì)已成為研究的重點(diǎn)[1]。

跳頻信號(hào)屬于典型的非平穩(wěn)信號(hào)，國內(nèi)外學(xué)者大多采用時(shí)頻分析方法得到清晰的時(shí)頻圖后，再估計(jì)其跳頻參數(shù)。時(shí)頻分析方法主要包括以短時(shí)傅里葉變換(Short Time Fourier Transform, STFT)、Gabor變換、小波變換和S變換等為代表的線性變換和以魏格納威爾分布(Wigner-Ville Distribution, WVD)、偽WVD(Pseudo Wigner-Ville Distribution, PWVD)、平滑偽WVD(Smoothed Pseudo Wigner-Ville Distribution, SPWVD)及以Cohen類為核函數(shù)的Cohen類非線性變換，但兩類分析方法存在聚集性和交叉項(xiàng)的矛盾。S.Barbarossa針對(duì)單一跳頻信號(hào)，應(yīng)用WVD時(shí)頻分析方法得到時(shí)頻圖，以該窗內(nèi)時(shí)頻能量最大值處的頻率作為該窗載頻，并給出了跳頻信號(hào)的跳周期、跳頻率和跳時(shí)的估計(jì)方法，在頻點(diǎn)較少時(shí)有很好的估計(jì)性能[2]。在此研究基礎(chǔ)上，國內(nèi)外眾多學(xué)者為減弱WVD分布交叉項(xiàng)對(duì)信號(hào)參數(shù)估計(jì)的影響，采用PWVD、SPWVD和Cohen類等通過在時(shí)、頻域平滑、加窗抑制非線性交叉項(xiàng)[3-7]。基于線性變換的時(shí)頻分析方法能夠完全消除交叉項(xiàng)的影響，文獻(xiàn)[8—10]采用STFT和短時(shí)哈特萊變換(Short Time Hartley Transform, STHT)方法，但存在聚集性不高的問題。對(duì)于聚集性和交叉項(xiàng)的矛盾，部分學(xué)者采用組合時(shí)頻分析[11-12]和重排時(shí)頻分析[1,13]方法達(dá)到二者綜合效果，但同時(shí)引入了計(jì)算量大的問題。在得到跳頻信號(hào)時(shí)頻圖的基礎(chǔ)上，大多采用該窗內(nèi)的時(shí)頻能量最大值所在頻率作為該窗載頻，對(duì)該載頻序列進(jìn)行快速傅里葉(Fast Fourier Transform, FFT)變換，得到跳周期估計(jì)值[3,9,12,16]；同時(shí)文獻(xiàn)[1]指出針對(duì)慢跳頻系統(tǒng)，以同一跳內(nèi)不同窗的頻率重心表征該窗的載波頻率，平均其重心差值，得到跳周期的估計(jì)值。文獻(xiàn)[7]通過1組帶通濾波器將跳頻信號(hào)的各個(gè)頻率分量取出，分別計(jì)算每個(gè)信號(hào)分量的WVD，并將各WVD累加求和，得到新的時(shí)頻分布和參數(shù)估值，其關(guān)鍵在于如何確定帶通濾波器數(shù)并設(shè)計(jì)匹配各分量的帶通濾波器。文獻(xiàn)[15]針對(duì)接收到的多個(gè)未知任何先驗(yàn)參數(shù)的跳頻信號(hào)，提出一種先分離各個(gè)信號(hào)再分別進(jìn)行時(shí)頻分析來估計(jì)跳頻參數(shù)的方法。首先采用特征矩陣聯(lián)合近似最優(yōu)(JADE)算法分離跳頻信號(hào)，再利用多窗口重疊的SPWVD來估計(jì)出跳頻信號(hào)的跳周期等參數(shù)。

以上的時(shí)頻分析針對(duì)的跳頻信號(hào)模型都是理想的矩形跳頻信號(hào)模型，但實(shí)際跳頻信號(hào)的射頻頻譜不可避免的會(huì)受到基帶信號(hào)影響。對(duì)于經(jīng)升余弦濾波的跳頻信號(hào)的跳周期估計(jì)，采用基于時(shí)頻分析的能量最大值會(huì)遇到估計(jì)性能顯著下降的問題[16]。文獻(xiàn)[17]給出了包括基帶信號(hào)在內(nèi)的跳頻信號(hào)模型，但并未深入分析基帶信號(hào)頻譜對(duì)跳頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)的影響。

