最小角定理的理解與解題能力提升策略研究

施洋

Study on the Understanding of the Minimal Angle Theorem and the Strategy of

Problem-solving Ability Improvement

摘要：高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教B版教材選修2-1中，最小角定理僅作為直線與平面成角定義的補(bǔ)充進(jìn)行了闡述。深入延伸教材中關(guān)于最小角的相關(guān)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際背景理解最小角概念，運(yùn)用最小角定理進(jìn)行變式訓(xùn)練，對(duì)學(xué)生熟練掌握直線與平面成角的知識(shí)點(diǎn)，提高空間思維能力、抽象概括能力、推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力有較大幫助，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中應(yīng)引起重視的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

Abstract： In Section 2-1 of the PEP B mathematics textbook for new curriculum of senior high school mathematics， the minimal angle theorem is only described as a supplement to the definition of the angle between the straight line and the plane. To extend the relevant content of the minimum angle in the teaching materials， guide students to understand the concept of the minimum angle in combination with the actual background， and use the minimum angle theorem to perform variant training can help students master the knowledge of the angles of the straight line and the plane， and improve spatial thinking ability， abstract summary ability， ability to reason， and data processing skills. It is a knowledge point that should be paid attention to in the process of mathematics teaching in high schools.

關(guān)鍵詞：最小角定理；變式訓(xùn)練；高中數(shù)學(xué)

Key words： minimal angle theorem；variant training；high school mathematics

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2018）15-0238-02

0 引言

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教B版教材選修2-1中，最小角定理僅作為直線與平面成角定義的補(bǔ)充進(jìn)行了如下闡述：“斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中最小的角”（以下稱為最小角定理）。但是課本及有關(guān)教輔材料對(duì)最小角定理的理解及如何在數(shù)學(xué)問(wèn)題中進(jìn)行應(yīng)用卻未提及，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)容易忽略該定理的應(yīng)用。如果我們能夠準(zhǔn)確理解最小角定理，并巧用該定理分析空間成角問(wèn)題，就會(huì)擴(kuò)展分析思路、提高解題速度，實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用的目標(biāo)。

1 結(jié)合實(shí)際背景強(qiáng)化最小角定理的理解

新課標(biāo)的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)、對(duì)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值。數(shù)學(xué)定義與定理是客觀事物的數(shù)與形的本質(zhì)屬性的反映，是數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)和運(yùn)用的邏輯基礎(chǔ)。

概念與定理的引入對(duì)掌握與運(yùn)用數(shù)學(xué)概念定理起決定性作用，通過(guò)實(shí)際背景進(jìn)行引入更能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、更容易使學(xué)生接受。否則學(xué)生對(duì)于變形問(wèn)題無(wú)從下手，達(dá)不到大綱對(duì)空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力的要求。要培養(yǎng)學(xué)生的上述四種能力，教師應(yīng)在數(shù)學(xué)概念與定理的理解上多下功夫。結(jié)合實(shí)際背景對(duì)概念與定理進(jìn)行詳細(xì)講解。這種策略不僅可以讓學(xué)生理解其內(nèi)涵和外延，還可以使學(xué)生掌握其本質(zhì)特征，從而能運(yùn)用自如地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

最小角是直線與平面成角的特例，是在初中所學(xué)角的基礎(chǔ)上對(duì)角在空間范疇上的擴(kuò)展。最小角的例子在生活中處處可見(jiàn)，比如衡量比薩斜塔的傾斜程度就是直線與平面成角的典型事例，其角度指明了變化的范圍，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中還涉及到方向，自然容易得到最小角的概念，讓學(xué)生理解、接受。

通過(guò)實(shí)際背景引入最小角概念，使得概念具體化，便于學(xué)生理解，為最小角定理的論證與應(yīng)用奠定良好基礎(chǔ)。

命題：設(shè)OB⊥平面α，B為垂足，OA是平面α的斜線，A為斜足。∠OAB=θ1，l是平面α內(nèi)的任一直線，l與AB所成的角為θ2，l與OA所成的角為θ，如圖1。

又由于0

推論2：（最小角定理）平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一直線所成的角中最小的角。

2 應(yīng)用最小角定理，通過(guò)變式訓(xùn)練提高學(xué)生解題能力

例題與習(xí)題的變式教學(xué)就是指在例題、習(xí)題的教學(xué)過(guò)程中，當(dāng)學(xué)生獲得了相關(guān)的基本解法后，通過(guò)改變題目條件、探求題目結(jié)論、改變題目情境等多種途徑，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、掌握和變通，幫助他們對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多方向、多層次、多角度的思考，使思維不局限于固定的理解和某一固定的模式，從而提出新問(wèn)題或者獲得同一問(wèn)題的多種解法或多種結(jié)果。“一題多解”是一種典型的例題與習(xí)題的變式教學(xué)。

∴異面直線AB與CD所成角θ=60°

法2：幾何法求解：

取AC、BD、BC的中點(diǎn)依次為E、F、G，連接BD、EF、EG、FG，利用三角形中位線定理證明FG∥CD，EG∥AB，結(jié)合異面直線夾角定義，利用平移法構(gòu)造∠FGE為異面直線AB與CD所成的角，由此能求得異面直線AB與CD所成角θ=60°。

法3：最小角定理法：

如圖，過(guò)B分做棱AC的垂線BO，

則易知，CD與平面ABC所成角為45°，∠DCA=θ1= 45°，∠BAC=θ2=45°，

又設(shè)AC與BD所成的為θ，由最小角定理知，cosθ= cos45°·cos 45°=

∴異面直線AB與CD所成角60°

3 結(jié)論

結(jié)合實(shí)際背景強(qiáng)化最小角定理的理解，應(yīng)用最小角定理、通過(guò)變式訓(xùn)練提高學(xué)生涉及直線與平面所成角問(wèn)題的解題能力，對(duì)學(xué)生增強(qiáng)空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力有事半功倍之效，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中應(yīng)引起重視的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

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