內柱孔和內錐孔圓柱形變幅桿

張 然，賀西平，王照偉

(陜西師范大學物理學與信息技術學院，陜西省超聲重點實驗室，陜西西安710119)

0 引 言

超聲振動系統對于超聲加工而言是不可或缺的。超聲振動系統一般由超聲換能器，超聲變幅桿及加工工具頭組成。變幅桿在振動系統中的主要作用是聚集超聲振動能量，將機械振動的質點位移或速度放大，還可以作為機械阻抗變換器在換能器和聲負載之間進行阻抗匹配[1]。近年來，隨著超聲技術在各個領域的廣泛應用，人們對超聲變幅桿的關注度也越來越高。許多學者在變幅桿研究方面取得了進展。Makuta 等[2]提出使用鈦合金制成的中空階梯形變幅桿來放大超聲波振動，很容易產生直徑小于100 μm 的微泡。王維鴿等[3]以設計大放大系數、高能量轉換效率的變幅桿為目標，研究了內通孔分別為柱孔和錐孔而外形為錐形的變幅桿，并計算了桿中應力以及振動位移的分布規律。張云電等[4]設計了帶中心通孔的夾心式壓電換能器和圓錐變幅桿，用于超聲珩磨的超聲振動系統。加工陶瓷等易碎材料時，利用超聲振動的帶孔變幅桿的設備比起傳統的利用激光和水射流的設備更簡易和小型化[5-6]。孔型變幅桿還可將雞蛋殼的寬端打孔加工為圓形來提取可預防疾病的疫苗，克服了傳統方法即用金屬刀片切割器處理時會產生大噪聲且切割面粗糙、效率低等問題[7]。超聲加工裝置和拋光漿聯合可用于玻璃等易碎材料的加工孔領域[8-9]；超聲橢圓振動套磨制孔技術可用于航空航天領域[10]；超聲加工還可用于超聲輔助珩磨和超聲輔助鉆削加工等領域[11]。

本文提出了中心孔分別為柱形和錐形的圓柱形變幅桿。基于解析法推導了這兩種孔型變幅桿的頻率方程及性能參數表達式，利用有限元法計算了在諧振狀態下這兩種變幅桿的應力及振動位移沿軸向分布的規律。結果表明，柱形孔的深度為1/4波長時，放大系數只與橫截面積之比有關。在相同諧振頻率及面積系數下，錐形孔變幅桿的放大系數小于柱形孔變幅桿的放大系數大，但其應力曲線光滑且應力極大值較小。

1 頻率方程、放大系數的推導

圖1(a)、1(b)分別是帶有柱形孔、錐形孔、外形均為圓柱形的半波長變幅桿，編號為1#和2#。如圖1 所示，以輸入端圓心為坐標原點建立直線坐標系。1#中的S1、L1、S2和L2分別為實心部分與柱形孔的橫截面積與長度，實心端的半徑為R，柱形孔的孔半徑為R1，則S1=πR2， S2=π( R2?)，其中ξ1和2ξ 分別為輸入端與輸出端的縱向振動位移；2#中的1S′、S2′、3S′、a 和b 分別為實心部分與錐形孔兩端的橫截面積與其對應的長度，設實心端的半徑為R，錐形孔小端半徑為，孔大端半徑為，則S1′=πR2，S2′=π( R2?R)，S3′=π(R2?)，其中和2ξ′分別為輸入端與輸出端的縱向振動位移。圖1(c)為陶瓷等易碎材料(圖中用矩形表示加工對象的截面，加工對象當然也可以為其他形狀)被兩種變幅桿打孔后的效果圖，打孔的半徑為R。變幅桿的材料取 45#鋼，密度為 7 800 kg·m-3, 彈性模量為2.09×1011N·m-2,泊松比為0.28。外徑R 取26 mm，R1與取21 mm，取18 mm。

1.1 柱形孔變幅桿

中心孔為圓柱形的變幅桿的位移函數可表達為

圖1 兩種孔型變幅桿及易碎材料被打孔后的示意圖Fig.1 Schematic diagrams of two horns and the punched fragile material

其中：R (x ) = R ? R1；面積系數。兩端自由邊界條件為

實空兩部分連接處的連續性條件為

由式(2)、(3)確定常數A、B、C 和D，代入式(1)，得到位移表達式：

頻率方程和放大系數分別為

1.2 錐形孔變幅桿

中心孔為錐形的變幅桿的位移函數可表達為

實空兩部分連接處的連續性條件為

由式(8)、(9)確定常數A、B、C 和D，代入式(7)，得到位移表達式：

頻率方程和放大系數分別為

其中：

2 性能參數計算

2.1 柱形孔變幅桿

2.1.1 實心部分長度對性能參數的影響

取變幅桿工作頻率為20 kHz 時，改變圓柱孔變幅桿實心部分長度的大小，得出1#變幅桿的諧振長度、位移節點和放大系數隨實心桿長度的變化規律，如圖2 所示。

從圖2 中可看出，諧振長度和位移節點位置隨L1變化的規律大致相似。當L1的范圍為0～30 mm時，諧振長度和位移節點位置隨L1的增大而減小；當L1的范圍為30～110 mm 時，諧振長度和位移節點位置隨L1的增大而增大；當L1大于110 mm 時，諧振長度和位移節點位置逐漸減小。放大系數隨L1的增大先增大再減小，當L1=65 mm 時，諧振長度為1L 的兩倍，放大系數達到最大。

