變中尋本 據本應變
——全國數學理科二卷的“變”與“不變”與高三復習備考策略

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學 114000)

今年數學高考結束，坊間對全國二卷理科高考數學試題(以下簡稱高考數學試題)有傳說“今年的試卷不用說押題，就是押題號，也押不準”.這雖然是戲說，但很大層面上說明了數學高考試題變化很大.

為做好明年的高三復習備考工作，有必要搞清變化的情況及如何應對變化，下面就針對變化進行分析并針對變化提出高三復習備考對策.

一、今年數學試卷的變化

與去年相比今年高考數學試題發現以下變化：

1.試題布局方面發生變化.2018年試卷17題考查內容為數列；18題為概率統計；19題為圓錐曲線；20題為立體幾何和空間向量；21題為導數.2019年試卷17題考查內容為立體幾何和空間向量；18題基本為概率統計；19題為數列；20題為導數；21題為圓錐曲線.除18題外，不僅題號變化，相應位置考查題目涉及的知識點考查方式也發生變化.

2.由于相應題目涉及對應考查知識點的變化，導致各單元知識點相應整合而成的題目難度也發生變化.

2018年試卷17題為數列，在2019年試卷中為19題；2018年試卷19題為圓錐曲線，在2019年試卷中為21題.實際對比發現，在解題思維、方法、技巧要求上都有所提高.2018年試卷20題為立體幾何和空間向量，在2019年試卷中為17題；2018年試卷21題為導數，在2019年試卷中為20題.顯然，要求上是下降的.

3.初中數學知識直接作為考查內容出現.如第5題，把初中學的“中位數”直接列入選擇枝的選項中，這與以前只在題干中涉及一些初中知識，或解題過程中涉及初中知識是有差別的.

4.填空16題由原一個空改為設計成兩個空(第一空2分，第二空3分).盡管總的分值沒有變，但實際上是由一個需要回答的問題，變成了兩個需要回答的問題，增加了回答問題的數量.

5.試卷背景資料更貼近我國生活、傳統文化和科技進步和實際應用等.2018年涉及這類題目：第8題“哥德巴赫猜想”、第18題“環境建設”.2019年這類題目有：第4題涉及背景資料是“嫦娥四號探測器”、第5題“演講比賽”、第13題“高鐵”、第16題涉及“金石文化中的印信”、第18題乒乓球比賽等.

6.整體試卷閱讀量加大.2018年全卷3058個印刷符號，今年全卷3869印刷符號，增加800多個印刷符號，占比26%.相關個別題目舉例：2019年在第4題的位置出現了303個印刷符號題目，注意到在2018年試題中印刷符號最多219個，而且出現在第18題中.大家要知道，增加閱讀量也是增加難度，更況且閱讀量增加在第4題，加之現在學生閱讀能力還比較差，難怪考試后，部分學生反映題難、發揮受到影響.這樣的閱讀量在以前試卷中所沒有的.

7.運算能力的考查突出強調數學式子的變形、運算和為了簡化繁瑣運算而實施的代換.

顯然是數學式子的近似計算問題.在以前的高考試卷中近似計算多見數字運算，數學式子運算多涉及式子變形，代換等，數學符號式的近似計算還是首次出現在高考試題中.

8.近兩年第22題都考極坐標系參數方程，但考查的角度變化很大，為對比分析方便列出兩年的試題.

2018年的22題[選修4-4：坐標系與參數方程](10分)

(1)求C和l的直角坐標方程；

(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，求l的斜率．

2019年的22題[選修4-4：坐標系與參數方程](10分)

在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲線C:ρ=4sinθ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.

(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.

對比上述兩個題目，2018年將極坐標方程、參數方程化為直角坐標方程即可解決(也可用極坐標、參數方程求解)；2019年則是側重考查用極坐標的辦法求解.由此可以看出，極坐標系參數方程部分命題將更加突出運用本單元知識來解決問題，而不是單純考極坐標化為直角坐標，再用直角坐標理論求解的坐標系轉化問題.

