極值偏移構造函數 對數平均更顯威力

廖國達

(廣東省梅縣東山中學 514017)

在函數、導數、不等式交匯處命題，毫無疑問，這是歷年高考題中的必選動作，此類問題有恒成立問題、存在性問題、零點問題、極值問題、證明不等式等問題，解決這類問題的常見的方法有：數形結合、分類討論、分類參數、函數隱性零點以及等價轉化等數學方法，在此特別值得關注的是構造模型函數或用對數平均不等式解決極值偏移問題的方法，相信你閱讀后一定能對極值點偏移問題有全面的認識，此后再見必能從容不迫、游刃有余.

一、問題呈現

已知f(x)=ex-ax(x∈R)(e為自然對數的底數)．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個零點x1,x2，求a的取值范圍；

(3)在(1)的條件下，求證：x1+x2<2lna；

(4)在(1)的條件下，求證：x1·x2<(lna)2(a>e)

(5)問在(1)的條件下，求證：x1+x2>2.

二、初告戰捷——求導、零點存在定理

第一二問題符合平時的考題入口寬、易上手，不難得出答案：第一問求出函數的導數，通過討論a的范圍，分別令f′(x)>0求得x的范圍，可得函數f(x)的增區間，f′(x)<0，求得x的范圍，可得函數f(x)的減區間；第二問由(1)知，當a≤0時，f(x)在R上為增函數，f(x)不合題意；當a>0時，f(x) 的遞增區間為(lna,+∞)，遞減區間為(-∞,lna)，只需f(x)min=f(lna)<0，即可解得a的取值范圍為a>e.

三、程氏三斧——極值點偏移解題套路

第三問由所證結論可知這是f(x)的極值點偏移問題，由下面三步來完成：

第一步：由(2)，當a>e時，若f(x)有兩個零點x1,x2，且f(x)在(lna,+∞)上遞增，(-∞,lna)上遞減，依題意，f(x1)=f(x2)=0，不妨設x1

第二步：構造函數F(x)=f(x)-f(2x0-x)(x

則F(x) 的遞增區間為(-∞,x0)，F(x)

注2：復合函數求導：f(2x0-x)的導數為-f′(2x0-x).

第三步：f(x2)=f(x1)x0,2x0-x1>x0,f(x)在(x0,+∞)上遞增，故x2<2x0-x1，所以x1+x2<2lna.

四、見山非山——套路通法受阻

第四問由所證結論可知這是f(x)的極值點偏移問題，由下面三步來完成：

第一步：由(2)，當a>e時，若f(x)有兩個零點x1,x2，且f(x)在(lna,+∞)上遞增，(-∞,lna)上遞減，依題意，f(x1)=f(x2)=0，不妨設x1

五、山重水復——加強不等式引路

加強問題：問題(4)加強為在(2)的條件下，求證：x1·x2<1<(lna)2(a>e).

第一步：由(2)，當a>e時，若f(x)有兩個零點x1,x2，且f(x)在(lna,+∞)上遞增，(-∞,lna)上遞減，依題意，f(x1)=f(x2)=0，不妨設x1

六、秘境探幽——重新構造函數

第一步：g(x)在(-∞,0)上單調減，在(0，1)上單調減，在(1,+∞)上遞增，g(x)的正負符號與x的符號相同，x→-∞,g(x)→0-;

x→0-,g(x)→-∞;x→0+,g(x)→+∞;x→+∞,g(x)→+∞;

g(x1)=g(x2)=a，不妨設0

移動平臺上機械手的三維模型如圖1所示，它是所有關節均為旋轉副的五自由度關節機械臂。按照修補程序中手端的動作順序，關節1、2、3的運動保證手端準確定位，關節4、5的運動確定手端的俯仰角度，完成修補前準備工作。

七、順勢而上——柳暗花明顯思路

再次回到題設條件：f(x)=0?ex=ax(a>e)?x=lna+lnx?x-lnx=lna.

記函數h(x)=x-lnx，則有h(x1)=h(x2)=lna．接下來我們選取函數h(x)再解兩問.

八、拾級而上——對數平均簡潔至美

思路分析f(x)=0?ex=ax(a>e)?x=lna+lnx(a>e).x1=lna+lnx1,x2=lna+lnx2,

最后附一道對稱型偏移問題，有興趣的讀者可以嘗試解題：若關于x的方程xlnx=m有兩個不相等實數解x1,x2.