針對(duì)傳統(tǒng)方法對(duì)經(jīng)過升余弦濾波后的跳頻信號(hào)周期進(jìn)行估計(jì)出現(xiàn)的性能下降問題，提出了利用時(shí)頻分析頻率重心的跳頻周期估計(jì)方法，通過對(duì)比前后窗的頻率重心差值與跳頻率間隔，確定一跳內(nèi)包含的時(shí)頻窗數(shù)目；統(tǒng)計(jì)平均窗數(shù)目與每個(gè)窗時(shí)間長(zhǎng)度的乘積，得到跳周期估計(jì)值。

1 跳頻信號(hào)的時(shí)頻分析

1.1 跳頻信號(hào)模型

跳頻信號(hào)是載波隨機(jī)跳變的信號(hào)，其數(shù)學(xué)模型為：

(1)

式(1)中，S為跳頻信號(hào)功率，TH為跳周期，Tr為跳周期的頻率轉(zhuǎn)換時(shí)間，T0為起跳時(shí)刻，fk為跳頻瞬時(shí)頻率，θ為跳頻信號(hào)相位，gl(·)為經(jīng)基帶成型濾波之后的等效低通信號(hào)。

由式(1)可知，跳頻信號(hào)的參數(shù)集為跳周期、頻率轉(zhuǎn)換時(shí)間、起跳時(shí)刻和瞬時(shí)頻率，對(duì)跳頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)，即是估計(jì)參數(shù)集{TH,Tr,fk,T0}，但TH的正確估計(jì)是其他參數(shù)估計(jì)的前提。同時(shí)，跳頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)依賴于跳頻信號(hào)的時(shí)頻圖，但跳頻信號(hào)的時(shí)頻圖會(huì)不可避免的受到基帶信號(hào)的頻譜影響；因?yàn)樘l信號(hào)的射頻頻譜，只是將基帶信號(hào)的頻譜進(jìn)行了射頻搬移，其形狀完全由基帶信號(hào)的頻譜形狀決定，若不設(shè)法消除基帶信號(hào)的頻譜影響，只是以時(shí)頻分析窗能量最大值處的頻率值作為該窗的載頻值，對(duì)未經(jīng)信基帶成型濾波的理想信號(hào)尚可，但可能無法正確估計(jì)經(jīng)基帶成型濾波之后的跳頻信號(hào)。

1.2 跳頻信號(hào)的基帶頻譜

目前跳頻通信常用的基帶成型濾波器為升余弦濾波器，其時(shí)域模型為：

(2)

式(2)中，B為基帶信號(hào)帶寬，α為升余弦滾降因子。

圖1 理想基帶信號(hào)與升余弦濾波后基帶信號(hào)的時(shí)頻域?qū)Ρ菷ig.1 Comparison of the baseband signals between ideal baseband and raised cosine filtered signals

可以看出，經(jīng)過升余弦濾波后，時(shí)域波形出現(xiàn)畸變，頻譜旁瓣大幅度下降。這是因?yàn)樯嘞覟V波結(jié)構(gòu)通過對(duì)時(shí)域波形的加權(quán)疊加，將前后碼元關(guān)聯(lián)起來，破壞了碼元的獨(dú)立性，使時(shí)域波形出現(xiàn)畸變，并且引入了碼間串?dāng)_(Inter Symbol Interference, ISI)；以時(shí)域波形的串?dāng)_，換取減小理想矩形濾波旁瓣能量過大的問題。對(duì)于理想矩形信號(hào)，其頻譜能量集中于零頻(對(duì)射頻信號(hào)而言，集中于載頻)，所以文獻(xiàn)[1—16]得到的時(shí)頻圖為山峰狀(三維)或等高線狀(二維)，能夠以時(shí)頻窗內(nèi)能量最大值所在頻率表征該窗載頻；但實(shí)際跳頻信號(hào)必然會(huì)經(jīng)過基帶成型濾波，經(jīng)升余弦濾波后，基帶頻譜變得平坦，使得通帶內(nèi)能量最大值處不一定能對(duì)準(zhǔn)零頻(對(duì)射頻信號(hào)而言，不一定能對(duì)準(zhǔn)載頻)，所以針對(duì)升余弦濾波后的跳頻信號(hào)，文獻(xiàn)[3,9,12,16]中通過對(duì)時(shí)頻能量最大值所在頻率做FFT得到跳周期估計(jì)值的方法性能會(huì)大幅度下降。

