高中數學中的思想方法

郜力

摘? ? 要：數學思想方法是數學的靈魂，要學好高中數學，掌握基本數學思想方法是學好高中數學的關鍵。

關鍵詞：思想方法;解題;數學能力

數學思想方法是數學的靈魂，要學好高中數學，掌握基本數學思想方法是學好高中數學的關鍵，如果數學思想方法理解不透，即使概念定理、公式背得再熟，也只能解一些較為基礎的題目，一旦題目稍加整合，單純的知識也就難以派上用場了。

一、函數與方程的思想

所謂函數思想是即指將現實生活中的研究對象利用聯系和變化的客觀規律抽象成數學概念或對象，建立數學模型，即函數關系，利用函數的性質和特征研究變化規律，從而解決問題的數學思想。而方程的思想是指將問題運用方程來處理和解決的數學思想方法。在很多情況下，方程和函數是能夠相互轉化的。

如：如圖，已知一個高為x的圓柱在底面半徑與高均為2的圓錐中.求：

（1）用x表示此圓柱的側面積表達式;

（2）當此圓柱的側面積最大時，求此圓柱的體積.

分析：本題的解答就需要用到函數的思想方法。

解：（1）設圓柱的半徑為r，圓柱的高為x，

則=，解得r=2-x，且0

所以圓柱的側面積為：

S圓柱側=2πrx=2π（2-x）x=-2πx2+4πx，（0

（2）由S圓柱側=-2πx2+4πx=2π[-（x-1）2+1]，0

當x=1時，S圓柱側取得最大值為2π，

此時r=1，圓柱的體積為V圓柱=πr2x=π·12·1=π.

二、化歸和轉化的數學思想

轉化思想是很重要的一種思維方式，在高中數學問題中隨處可見，而且利用轉化和化歸的思想方法能使得復雜問題簡單化，從而使數學問題得以快速圓滿地解答。

如：已知函數f（x）=x2+（m-2）x-m，，且函數y=f（x-2）是偶函數.

（1）求g（x）的解析式;.

（2）若不等式g（lnx）-nlnx≥0在上恒成立，求n的取值范圍;

分析：要解決此問題的反復運用轉化的數學思想方法。

（1）通過y=f（x-2）是偶函數，轉化推出m-6=0，然后求解函數的解析式.

（2）令lnx=t，命題等價于g（t）-nt≥0在t∈[-2，0）上恒成立.然后轉化利用二次函數的性質求解即可.

解：（1）∵f（x）=x2+（m-2）x-m，

∴f（x-2）=（x-2）2+（m-2）（x-2）-m=x2+（m-6）x+8-3m.

∵y=f（x-2）是偶函數，∴m-6=0，∴m=6.

∴f（x）=x2+4x-6，

∴.

（2）令lnx=t，∵，

∴t∈[-2，0），不等式g（lnx）-nlnx≥0在上恒成立，

等價于g（t）-nt≥0在t∈[-2，0）上恒成立.

∴.

令，，則，，∴.

三、分類討論的數學思想

在高中數學中，有些情況直接考慮問題就會顯得沒有頭緒或者無從入手，這時候就不得不考慮分類討論，分類討論既是高中數學的難點，也是高考的高頻考點。

如：已知函數.

（Ⅰ）若函數f（x）的最小值為8，求實數a的值;

（Ⅱ）若函數g（x）=|f（x）|+f（x）-16有4個零點，求實數a的取值范圍.

分析：本題重點考查分類討論的數學思想方法。

解：（Ⅰ）函數=，

令，易知t∈（-∞，-2]∪[2，+∞），則h（t）=t2-2at+2a2-2在（-∞，-2]∪[2，+∞）上的最小值為8，函數h（t）的對稱軸為t=a，

①當a≥2時，，此時;

②當a≤-2時，，此時;

③當-2

④當0≤a<2時，h（t）=h（2）=2a2-4a-6=0，此時無解;

故實數a的值為;

（Ⅱ）令g（x）=0，則f（x）=8，

則由題意，方程t2-2at+2a2-2=8，即t2-2at+2a2-10=0必有兩根，且一根小于-2，另一根大于2，

則，解得-3

故實數a的取值范圍為（-3，-1）.

點評：本題考查函數與方程的綜合運用，注重考查了換元思想及分類討論思想。