“湊”而行 “解”則優

王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學 311824)

在解題過程中又該怎樣的“湊”呢？需要具備哪些基本素質才能快速有效地得到解題途徑？本文通過四條途徑來“湊”出優解.

一、察而“湊”之

例1已知函數f(x)的定義域為R，其圖象關于直線x=1對稱，其導函數為f′(x)，當x<1時，2f(x)+(x-1)f′(x)<0，那么不等式(x+1)2f(x+2)>f(2)的解集為( ).

A．(-∞,0) B．(-∞,-2)

C．(-2,0) D．(-∞,-2)∪(0,+∞)

分析要解此不等式需從單調性入手，而題中2f(x)+(x-1)f′(x)<0是解決單調性的關鍵，因此需“湊”出一個函數來解題.

解根據題意，取函數g(x)=(x-1)2f(x)，則g′(x)=(x-1)[2f(x)+(x-1)f′(x)].

又x<1時，2f(x)+(x-1)f′(x)<0，

故當x<1時，g′(x)>0，即g(x)在(-∞,1)上單調遞增.

又f(x)的圖象關于直線x=1對稱，則g(2-x)=g(x)，故函數g(x)的圖象關于直線x=1對稱.

因此，g(x)在(1,+∞)上單調遞減.

根據(x+1)2f(x+2)>f(2)知，g(x+2)>g(2)，

結合單調性可知：只需0

例2計算cos20°cos40°cos80°的值等于____.

分析題中20°,40°,80°均非特殊角，因此不宜直接求解，但三個角存在二倍關系，因此可“湊”一個角利用二倍角公式合二為一.本題“湊”上一個sin20°，可創造持續使用二倍角公式，減少三角函數量.

解cos20°cos40°cos80°

在三角函數的求值過程中，往往需要觀察角與角之間的關系，方可快速、有效地找到解題捷徑，實際上在三角函數值中經常用配湊角的思想方法來解題.

在數學解題中，式子、數字是解決問題的關鍵，若能正確掌握數字或式子的結構特征，會使問題迎刃而解.

二、仿而“湊”之

分析本題如若直接建立基底，對運算和解題均帶來一定的障礙，對于平面向量中式子2x+10y=5與三點共線的定理有密不可分的聯系，因此可仿而“湊”之.

在平面向量的這些類似問題的處理中顯得格外清晰，柳暗花明.因此，在解題中，如能關注平時的一些定理、特殊結論等，并合理應用能使解題游刃有余.

三、果而“湊”之

分析此類式子的最大值問題，往往采用基本不等式求解，即一方面要將積xy變成x2,y2，另一方面恰好能使x2,y2抵消.因此如何“湊”出平方和的基本不等式，這是本題的關鍵所在.

分析從題目的形式來看，求Cn+Cn+1的最小值，如若直接求，運算較為繁復，因此找到有效的突破口是本題的關鍵，作為小題可嘗試運用特殊值法進行規律探索.

四、換而“湊”之

分析若此題展開求解sinα,cosα，進而求解sin2α,cos2α運算量較大.如若直接找到所求角與已知角的關系，解題也就水到渠成，運用換元法可使問題豁然開朗.

例7已知數列{an}滿足a1=2，an+1=3an+2n-1，則數列{an}的通項公式是____.

分析數列通項求解往往通過構造一個新的等差(或等比)數列，然后尋找首項和公差(比).因此與題中條件湊出一個新數列是問題的關鍵，根據結構特征可用換元法處理.

解令an+1+A(n+1)+B=3(an+An+B)，由an+1=3an+2n-1得，A=1,B=0，則an+1+(n+1)=3(an+n)，故{an+n}是一個首項為3，公比為3的等比數列，因此an+n=3n，即數列{an}的通項公式是an=3n-n.

在平時解題中，對于表面上無法看清的式子或結構特征，有時采用換元法可使問題簡潔、明了.

數學問題往往在形式上呈現多樣性和復雜性，在思維和解題上表現靈活性，在直接解決問題受阻時，如果恰當使用拼湊法，就可以使解題達到最優的效果，總之拼湊法也是數學解題中比較常用的一種方法.