圖2 諧振長度、位移節點位置、放大系數和實心桿長度的關系Fig.2 The relationships between resonant length, displacement node, amplification factor and the length of the solid part

2.1.2 中心孔半徑對性能參數的影響

保持L1= L2=65 mm、R=26 mm 不變，改變圓柱孔半徑大小，計算得出放大系數、諧振頻率與中心孔半徑之間的關系如圖3 所示。

2.2 錐形孔變幅桿小端半徑對性能參數的影響

圖3 放大系數、諧振頻率與圓柱孔半徑的關系Fig.3 The relationships between amplification factor, resonant frequency and the radius of the cylindrical hole

由圖4 和圖5 可知，保持錐形孔變幅桿的外徑等其它因素不變，只改變錐形孔小端半徑的大小。在諧振狀態下，放大系數與應力相對值皆隨錐形孔小端半徑的增大而增大。

圖4 放大系數與錐形孔小端半徑的關系Fig.4 The relationship between amplification factor and the radius of the small end of the tapered hole

圖5 應力相對值與錐形孔小端半徑的關系Fig.5 The relationship between the relative value of stress and the radius of the small end of the tapered hole

2.3 兩種變幅桿的諧振頻率與放大系數的關系

取變幅桿的工作頻率為14～25 kHz，圓柱孔變幅桿的圓柱孔半徑R1為最大值23 mm，令編號為3#；錐形孔變幅桿的錐形孔小端半徑為為18 mm，錐形孔大端半徑為 3R′為23 mm，令其編號為4#。代入以上各表達式中，可計算得到兩種變幅桿的放大系數與諧振頻率的關系，如圖6 所示。

由圖6 可知，兩種孔型變幅桿的放大系數都大于相同外形幾何尺寸實心均勻桿的放大系數(實心均勻桿的放大系數為1)。面積系數相同的兩種變幅桿在同一頻率工作時，柱形孔變幅桿的放大系數比錐形孔變幅桿的放大系數大。

圖6 3#、4#變幅桿的放大系數與諧振頻率的關系Fig.6 The relationship between amplification factor and resonant frequency of horns 3# and 4#

3 有限元模擬

利用有限元軟件建立與3#、4#變幅桿相對應的模型，并進行模態分析，計算了中心孔分別為柱形和錐形、外形為圓柱形的變幅桿在縱振動模態下沿軸向方向的位移和應力分布曲線。將變幅桿輸入端振動位移作為位移分布相對值的參考點，在諧振狀態下，兩種孔型變幅桿沿軸向的位移分布曲線如圖7 所示。選擇變幅桿實心棒部分任意一點(本文選取32 mm 處)的應力值做參考點進行歸一化處理，得到兩種孔型變幅桿沿軸向的應力分布曲線，如圖8 所示。

圖7 3#、4#變幅桿沿軸向的位移分布Fig.7 The displacement distributions along the axial direction of horns 3# and 4#

從圖7 和圖8 中可以看出，在相同面積系數與諧振頻率下，錐形孔變幅桿的放大系數較小，但歸一化后的應力曲線較光滑，且應力最大值比圓柱孔變幅桿的應力最大值降低了57.2%。有限元模擬結果與計算結果較吻合。

4 分析與討論

圖8 3#、4#變幅桿沿軸向的應力分布Fig.8 The stress distribution along the axial direction of horns 3# and 4#

由圖2 與圖3 中的數據可以看出，在圓柱孔變幅桿內孔不變的情況下，實心桿長度等于諧振長度的1/2 時，位移節點位于變幅桿的中心位置，且放大系數達到最大；當圓柱孔深度與實心桿長度相等時，放大系數隨圓柱孔半徑的增大而增大，且變幅桿的輸入輸出端橫截面比率不能超過4.6。

由圖4 和圖5 可知，保持錐形孔變幅桿的外徑等其它因素不變，只改變錐形孔小端半徑的大小。在諧振狀態下，放大系數與應力相對值皆隨錐形孔小端半徑的增大而增大。取錐形孔大端半徑與圓柱孔所能達到的最大半徑(即23 mm)相同時，由圖6可知，當兩種孔型變幅桿的面積系數相同時，錐形孔變幅桿的放大系數比帶圓柱孔變幅桿的放大系數小。當錐形孔變幅桿的錐孔大端突破文獻[6]結果的限制，當其小端半徑增大至接近23mm 時，縱向振動很難由實心部分傳到中孔部分。

圖7 和圖8 為有限元模擬的結果，兩種孔型變幅桿的放大系數都大于實心桿的放大系數(即1)；在相同面積系數與諧振頻率下，錐形孔變幅桿的放大系數較小，但歸一化后的應力曲線較光滑，且應力最大值比圓柱孔變幅桿的應力最大值降低了57.2%。這很好地驗證了上述規律。在實際應用中，可根據對放大系數與應力的不同要求進行選擇。

5 結 論

本文對中心孔分別為柱形和錐形、外形為圓柱形的超聲變幅桿進行了推導計算及有限元設計，可得到以下結論：

(1) 兩種孔型變幅桿的放大系數都大于相同外形尺寸實心桿的放大系數。

(2) 保持錐形孔變幅桿的外徑等其它因素不變，只改變錐形孔小端半徑的大小，錐形孔變幅桿的放大系數隨錐形孔小端半徑的增大而增大。

(3) 當兩種孔型變幅桿的面積系數相同時，錐形孔變幅桿的放大系數比帶圓柱孔變幅桿的放大系數小，但應力最大值比帶圓柱孔變幅桿的降低了57.2%，且應力曲線較光滑。