二、2020年數學科備考建議

面對上述列出的八種變化，結合近幾年高考試題對比，再參考新課標實施即將帶來新高考形式的要求變化(文理不分科、不出考試大綱等)，做出如下分析，并給出2020年高三復習備考應采取對策.

1.堅持過好基礎知識關、過好通性通法關，這是高三復習備考的“本”.

以2019年高考試題第19題、第21題為例加以說明如下：

19題已知數列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4 ，4bn+1=3bn-an-4.

(1)證明：{an+bn}是等比數列，{an-bn}是等差數列；

(2)求{an}和{bn}的通項公式.

題中條件給出的是非齊次二階遞推式，對考生而言形式上是比較陌生的，但問號(1)已經給出了對兩個齊次式處理的方法，即：相加湊an+bn，相減湊an-bn.至于證明成等比、等差只需用等差、等比數列的定義即可.

對于問題(2)借助問題(1)中兩通項公式相加(減)及裂項法，轉化為等差、等比求和即可.

綜上可知其解決問題理論依據與解題方法仍然是等差、等比數列的概念和通性通法.如果說“新”就是條件給出的非齊次二階遞推式比較陌生，但根據問題(1)的形式就知道如何應對這種變，因此說，解決“變”在題的條件中.

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；

(2)過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G.

(ⅰ)證明：△PQG是直角三角形；

(ⅱ)求△PQG面積的最大值.

上述解題的繁瑣，為簡化運算自然要想到變量代換，因此說解決“變”在解題的運算過程中.

2.在復習備考中要重視數學思想、數學核心素養在解題思考中的重要地位.

以今年高考試題第20題為例加以說明

(1)討論f(x)的單調性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；

(2)設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(x0，lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

由于該導數問題設計在20題位置，顯然難度是要降低的，特別是第二個問號.但從整體解題過程看數學核心素養“直觀想象”、“數學抽象”、“數學運算”、“邏輯推理”等在解題過程中都有所體現.在數學思想“考查特殊情形”、“數形結合”；在解題技巧“借助零點，實現無理式向有理式的化簡轉換”等都得到應用.而這些，不能說是新的東西.

3.在復習備考中要重視學生閱讀能力的培養，通過閱讀訓練、培養學生提取、整理、加工信息和數學建模的能力.

以今年高考第4題為例說明：第4題 2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行．L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M1，月球質量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：

此題300個印刷符號，是近幾年高考試題中閱讀量最大的.通過閱讀，學生能否會按下列程序進行提取、整理、加工、建模來思考問題的解決：一是前三行對解題基本沒有意義；二是再接著5行是說明數學方程含義的，對解題意義不大；三是下面這些文字符號才是解題的核心所在：

到此剛好轉化為數學問題，接著進行數學分析，即可找到解題思路.所以，在今后復習備考中，鼓勵學生學好語文，提高閱讀能力是解這類問題的關鍵.

綜上所述，在復習備考中的應對策略是：一是要求學生熟練掌握知識、通性通法(含數學思想、素養等).二是在此前提下，強調靈活運用知識和通性通法就顯得十分重要.三是平時訓練時，在題目選擇上，多注意設計(選擇)題目背景新(新瓶裝舊酒)、知識點新整合(舊瓶裝新酒)、思考新(舊瓶裝新包裝)的題目，加強訓練學生運用知識解決問題的靈活性.四是加強閱讀能力的培養，對“提取、整理、加工、建模”能力的培養.

事實上，對比歷年高考試題，每年試題的形式、知識交匯等都有所不同，這就需要我們把握住“本”，據“本”尋求靈活變化的東西，不去刻意關注上一年高考試題的形式和內容，讓高三復習在題的背景資料上“新”；在知識交匯上“新”；在變化考查數學思想、方法、技巧上“新”；在試卷設計長度(適當增加閱讀量、培養閱讀能力)上“新”.實踐證明，帶著這種理念來開展復習備考定能取得很好的效果，也是本文的主旨要義.

以上是針對2019年全國二卷理科數學試題狀況進行的分析和新高三備考的建議，供大家參考，也請大家批評指正.