以2019年全國卷I文科第16題為例談數學研究性學習

王昌林 李濤 羅萍雙

[摘要]將知識與實際應用有機結合，最后達到學以致用，培養學生的應用意識，是研究性學習的最終目的。文章以2019年全國卷I文科第16題為例對數學研究性學習進行說明。

[關鍵詞]研究性學習;2019年全國卷I;高考;文科

[中圖分類號]G633.6 [文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）08-0001-03

數學研究性學習是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習的過程。這個過程包括：觀察、分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適當的數學結論或規律，給出解釋或證明。研究性學習是高中數學課程中引入的一種新的學習方式，有助于學生初步了解數學概念和結論產生的過程，初步理解直觀和嚴謹的關系，體驗創造的激情，樹立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神;有助于培養學生勇于質疑和善于反思的習慣，培養學生發現、提出和解決數學問題的能力;有助于發展學生的創新意識和實踐能力。研究性學習的一般步驟是：提出問題（起點）;解決問題（重點）;推廣問題（難點）;應用結論（升華點）。筆者將以2019年全國卷I文科第16題為例對數學研究性學習進行說明。

一、提出問題

數學家波利亞指出，問題是數學的心臟。對于數學學科而言，在研究性學習時提出問題主要是指對某些數學問題的深入探討。所提問題不能過偏過難，要是學生通過努力可以解決的。研究性學習問題要滿足以下五個課題選取的原則：

1.問題題材選取的典型性;

2.問題開展研究的可行性;

3.問題解決路徑的多樣性;

4.問題拓展方向的多向性;

5.問題研究成果的應用性。

二、解決問題

評注：在立體幾何問題中，運用投影、等體積，建立空間直角坐標系等方法是解決問題的常用方法。找準問題的本質以及所要求的量，利用已知條件建立等量關系可以有效地解決問題。解法1通過已知邊的長度以及各線段所處的位置，運用“勾股定理”“三角函數”以及“正弦定理”等將其之間的關系等式化，求出P到平面ABC的距離就相對輕松。

三、推廣問題

評注：解法2涉及最小角定理，最小角定理也稱三余弦定理，在解決立體幾何二面角問題中有著重要的作用。

推廣2：三正弦定理

評注：觀察圖1發現，將點E與點F放在同一條直線上，將其與點0連線的夾角改變度數，自然就看到了三正弦定理的影子，將三余弦定理與三正弦定理聯立求解立體幾何中與角有關的部分試題，在不用作輔助線的情況下就可以對問題進行求解，十分的方便快捷。

推廣3：等和線

推廣4：外接球（墻角模型）

評注：在解法3中，利用外接球知識將P到平面

ABC的距離求解出來，本質就是外接球的“墻角模型”申對角線的求解，在3條不相等的棱與體對角線（球直徑）構建等式，知三求一，可以快速解決求解外接球體積和表面積一類的高考題。

四、應用結論

在研究性學習的過程中，發現與之相關聯的知識或者方式方法，對其進行知識和方式方法上的遷移，做到研究一個知識就會運用這個知識，研究出一種方法就會運用這種方法去解決同類的數學問題或實際問題。在研究性學習過程中，將知識與實際應用有機結合，最后達到學以致用，培養學生的應用意識是《普通高中數學課程標準（2017年版）》所提倡的，也是研究性學習的最終目的。