以“生成”看橢圓 把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

鄒海斌

(江蘇省梅李高級中學(xué) 215500)

一、問題提出

筆者今年任教高三，在高三一輪復(fù)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對解析幾何，特別是橢圓這塊內(nèi)容掌握得不是很好.學(xué)生在拿到題后，一些同學(xué)無法下手，一些同學(xué)列了些式子就放棄了，或者算不出自己想要的結(jié)果.針對這種現(xiàn)象，我就開始思考，怎么才能解決這個問題呢？是不是學(xué)生的思維能力不夠？還是學(xué)生的計(jì)算能力不行？這個時(shí)候剛好遇到學(xué)校要開公開課，我就借這個機(jī)會，在高三備課里開設(shè)了一節(jié)“以生成看橢圓”的公開課，從“生成”的角度來揭示橢圓題的本質(zhì)，取得了很好的教學(xué)效果.

二、課堂實(shí)錄

以一道模考題引入，讓學(xué)生衡量自己是否已經(jīng)勝任考試.

圖1

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求△PCD面積的最大值.

教師：第一問橢圓方程怎么求？

教師：不錯，三個方程，沒有遺漏a2=b2+c2這個隱含條件，橢圓的基本量運(yùn)算不容忽視.

學(xué)生2：我會選擇大減小，兩個同底不等高的三角形相減.

教師追問：你為什么這么做？怎么想到的？

學(xué)生2：因?yàn)樗笕切稳齻€點(diǎn)都是動點(diǎn)，每條邊長度不好求，特別是三角形的高更不好求，三角形的每個角也都是未知的，然后我就想能不能轉(zhuǎn)化一下思路，就想到了大三角形減去小三角形.

教師：很好，這也是我們今天的主題，從生成角度看問題，三角形面積的生成是多種多樣的，選擇合適的一種方式.然后請同學(xué)思考，接下去怎么辦呢？我們是不是要把AD表示出來,C點(diǎn)和P點(diǎn)也表示出來，那么我們選擇什么作為變量呢？

學(xué)生2：我選擇了設(shè)點(diǎn)P，因?yàn)橛辛薖就有了直線BP和直線AP，然后就有了D點(diǎn)和C點(diǎn)，這樣面積就可以用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來了.

教師：很好，這其實(shí)就是這幅橢圓圖形的一種生成方式，由點(diǎn)生成，接下來我們簡單操作一下.

接下去怎么化簡呢？請同學(xué)們試試.

教師在班級巡視，告訴學(xué)生，應(yīng)該有一個信念，就是此式必可以化簡.在學(xué)生努力嘗試之后，教師展示化簡技巧.分母有兩個因式，而且分子和分母不能看出來有一個直接的倍數(shù)關(guān)系，所以我們采用各個擊破的原則，先處理一個因子.

教師總結(jié)：這樣的化簡是有技巧性的，但也在情理之中，同學(xué)們要掌握，那么接下去的最值怎么求呢？

教師：很好，還有其他方法求這式子最值嗎？

教師：非常好，那么有沒有同學(xué)有另外的思路呢？

學(xué)生5：我是設(shè)直線AP的斜率k做的.

教師追問：怎么想到的？理由是什么？

學(xué)生5：設(shè)了直線AP，那么C點(diǎn)就可以用k表示，和橢圓聯(lián)立，P點(diǎn)就可以用k表示，然后直線BP就有了，最后D點(diǎn)也可以用k表示了，最后面積就可以k來表示，然后求出單變量k的函數(shù)的最大值就可以了.

教師：非常好，其實(shí)這是這幅橢圓圖形的另一種生成方式，由線生成，接下來我們一起來操作一下.

教師：怎么求這函數(shù)最值呢？這又是一個基本功的問題，求導(dǎo)肯定可以，你會怎么做？

教師追問：那么這個t有沒有范圍的？也就是說k有沒有范圍的？

繼續(xù)追問：這里除了用代數(shù)法算出k范圍，還能怎么得到k范圍？

這時(shí)一位學(xué)生舉手了.

這時(shí)候?qū)W生們發(fā)出了驚嘆的聲音，整堂課進(jìn)入了高潮，學(xué)生們對這個發(fā)現(xiàn)都興奮不已，紛紛動手嘗試.

教師追問：那d最大是多少？怎么求？

教師：非常棒，能夠從固有的思維中跳出來，發(fā)現(xiàn)了這樣一個四邊形的面積是定值，然后輕松地解決了所求三角形面積的最值.但是這是基于設(shè)k做了，那么在設(shè)點(diǎn)做時(shí)，能否得到這個定值呢？肯定可以證明得到，只是沒有設(shè)k這么顯而易見，那么我請個同學(xué)上黑板上來證明一下，其他同學(xué)下面自己證，目的是練習(xí)一下設(shè)點(diǎn)的化簡技巧.

學(xué)生8板演.

教師：這樣我們對這道模考題就研究清楚了，我們從圖形的兩種生成方式，由點(diǎn)生成和由線生成，進(jìn)行了探討，都解決了這個問題.下面請同學(xué)小結(jié)下，這堂課有什么收獲？

學(xué)生9 ：通過這堂課的學(xué)習(xí)，我學(xué)會了用生成的眼光來看橢圓題，設(shè)點(diǎn)和設(shè)線.我還學(xué)會了用生成的眼光看面積的多種生成方式，還發(fā)現(xiàn)了定值.

學(xué)生10：我還知道了求最值的一些常用的方法，求導(dǎo)，換元，線性規(guī)劃，三角代換等等.

教師總結(jié)：大家說得都很好，這節(jié)課一是讓大家形成用生成的角度看問題，不管是圖形的生成過程，還是面積的生成，然后選擇合理的變量；二是讓大家明白設(shè)點(diǎn)P(m,n)是個二元運(yùn)算，必然用到曲線方程，運(yùn)算有技巧性，設(shè)k是個一元運(yùn)算，運(yùn)算有一定的優(yōu)越性，不管哪種運(yùn)算，希望大家明確計(jì)算的方向，掌握關(guān)鍵處的運(yùn)算技巧，提高自己的基本功.

三、教學(xué)感悟

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識的人才，就要在課堂教學(xué)中切實(shí)引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生積極思考，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程.教師在講題時(shí)，特別是高三復(fù)習(xí)課時(shí)，選擇的題目不在于多，而在于精，一道好的題目能立足問題本身，兼顧基礎(chǔ)性和綜合性，能夠反映知識間的橫向關(guān)系和縱向關(guān)系，能讓學(xué)生浮想聯(lián)翩，回味無窮，這樣才能真正讓學(xué)生思維成長，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).這其實(shí)對我們老師也提出了更高的要求，教師必須具有吸引學(xué)生的獨(dú)特的魅力，所謂親其師才能信其道，那么教師自身的解題能力和文化底蘊(yùn)是個法寶，望大家共勉之.