波利亞解題思想在高考導(dǎo)數(shù)題中的應(yīng)用

李益萍 張曉東 李天美

(云南省昆明市云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 650500)

一、波利亞解題思想

波利亞認(rèn)為，教師最重要的任務(wù)之一是幫助他的學(xué)生，但不能幫得太多，也不能太少.為了不漏痕跡的、順其自然地幫助學(xué)生解手上的題，甚至是提高學(xué)生的能力，使他將來(lái)能自己解題，教師得一次又一次地問(wèn)同樣的問(wèn)題，指出同樣的步驟.教師可以提出哪些問(wèn)題，波利亞在《怎樣解題》一書(shū)中通過(guò)“怎樣解題”表給出了答案，“怎樣解題”表包括四個(gè)步驟：理解題目；擬定方案；執(zhí)行方案；回顧.

二、波利亞“怎樣解題”表的具體運(yùn)用

題目(2019年高考數(shù)學(xué)文科全國(guó)Ⅰ卷第20題)已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若x∈[0,π]時(shí)，f(x)≥ax,求a的取值范圍.

注第(1)問(wèn)屬于證明題，不多贅述，具體解答如下：

證明：設(shè)g(x)=f′(x)，則g(x)=cosx+xsinx-1，g′(x)=xcosx.

即f′(x)在(0,π)存在唯一零點(diǎn).

1.理解題目

從題目的敘述開(kāi)始，不難看出題中第(2)問(wèn)是一道求解題，未知量、已知量和條件是一個(gè)求解題的主要部分.“未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？”這是首先需要回答的三個(gè)基本問(wèn)題.

未知量是a的取值范圍；已知數(shù)據(jù)是f(x)=2sinx-xcosx-x；條件是當(dāng)x∈[0,π]時(shí)，f(x)≥ax.這是一道已知不等式恒成立求參數(shù)范圍的問(wèn)題，題目中包含三角函數(shù)，且出現(xiàn)在壓軸題的位置，難度系數(shù)較大.

2.擬定方案

對(duì)題目的未知量、已知量和條件進(jìn)行分析后，回答問(wèn)題“你知道一道與它有關(guān)的問(wèn)題嗎？這里有一道題目和你的題目有關(guān)而且以前解過(guò)，你能利用它的方法嗎？”

能否想到一道有關(guān)的問(wèn)題取決于學(xué)生過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)，在本題中，一方面學(xué)生可以想到條件中當(dāng)x∈[0,π]時(shí)，f(x)≥ax等價(jià)于[f(x)-ax]min≥0，題目轉(zhuǎn)換為求函數(shù)最值問(wèn)題；另一方面，將參數(shù)進(jìn)行分離，構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)，再求最值.這是常見(jiàn)的兩種思路.

3.執(zhí)行方案

解題方案只是一個(gè)總體的框架，在擬定方案的指引下，學(xué)生需要細(xì)心的執(zhí)行.為了確保方案執(zhí)行過(guò)程中每一步的正確性，教師可以提出問(wèn)題“你能清楚地看出這個(gè)步驟是正確的嗎？你能否證明它是正確的？”

解法1最值法

分析當(dāng)x∈[0,π]時(shí)，f(x)≥ax等價(jià)于當(dāng)x∈[0,π]時(shí)，f(x)-ax≥0,即[f(x)-ax]min≥0.利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)最小值即可，判斷單調(diào)性的過(guò)程中需要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論，最值法用于本題較為繁雜，不具體展開(kāi).

解法2分離參數(shù)法

分析本題中f(x)≥ax，考慮函數(shù)的定義域x∈[0,π]，當(dāng)x=0時(shí)，不等式成立；

4.回顧

子曰“學(xué)而不思則罔”，有了答案還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，此時(shí)“你能以不同的方法推導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果嗎？”是學(xué)生需要思考的問(wèn)題.

圖象法和端點(diǎn)分析法是該題目的另外兩種做法，圖象法即將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖形的位置關(guān)系問(wèn)題，其中一個(gè)函數(shù)為一次函數(shù)；端點(diǎn)分析法則是從求“不等式恒成立”的必要條件入手，求得參數(shù)范圍，再證明其為充分條件.

解法3圖象法

分析當(dāng)x∈[0,π]時(shí)，f(x)=2sinx-xcosx-x≥ax，令k(x)=ax，其中k(x)為一次函數(shù)，證明函數(shù)f(x)的圖象始終在函數(shù)k(x)的圖象上方即可.

圖1

顯然，k(x)=ax的斜率a需小于等于0，則a的取值范圍為{a|a≤0}.

評(píng)析本解法巧妙地使用函數(shù)圖象的位置關(guān)系，從幾何意義出發(fā)，使解題更簡(jiǎn)單.

解法4端點(diǎn)分析法

分析由于函數(shù)的定義域?yàn)閇0,π]，要證f(x)≥ax，在端點(diǎn)處f(π)=0≥aπ(選端點(diǎn)x=0不等式變?yōu)?≥0)，可初步得a≤0是f(x)≥ax成立的必要條件.

解由題設(shè)知f(π)≥aπ，f(π)=0，可得a≤0，下面證明x∈[0,π]，且a≤0是f(x)≥ax成立的充分條件.

由(1)知，f′(x)在(0,π)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x0，

當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(x0,π)時(shí)，f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.

因?yàn)閒(0)=f(π)=0，所以當(dāng)x∈(0,π)時(shí)，f(x)≥0.又當(dāng)a≤0，x∈[0,π]時(shí)，ax≤0，故f(x)≥ax得證.

因此，a的取值范圍為{a|a≤0}.

評(píng)析端點(diǎn)分析法由一般到特殊，利用邊界值縮小參數(shù)的范圍，本題目使用端點(diǎn)分析法最為簡(jiǎn)潔.

高考導(dǎo)數(shù)題不僅是學(xué)生面臨的難點(diǎn)，也是教師教學(xué)的重點(diǎn)，波利亞的“怎樣解題”表猶如黑夜中的明燈，給教師和學(xué)生在解題時(shí)指明了方向，但需要注意的是，解題教學(xué)的過(guò)程中，提問(wèn)的方式不是僵化的，允許一定的通融性和可變性.