1.3 時(shí)頻分析方法

跳頻信號(hào)是典型的非平穩(wěn)信號(hào)，對(duì)于跳頻信號(hào)的頻譜，應(yīng)同時(shí)從時(shí)域和頻域觀察；時(shí)頻分析能夠從時(shí)間和頻率兩個(gè)方面同時(shí)觀測(cè)信號(hào)的能量密度大小，以及它們隨著時(shí)間和頻率的變化；所以時(shí)頻分析作為跳頻信號(hào)的分析工具越來越重要，下面簡(jiǎn)單介紹常用的時(shí)頻分析方法。

1) 短時(shí)傅里葉變換

STFT的基本思想是在傳統(tǒng)傅立葉變換的框架中，把非平穩(wěn)信號(hào)看成是一系列短時(shí)平穩(wěn)信號(hào)的疊加，而短時(shí)性則通過時(shí)域上的加窗來實(shí)現(xiàn)，并通過平移參數(shù)來覆蓋整個(gè)時(shí)域。其定義為：

(3)

式(3)中，h*(·)為窗函數(shù)的共軛。STFT的含義可解釋為：在時(shí)域用窗函數(shù)h*(·)截取信號(hào)s(t)，對(duì)截取結(jié)果進(jìn)行FFT，即可得到在t時(shí)刻該段信號(hào)的頻譜情況；不斷地移動(dòng)窗函數(shù)h*(·)的中心位置，即可得到不同時(shí)該的頻譜值；這些頻譜值集合，即是STFT(t,f)。

2) Cohen類時(shí)頻分析

Cohen類時(shí)頻分析把眾多二次時(shí)頻分布統(tǒng)一成一種形式，可改善STFT等線性時(shí)頻分析方法的時(shí)頻聚集性，其定義為：

(4)

式(4)中，φ(ν,τ)為分布的核函數(shù)。

核函數(shù)φ(ν,τ)決定了Cohen分布可能的形式及時(shí)頻分析的性能；當(dāng)φ(ν,τ)=1時(shí)，Cohen分布變成WVD分布；當(dāng)φ(ν,τ)=h(ν)時(shí)，h(ν)為平滑窗函數(shù)，此時(shí)Cohen分布變成PWVD分布，即未加窗的WVD和窗函數(shù)在頻域的卷積；當(dāng)φ(ν,τ)=h(ν)l(τ)時(shí)，相當(dāng)于WVD在時(shí)域和頻域同時(shí)做平滑濾波，變?yōu)镾PWVD分布。

因?yàn)镃ohen類時(shí)頻分析采用二次非線性變換，在改善聚集性的同時(shí)引入了交叉項(xiàng)干擾，如何選擇性能更優(yōu)的核函數(shù)是減弱Cohen類時(shí)頻分析交叉項(xiàng)影響的重點(diǎn)。

3) 性能對(duì)比

以信息熵為指標(biāo)，可以定量分析了幾種時(shí)頻分析的聚集性和交叉項(xiàng)性能，如表1所示。表1中，N為分析時(shí)段內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)，H，G為相應(yīng)的窗長(zhǎng)度。

由表可知STFT的熵值最大，其聚集性相對(duì)較差；對(duì)于WVD，PWVD和SPWVD等時(shí)頻分析方法，由于增加了時(shí)、頻域?yàn)V波等相關(guān)處理，提高了其時(shí)頻聚集性。

表1 幾種時(shí)頻分析的信息熵Tab.1 Information entropy of time-frequency analysis

同時(shí)較好的時(shí)頻分析通常會(huì)消耗更多的運(yùn)算量，各種時(shí)頻分析的運(yùn)算量比較，如表2所示。

表2 幾種時(shí)頻分析的運(yùn)算量比較Tab.2 Comparison of the computation of several time-frequency analysis methods

表2中，N，H和P定義與表1一致。由表可知，對(duì)于相同長(zhǎng)度的采樣點(diǎn)數(shù)和時(shí)頻窗長(zhǎng)，WVD的運(yùn)算量最小，但其交叉項(xiàng)干擾較大，當(dāng)跳頻頻點(diǎn)和信號(hào)數(shù)量較多時(shí)，不能得到清晰的時(shí)頻圖。STFT的運(yùn)算量相對(duì)較小，經(jīng)過增大時(shí)頻分析窗長(zhǎng)度，可得到聚集性較好的時(shí)頻圖。同時(shí)對(duì)于跳頻信號(hào)，需要在一個(gè)跳周期時(shí)間內(nèi)完成信號(hào)的時(shí)頻分析和參數(shù)估計(jì)等操作，運(yùn)算量是主要考慮因素，所以運(yùn)算量較小的STFT方法應(yīng)用較多。

