準確理解概念 避免會而不對
——例談導數法解題中的主要誤區

雷亞慶

(江蘇省南京市大廠高級中學 210044)

導數法是研究函數性質的得力工具，但是在應用過程中關注細節，要注意原函數性質與它的導函數性質的等價性.如導函數與原函數定義域的一致性，導函數的正負與原函數的單調性的關系，切線問題，導函數零點與原函數的零點的關系等等.但是在使用導數法解決函數問題時，有些同學由于對導數及其相關概念理解不到位，會出現“忽視細節，會而不對”的現象，下舉例說明導數法解題時的常見誤區.

一、忽略定義域

例1求函數f(x)=lnx-x的單調減區間.

即x(1-x)<0,

亦即x(x-1)>0,

解得x<0或x>1.

所以函數f(x)=lnx-x的單調減區間是(-∞,0),(1,+∞)

錯因分析我們知道函數單調性是函數定義域的一個子區間上的局部性質，因此求函數單調區間時首先要做的事情就是求出函數的定義域，然后才是求導數.上述解法一開始就犯了不求定義域的錯誤，后續的工作自然就是無效的了.

正解f(x)=lnx-x的定義域為(0,+∞).

所以f(x)=lnx-x的單調減區間是(1,+∞).

二、把在區間I上f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)或者f ′(x)>0(f ′(x)<0)看成是f(x)在區間I單調遞增(遞減)的充要條件

∴f′(x)≥0在(-2,+∞)上恒成立,

例3 已知函數f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數，求a的取值范圍.

解析求函數的導數f′(x)=3ax2+6x-1.

(1)當f′(x)<0時，f(x)是減函數，則f′(x)=3ax2+6x-1<0(x∈R),

綜上，所求a的取值范圍是(-∞,-3].

點評f′(x)<0(x∈(a,b))是f(x)在(a,b)內單調遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件，如f(x)=-x3在R上遞減，但f′(x)=-3x2≤0.

反思通過糾錯讓學生正確理解導數的正負與函數單調性的關系，以增函數為例：實際上f′(x)>0區間I上成立是f(x)在區間I上遞增的充分不必要條件，而f′(x)≥0區間I上成立又是f(x)在區間I上遞增的必要不充分條件.二者無論用哪個求參數a的范圍都有可能出現錯誤(高中階段f′(x)≥0得到正確答案的機會很大)，實際上f(x)在區間I上遞增的充要條件是“f′(x)≥0且f′(x)只能在有限個離散的x的值處取零”.由于操作起來比較困難，所以我們高中階段一般這樣處理：f(x)在區間I上遞增，推出f′(x)≥0區間I上成立，求出參數的取值范圍，驗證一下等號是否符合題意.

三、導函數的零點就是原函數的極值點

例4(2012江蘇高考)若函數y=f(x)在x=x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數y=f(x)的極值點.已知a,b是實數，1和-1是函數f(x)=x3+ax2+bx的兩個極值點．

(1)求a和b的值；

(2)設函數g(x)的導函數g′(x)=f(x)+2，求g(x)的極值點.

錯解(1)a=0,b=-3.解略.

(2)∵ 由(1)得，f(x)=x3-3x,

∴g′(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2).

令g′(x)=0，解得x=1或x=-2.

所以g(x)的極值點為1和-2.

錯因分析上述解法錯誤的原因是錯誤地認為“g′(x)的零點”就是原函數“g(x)的極值點”了.實際上g(x)的極值點一定是g′(x)的零點，但g′(x)的零點并不一定是g(x)的極值點.只有g′(x0)=0且g′(x)的值在x0兩側異號，才能說x0是g(x)的一個極值點.

正解(1)解略a=0,b=-3.

(2)∵ 由(1)得，f(x)=x3-3x,

∴g′(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2),解得x1=x2=1,x3=-2.

∵當x<-2時，g′(x)<0;當x-20,

∴x=-2是g(x)的極值點.

∵當-21時，g′(x)>0,∴x=1不是g(x)的極值點.

∴g(x)的極值點是-2.

反思若f(x)是可導函數，注意f′(x0)=0是x0為函數f(x)極值點的必要條件.要確定極值點還需在x0左右判斷單調性.

四、過曲線上一點的切線有且只有一條

錯解因為f′(x)=x2，所以k切=f′(2)=4.

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所以切線方程為：y-4=4(x-2),即切線方程為：4x-y-4=0.

錯因分析上述解法的原因在于把點P當成了切點，許多同學受圓的切線的概念的影響，錯誤的認為點P在曲線上，所以一定是切點.由在曲線上某點處的切線的概念我們知道，即使點P在曲線上，它也有可能是切點，有可能不是切點.

解得t=2或t=-1.所以切點為(2,4)或(-1,1).故所求切線方程為：4x-y-4=0或者x-y+2=0.

五、畫原函數圖象只看極值點

例6(2013年普通高等學校招生全國統一招生考試江蘇卷)設函數f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a為實數.

(1)若f(x)在(1,+∞)上是單調減函數,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范圍;

(2)若g(x)在(-1,+∞)上是單調增函數,試求f(x)的零點個數,并證明你的結論.

錯解(1)略.

問題轉化為：

所以可以得到函數h(x)的圖象(如圖1).

正解函數h(x) 的圖象應該如圖2所示.

由圖可知,

導數的引入為研究函數特別是較復雜的函數性質提供新的視角新的方法，特別是在解決函數的單調性、求曲線的切線方程、不等式證明等方面相比初等數學的方法具有很大的優勢.但是在應用過程中要正確理解導數的相關概念，注意細節，避免會而不對.