基于反沖模型分析“流浪地球”計劃的可行性

諸子玥

(江蘇師范大學敬文書院2017級 江蘇徐州 221116)

一、計算三大宇宙速度

我們查閱第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度的物理含義，然后以假設的飛行器為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律和能量守恒定律列出方程，解得三大宇宙速度。[1-3]如果想要推動地球，必須將行星發(fā)動機噴射的物質(zhì)噴射出地球外，即必須使得物質(zhì)相對于地球的速度超過地球的第二宇宙速度。如果想要將地球推出太陽系，必須使得地球的速度超過太陽的第二宇宙速度。

人們通常將航天器達到環(huán)繞地球、脫離地球和飛出太陽系的最小速度合起來稱為“三大宇宙速度”。[4]定義地球的半徑為發(fā)射一個飛行器的質(zhì)量為m，引力常數(shù)為

第一宇宙速度指的是在地球表面發(fā)射一個飛行器，能使物體繞地球表面做圓周運動所需要的最小發(fā)射速度。以飛行器為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律，萬有引力等于飛行器飛行時所需要的向心力，列出公式：

對于第二宇宙速度，我們假設地球離開太陽系后勻速直線駛向目標位置。

在地球表面發(fā)射一個飛行器，使得它能脫離地球的引力場所需要的最小發(fā)射速度。[5]因此，要求出飛行器在地球引力場中所具有的引力勢能。當飛行器與地球的距離趨于無窮大時，它便脫離了地球的引力場，則可以假設無窮遠處為引力勢能的零點，由能量守恒定律得出地球上的飛行器所具有的引力勢能為：

飛行器在它燃料燒完后脫離地球的過程中，系統(tǒng)滿足機械能守恒定律：

第三宇宙速度是指從地球表面發(fā)射一個飛行器，使它能夠掙脫太陽引力的束縛飛出太陽系所需的最小初始速度。根據(jù)第二宇宙速度的推導可知，飛行器想要掙脫太陽引力所需要的最小速度需滿足

我們知道，地球在圍繞太陽公轉時令地面所有物體已經(jīng)具有v0=29.8km/s的初始速度。因此，只需要在地球運動軌道上給予飛行器12.3km/s的速度。但在飛行器獲得這個速度之前，必須已經(jīng)掙脫了地球引力，我們可以列出有關第三宇宙速度v3的公式：

第二宇宙速度、第三宇宙速度不只是兩個速度。它們之于“流浪地球”來說就是生命線。地球上的能量中將耗盡意味著隨著航行時間的推移，地球抵抗天體引力的能力會越來越弱。不僅太陽、地球有自己的逃逸速度，每個天體都有自己的逃逸速度。“流浪地球”在航行過程中，需要重視這些重要的數(shù)據(jù)，才能保證航行計劃的順利實施。

二、推導齊奧爾科夫斯基方程

為討論地球的加速過程，我們首先建立以下模型推導齊奧爾科夫斯基方程：

這就是齊奧爾科夫斯基方程。

三、研究行星發(fā)動機技術指標

為了探討“流浪地球”計劃是否可行，我們還需要研究地球剩余質(zhì)量的百分比與行星發(fā)動機的技術指標要求。

以地球和它噴出的物質(zhì)作為一個整體考慮，由于噴射時間較短，因此來自太陽的引力與地球運動方向垂直。在地球的運動方向上，地球和它噴出的物質(zhì)總動量守恒，根據(jù)齊奧爾科夫斯基方程有：

由于噴射是一個極短過程，所以地球的位置視為不發(fā)生改變，所以地球和噴射出去的物質(zhì)相對于太陽的引力勢能不發(fā)生改變。因此在噴射前后，根據(jù)能量守恒定律有：

在具體求解過程中，由于v1遠小于，所以可作近似：。

接下來計算物質(zhì)的平均加速度a：

計劃實施之后地球可能剩余質(zhì)量的百分比為0.47%，在這令計算噴出1000kg物質(zhì)所需要的總能量W0。

接下來就是要計算出項目的能量損耗。

因為地球能夠在2500年內(nèi)抵達4.2光年外的目的地，所以我們可以計算出地球進一步加速所需要達到的速度為。根據(jù)齊奧爾科夫斯基方程[6]求得推動地球所需物質(zhì)的質(zhì)量為地球質(zhì)量的 。由于噴射速度沒有變化，單個行星發(fā)動機的技術指標要求不發(fā)生變化：物質(zhì)的加速度為，噴射出1000kg物質(zhì)所需的總能量為。收集石油、核燃料的熱值和能量轉換效率，根據(jù)噴射物質(zhì)的能量需求得到各類能源的質(zhì)量，計算項目的能量損耗。首先考慮噴出質(zhì)量為的物質(zhì)所需要能量：

然后根據(jù)不同燃料的特性分別研究計算出燃料所需質(zhì)量，大致情況如下：在發(fā)動機效率同為40%的情況下，所用原油、燃料油質(zhì)量為8.42×1028，液化石油氣為7.03×1028噸，汽油為8.19×1028噸，鈾235為4.46×1022噸，氘為1.34×1021噸。

四.得出計劃可行的結論

本文從簡化的角度構建模型，旨在將“流浪地球”這一復雜的過程通過簡單的數(shù)學和物理的工具進行求解，從而大體上估計“流浪地球”計劃的可行性。我們作出了多數(shù)假設并且根據(jù)科學依據(jù)制定詳細的計算方法，使得模型具有很大的實際意義。

目前，人類并沒有實施“流浪地球”計劃的需要，但是，人類仍有探索太陽系外未知領域的必要。本文所建立的模型，有助于分析人類的太陽系外的探測器的運動過程，同時也有助于人類的系外航行的研究。