2019年廣州二模一道壓軸題的五種解法

王明義

(廣東省中山市實驗中學 528400)

一、引言

導數是我們研究函數性質重要的數學工具,在高中階段具有舉足輕重的地位.它涉及的知識點較廣,包含單調性、最值、極值、零點、不等式等問題.要解決導數的相關題目學生要具備比較高的綜合分析能力,比如要掌握數形結合的思想,分類討論的思想,還要具備相當的計算能力.所以各省的高考真題和高考模擬題基本上都以導數作為壓軸題.今年的廣州二模考試也是如此.本文以廣州二模第21題第二問為例列舉了解決導數不等式問題的五種常用策略.

二、例題及多種解法

(2)若a≥0，不等式x2f(x)+a≥2-e對x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范圍.

1.構造函數法

思路分析通過構造函數的方式，把不等式問題直接轉化為函數的最值問題來研究.

解答原式x2f(x)+a≥2-e，即xlnx-ax+a+e-2≥0對x∈(0,+∞)恒成立.

令h(x)=xlnx-ax+a+e-2，則h′(x)=lnx+1-a,令h′(x)=0,得x=ea-1.

當x∈(0,ea-1)時,h′(x)<0;當x∈(ea-1,+∞)時，h′(x)>0.

所以h(x)的最小值是h(ea-1)=a+e-2-ea-1.

令t(a)=a+e-2-ea-1，則t′(a)=1-ea-1.

令t′(a)=0得a=1.

當a∈[0,1)時，t′(a)>0，t(a)在[0,1)上單調遞增；

當a∈(1,+∞)時，t′(a)<0，t(a)在(1,+∞)上單調遞減.

當a∈(1,+∞)時，h(x)的最小值為t(a)=a+e-2-ea-1≥0=t(2).

故a∈[0,2].

2.恒等變形法

思路分析如果直接構造的函數最值不容易求出時，我們可以把原式通過等價變形，從而轉化為另一個函數的最值問題來研究.

當x∈(0,a+e-2)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減.

當x∈(a+e-2,+∞)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增.

所以g(x)min=g(a+e-2)=ln(a+e-2)-a+1.

當a∈[0,3-e)時，h′(a)>0，h(a)單調遞增.

當a∈[3-e,+∞)時，h′(a)<0，h(a)單調遞減.

而h(0)=ln(e-2)+1>0，且h(3-e)=e-2>0,

但是因為h(2)=0,所以0≤a≤2.

3.分離參數法

思路分析構造函數轉化為求函數最值的時候都無法避免對參數的討論，尤其是單調性的討論比較難.如果可以分離參數，就可以減弱參數的影響，避免過多的討論.

解答原式可變為：xlnx+e-2≥a(x-1) (*)對x∈(0,+∞)恒成立.

求得g′(x)=lnx+1.

易得：當x∈(0,e-1)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減.

當x∈(e-1,+∞)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增.

所以g(x)min=g(e-1)=-e-1.

因為此時(xlnx)min=-e-1.

當x=1時,代入(*)式驗證e-2≥0顯然成立.

當x∈(1,+∞)時,h′(x)>0,所以h(x)單調遞增.

當x∈(1,e)時,t′(x)<0,t(x)單調遞減;

當x∈(e,+∞)時,t′(x)>0,t(x)單調遞增.

所以a≤t(x)min=t(e)=2.故a∈[0,2]為所求.

4.尋找切線法

思路分析把不等式通過等價變形后，使不等號的一邊出現直線的方程，再分析不等號另外一邊的函數單調性，就會發現二者相切時即為參數的臨界值.

解答通過變形原式等價于證明：xlnx≥a(x-1)+(2-e),x∈(0,+∞).

若令g(x)=xlnx和h(x)=a(x-1)+(2-e).

則只需證明函數g(x)的圖象在直線h(x)的上方.

首先分析g(x)=xlnx的圖象.

由解法三可知:當x∈(0,e-1)時,g(x)單調遞減；當x∈(e-1,+∞)時,g(x)單調遞增.

且g(x)min=g(e-1)=-e-1.

其次分析h(x)=a(x-1)+(2-e)的圖象.

因為a≥0所以h(x)表示過定點(1,2-e)非減函數.

且g(x)min=-e-1>2-e.

則兩個函數的圖象大致如下圖(1)所示：

所以如果我們能說明當g(x)和h(x)相切時二者只有一個切點，就能求出a的最大值.

消去lnx0得到：2-e=a-ea-1③.

易得a=2為③式的解.

下面證明a=2是③式唯一的解.

令t(a)=a-ea-1+e-2，求導得：t′(a)=1-ea-1且當t′(a)=0時，a=1.

當a∈[0,1]時,t′(a)≥0t(a)單調遞增；

當a∈(1,+∞)時,t′(a)<0t(a)單調遞減.

因為t(0)=-e-1+e-2>0且t(1)=e-2>0，所以函數t(a)在區間[0,1]上無零點，在區間(1,+∞)有且僅有一個零點a=2.綜上所述：a∈[0,2].

5.數形結合法

思路分析：通過等價變形后，使不等號兩邊變化為兩個我們熟悉的函數(基本初等函數)，然后通過分析這兩個函數的圖形發現，兩個條曲線相切時，即為參數的臨界值.

也就是說a=0時,g(x)的圖象在h(x)的圖象上方.示意圖如下圖3：

所以當a越來越大時，兩個圖象會越來越近.所以當g(x)和h(x)二者相切的時候，就是a取得最大值的時候,如上圖4.所以我們下面假設二者相切于點P(x0,y0)，得

化簡得e+a-2=ea-1,解得a=2.

仿照解法四，可以證明這是唯一解.

所以a∈[0,2]為所求.

總之，導數不等式問題的解法雖然種類繁多，但是我們沒必要沉迷于各種巧妙的解法之中而不能自拔.我們理應抓住這種問題的本質，尤其是理清楚不等式兩邊的曲線的內在聯系，以不變應萬變,方能始終.