2 跳周期估計(jì)算法

對(duì)于經(jīng)升余弦等基帶成型濾波的跳頻信號(hào)，其中心載頻處的時(shí)頻能量值不一定最大，故而以時(shí)頻窗內(nèi)能量最大值所在頻率可能無法表征該窗的真實(shí)載頻，提出以時(shí)頻分析的頻率重心表征該窗的載頻值；通過對(duì)比前后窗的頻率重心差值與跳頻率間隔，確定一跳內(nèi)包含的時(shí)頻窗數(shù)目；統(tǒng)計(jì)平均窗數(shù)目與每個(gè)窗時(shí)間長(zhǎng)度的乘積，得到跳周期估計(jì)值。利用時(shí)頻分析頻率重心的跳頻周期估計(jì)步驟如下：

2) 借鑒平面重心公式，計(jì)算第n個(gè)時(shí)頻分析窗的頻率重心：

(5)

3) 計(jì)算前后兩個(gè)窗的頻率重心差值：

(6)

4)計(jì)算一跳內(nèi)包含的時(shí)頻分析窗數(shù)目Nh：

(7)

式(7)中，ΔF為跳頻率間隔。該式意義為若相鄰時(shí)頻窗的頻率重心差值Δfn-1小于跳頻率間隔ΔF，則此相鄰窗處在同一跳周期內(nèi)；反之，出現(xiàn)了頻率跳變。

5) 統(tǒng)計(jì)平均Nh與窗時(shí)間長(zhǎng)度T的乘積，得到跳周期估計(jì)值：

(8)

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證跳周期估計(jì)算法的正確性，利用Simulink軟件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其仿真參數(shù)如表3所示。

表3 跳周期估計(jì)實(shí)驗(yàn)仿真參數(shù)Tab.3 Simulation parameters of TH estimation experiment

1) 頻率重心法與能量最大值法性能對(duì)比

針對(duì)升余弦濾波后的跳頻信號(hào)，通過仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比頻率重心法與能量最大值法的性能。兩種方法對(duì)升余弦濾波后跳頻信號(hào)的時(shí)頻分析結(jié)果如圖2所示。

如圖2所示，對(duì)升余弦濾波后的跳頻信號(hào)而言，頻率重心法比能量最大值法有更好的時(shí)頻聚焦性。這是因?yàn)樯嘞覟V波后，基帶信號(hào)頻譜變得平坦，時(shí)頻能量最大值處不一定能對(duì)準(zhǔn)該窗的載頻，所以出現(xiàn)圖2(b)的頻率發(fā)散結(jié)果；頻率重心法以該窗內(nèi)的頻率重心所在載頻作為該窗的載頻，可以減弱頻譜擴(kuò)展和平坦帶來的影響。對(duì)頻率重心法而言，由于統(tǒng)計(jì)因素也會(huì)出現(xiàn)個(gè)別窗的重心計(jì)算偏差，但該偏差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于跳頻率間隔，在載頻判斷時(shí)可以歸為一跳信號(hào)，不影響后續(xù)的跳周期TH估計(jì)，同時(shí)從頻率重心所在處的時(shí)頻能量值也可看出，重心所在載頻并不是能量最大值所在載頻處，也證明了應(yīng)用頻率重心法比能量最大值法更適合于分析升余弦濾波后的跳頻信號(hào)。

圖2 兩種方法對(duì)升余弦濾波跳頻信號(hào)的時(shí)頻分析結(jié)果Fig.2 Time-frequency analysis results of frequency hopping signal by two methods

2) 不同時(shí)頻分析方法下跳周期估計(jì)性能對(duì)比

通過仿真實(shí)驗(yàn)，分析采用STFT時(shí)頻能量、WVD和SPWVD三種方法對(duì)跳頻信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析。實(shí)驗(yàn)用的跳頻信號(hào)由偽隨機(jī)序列生成，采用隨機(jī)選取間隔作為一次跳頻信號(hào)的起點(diǎn)，共選100組信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，然后利用頻率重心法估計(jì)跳周期，分析三種方法的性能，不同時(shí)頻分析方法得出的跳頻周幾估值歸一化方差結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同時(shí)頻分析估計(jì)方法的TH估計(jì)性能對(duì)比Fig.3 TH estimation performance comparison of the different estimation methods

