浙教版八年級數學解一元二次方程攻略

吳鳳

【摘要】筆者長期從事一線教學，在八年級數學教學實踐中嘗試總結出一套高效、便捷的解題方法，在本文中以八年級數學一元二次方程的解法應用為例，探索本套解題方法的實踐應用，并希望各位同仁能不斷完善梳理，以便在其他解題過程中實踐應用，以為學生學科思維的引導提出新的路徑。

【關鍵詞】浙教版;八年級數學;一元二次方程;解題思路

一、一元二次方程的基本概念

一元二次方程式指未知數的最高次數是2，等號兩邊都是整數，并且只有一個未知數的方程。在常規的解題認知中，一元二次方程一般情況下都可以轉化為ax2+ bx + c = 0（ a，b，c 為已知數，a≠0） 的基本形式，這種形式在教學中我們也稱之為基本式。在這個基本式當中，ax2 為二次項， bx為一次項，c為常數項。在傳統教學中，一元二次方程式是教學的難點，加之八年級學生剛剛接觸一元二次方程，會造成理解難、沒思路等問題的產生。

二、一元二次方程對八年級數學學習的重要意義

數學是非常重視基礎的學科，初中數學的學習是以小學數學為前提的，而初中數學又是學生步入高中數學學習的基礎。只有基礎扎實了，才能為以后的數學學習打下堅實的基礎，不然基礎不牢，大廈越高傾覆的風險就越大。一元二次方程也是如此，其學習不僅是對學生小學階段數學方程學習的檢驗，也是以后高階方程應用的前提，另外也是九年級數學學習的擴展。在初中時期，一元二次方程的應用是較為常見的，尤其是方程與圖形的結合、拋物線切線等知識的應用，如果不夯實一元二次方程的基礎，以后的學習將會愈加的困難。所以，在八年級一元二次方程的教學必須幫助學生打下堅實的基礎，使學生有清晰的思路、扎實的基礎、解題的思路，這樣才能為學生以后的發展提供有效的前提。

三、一元二次方程的解題思路歸納

首先，直接解法，也就是我們教學中常見的“直接開平方”。這種方法相對來說是最直觀的，對學生來說也最容易掌握，但是，這種方法使用限制較多、范圍較小。其使用范圍主要有：第一，當一次項系數為0的時候，方程只存在2次項，就像2x2 =4此類的，那么就可以直接使用“直接開平方法”，最簡單、最好理解、最適用;第二，方程的左邊是一個完全平方式或者可以轉為完全平方式，而方程右邊為0的時候，就像（x-4）2=10此類的，也可以直接使用“直接開平方法”;第三，是通過“直接開平方法”簡化方程，這類適用范圍也有較為明顯的特征，也就是方程兩邊都是（ax + m）2的形式，就像（x-4）2=（3x-2）2這樣類型的方程。由此可見，“直接開平方法”非常直觀，簡單易懂，但有局限性較大是缺點，當然也要求計算者在計算過程中有高超精細的計算能力，不然非常容易失誤。

其次，配方法，這種方法也是常用的一種方法，從表面意義就可以看出，就是整合一次項、二次項來“配”出一個常數項，“創”出一個平方式，再用“直接開平方”法，最終求出兩個結果。如一元二次方程x2-6x+5=0，用配方法解決第一步就是要把常數項轉到方程的右邊，第二步就是要“配方”，先將一次項系數除以2，同時將其二次方，也就是將一次項的二分之一進行平方，得到的數字就是配方的數字。如上方程所述，一次項系數為-6，其二分之一再平方為9，所以要加上9，方程也轉變為x2-6x+9=4，平方之后則轉變為（x-3）2= 4，然后進行直接開方，最終就能得到5、1兩個實根，然后代入方程進行檢驗，正確。經過上述總結，配方法一般是與直接開方法混合使用的一種解題方法，也是知識點交互使用的混合使用方法。

再次，因式分解法。因式分解法的目的就是將一元二次方程轉變形式，轉化成A·B = 0的基本方式，如果一元二次方程轉化后，=左邊的代數式能分解為兩個A·B = 0的形式。因式分解法主要適用于沒有常數項的情況，如4x2-4x=0，就可以適用因式分解法，根據相關步驟可得4x（x-1）=0，雖然方程形式發生了變化，其實質沒有改變，最終可以得到兩個根0、1，代入方程可以發現是正確的。如果轉變為等式兩邊因式分解，也可以用，比如，2x（x-1）= 4（x-1），先轉移可以轉變為2x（x-1）-4（x-1）=0，經過分解可以得到兩個根為1、2。經過上述分析可知，因式分解法=右邊必須為0，一旦違反此規定，就無法使用因式分解法。

最后，十字相乘法。十字相乘法是一種數學思維方式的應用，總的說來就是將一元二次方程的二次項和常數項先進行分解，然后十字相乘，將方程轉換為兩個整式，然后將兩個整式相加，假如兩個整式相加與一次項相等，就說明分解成功。比如，2x2+x-21=0，這個方程就可以用十字相乘法來解，其過程就是可以先將二次項進行分解為2x·x，然后將-21分解為-3與7，并將兩組數字十字相乘，2x與-3相乘、x與7相乘，這樣便形成了-6x和7x，繼而將這兩項相加，于是就得到了x一個項，所以分解是成功的;如果兩項相加結果不是x，那么就需要再次對二次項和常數項進行分解，多次分解嘗試，直到得到最終結果，這樣對于理解能力較差的學生來說，不僅費時間，而且容易出現錯誤，建議學生慎重使用此方法。

結語：綜上所述，在解決一元二次方程相關問題中，學生是否熟練是重要前提。同時，筆者在總結中可以根據 b2-4ac > 0那么兩個實數根定不相同;如果b2-4ac = 0那么兩個實數根則相等;如果b2-4ac < 0，該方程就沒有實數根。在上述四種解題方法中，因式法是最常用、最通用、使用范圍最大的，但在解題中要將系數值一一對應，直接開平方法使用范圍較小，配方法則對學科思維要求較高，十字相乘法難度較大，如果不熟練，建議慎重使用。