已知函數的最值求參數值或取值范圍問題的一種解法

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

題1 已知函數y=x2-2(a-1)x+4(1≤x≤5)的最小值為2，求常數a的值．

x≤a(2-lnx)(0

(1)當x<1時，若函數f(x)有且只有一個極值點，則實數a的取值范圍是____；

(2)若函數f(x)的最大值為1，則a=____．

解(1)(-∞,1).當x<1時，f(x)=a2-(x-a)2有且只有一個極值點，即有極值點，其充要條件是a<1.

(2)-1.函數f(x)的最大值為1，即下面的兩種情況之一成立：

①“當x<1時，f(x)max=1”且“當x≥1時，f(x)≤1”.

綜上所述，可得a=-1.

②“當x≥1時，f(x)max=1”且“當x<1時，f(x)≤1”.

“當x≥1時，f(x)max=1”

所以“當x≥1時，f(x)max=1”即a=e.

但是，當a=e且x<1時，由f(x)=e2-(x-e)2可得f(x)的取值范圍是(-∞,2e-1)，而2e-1>1，得f(x)≤1不恒成立.

綜上所述，可得此時不符合題意.

因而所求答案是a=-1.

(?t0∈[4-2a,5-2a],t0=5-a或a-5)

?(5-a∈[4-2a,5-2a]或a-5∈[4-2a,5-2a])

綜上所述，可得所求a的取值范圍是[0,3].

題6 (2010年全國高中數學聯合競賽一試(B卷)第2題)已知函數y=(acos2x-3)sinx的最小值為-3，則實數a的取值范圍是____.

可得題設即g(t)≥-3(-1≤t≤1)恒成立，且?t∈[-1,1]，使得g(t)=-3.

因為g(1)=-3，所以題設即g(t)≥-3(-1≤t<1)恒成立，也即at(t+1)(t-1)+3(t-1)≤0(-1≤t<1)恒成立，即at(t+1)≥-3(-1≤t<1)恒成立，即at(t+1)≥-3(t∈(-1,0)∪(0,1))恒成立.

(1)當a=0時，求函數f(x)的單調遞增區間；

解(1)(過程略)(0,e).

進而可得：當x∈(0,x0)時，g(x)>0,f′(x)>0,f(x)是增函數；當x∈(x0,+∞)時，g(x)<0,f′(x)<0,f(x)是減函數.

(2)的另解由a>0，可得函數f(x)的定義域為(0,+∞).