從圖3中可以看出，給出了不同信噪比條件下應(yīng)用三種時(shí)頻分析方法進(jìn)行估計(jì)的跳周期歸一化方差。可以看出，當(dāng)SNR較小時(shí)，基于STFT的頻率重心法估計(jì)性能較好，在SNR較大時(shí)，基于WVD和SPWVD的頻率重心法估計(jì)性能較好。

以跳頻周期的5%作為閾值，對(duì)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行準(zhǔn)確定度量，即估計(jì)值與真實(shí)值的偏差小于實(shí)際周期的5%則判為正確，否則為錯(cuò)誤，統(tǒng)計(jì)SNR為0，5，10三種不同信噪比下的估計(jì)正確的次數(shù)，共900組仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如表4所示。

表4 不同方法不同信噪比條件下估計(jì)結(jié)果Tab.4 Estimation results under different methods and SNR conditions

結(jié)合上述仿真結(jié)果進(jìn)行分析可知，利用時(shí)頻分析頻率重心的跳頻周期估計(jì)性能主要受到三個(gè)因素制約：一是噪聲干擾頻率重心的正確位置，二是時(shí)頻分析的交叉項(xiàng)，三是時(shí)頻分析的聚集性。在SNR較小時(shí)，前兩個(gè)是主要影響因素，而對(duì)于STFT不受交叉項(xiàng)干擾影響，此時(shí)其估計(jì)性能較好；而SPWVD通過時(shí)、頻域加窗，消除了部分交叉項(xiàng)干擾，此時(shí)其估計(jì)性能次之；而WVD方法交叉項(xiàng)干擾嚴(yán)重，此時(shí)其估計(jì)性能較差。當(dāng)SNR較大時(shí)，后兩個(gè)是主要影響因素，并且在SNR充分大后，與噪聲的交叉項(xiàng)干擾可忽略，此時(shí)估計(jì)性能主要是時(shí)頻聚集性影響，并達(dá)到時(shí)頻聚集性的極限界；STFT的時(shí)頻聚集性無法達(dá)到測(cè)不準(zhǔn)原理的性能界，二次時(shí)頻分析如WVD和SPWVD可以達(dá)到該性能界，所以在SNR較大時(shí)，基于STFT頻率重心的估計(jì)性能差于基于WVD和SPWVD頻率重心的估計(jì)性能。

3) 不同時(shí)頻分析估計(jì)方法的運(yùn)算開銷

分析第2節(jié)的算法步驟可知，對(duì)于不同的利用時(shí)頻分析頻率重心的跳頻周期估計(jì)算法，在得到時(shí)頻分析結(jié)果之后的運(yùn)算開銷是一樣，都經(jīng)過了H次乘法，H+3N/H次加法。能量最大法的運(yùn)算開銷是在時(shí)頻分析的結(jié)果之后，直接查詢時(shí)頻窗內(nèi)能量最大值所在的頻率。因此，能量最大法的運(yùn)算量比頻率重心法的小。

不同時(shí)頻分析估計(jì)方法的運(yùn)算量不同，主要取決于各種時(shí)頻分析的運(yùn)算量不同。由表2可知，WVD的運(yùn)算量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于SPWVD的運(yùn)算量，對(duì)于慢跳頻系統(tǒng)(時(shí)頻窗內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)小于跳周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)[1])，跳周期的采樣點(diǎn)數(shù)N大于時(shí)頻窗的采樣點(diǎn)數(shù)H，所以對(duì)于STFT的運(yùn)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于WVD，這是因?yàn)闉楸ＷC慢跳頻系統(tǒng)的時(shí)間分辨率，H要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N。所以對(duì)于跳速快的慢跳頻系統(tǒng)，基于STFT的頻率重心估計(jì)跳周期更加適用。

4 結(jié)論

本文提出了一種利用時(shí)頻分析頻率重心的跳頻周期估計(jì)方法，該方法消除了基帶成型濾波對(duì)跳頻信號(hào)的頻譜擴(kuò)展和平坦的影響，以某時(shí)頻分析窗內(nèi)的頻率重心表征該窗的載頻，避免了能量最大值對(duì)于基帶成型濾波的載頻估計(jì)發(fā)散問題，得到了較好的估計(jì)性能。仿真實(shí)驗(yàn)表明，頻率重心法比能量最大值法更適合于分析升余弦濾波后的跳頻信號(hào)。本文所提算法和結(jié)論為經(jīng)基帶成型濾波的跳頻信號(hào)及實(shí)際跳頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)提供了參考和借鑒。