線段最值問題解題策略探討

王磊

[摘要]線段最值問題是平面幾何中常見的問題。該類問題一般以動點為出發點，存在眾多變化量，如線段長、幾何周長和面積等。求解的關鍵是確定最值情形，實現動態問題的具體化。

[關鍵詞]線段;最值;策略

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）08-0022-02

求線段最值是動態幾何的典型問題。由于問題中給定的幾何條件是變化的，存在一些特殊的動點，從而造成相關的線段長不確定。下面探討線段最值問題的解題策略。

策略一：直接利用垂線段最短的性質

連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，這是垂線段的核心性質。因此涉及直線外一點與直線上點的連線問題時，可以結合垂線段的性質來直接構建模型，將動態問題轉化為具體的常規問題。

分析：本題是關于雙動點的線段和問題，基本解題思路是通過適度變換將其轉化為單線段問題，然后結合相應的定理來確定最值情形。對于本題，由于點

策略二：利用兩點之間線段最短公理

“兩點之間，線段最短。”在解析關于兩點之間的線段最值問題時，可以結合問題情形利用上述公理來加以突破。對于不在同一直線上的多線段問題，則可以適度結合軸對稱變換的方法來靈活轉化。

分析：本題求BP的長，實際上就是求PE+PF取得最小值時點P的位置。因此需要分析取得最小值時的具體情形。對于"PE+PF”，其中點P是BC上的動點，而定點E和F均位于BC的同一側，可以通過軸對稱變換的方式，將兩定點轉移到異側，后續利用公理“兩點之間，線段最短”來確定點P的位置。

策略三：利用函數性質分析最值

函數思想同樣可以用于線段最值問題的分析，即構建關于線段長的代數模型，利用函數性質來加以分析。比如利用二次函數來直接求最值，利用一次函數來分析數值變化。而構建函數時需要結合公式定理，常用的有勾股定理、相似三角形的邊長比例特性。

策略四：通過“畫圓”確定取值情形

繪制軌跡圓是求解動點問題的方式之一，在分析動點背景下的線段最值問題時，可以通過“畫圓”來確定動點的運動軌跡，進而結合相關性質定理確定線段的最值。

分析：根據題干條件可知DF=DB=CD始終成立，隨著點E的變化點F的位置也會變化，但DF始終與DB等長，則點F的軌跡就為一個圓，則可以通過“畫圓”來構建點F的軌跡，進而確定AF的最值。